第29届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第4套（共6套）答案及评分

第29届复赛模拟赛题 第四套

答案及评分标准

满分160分

第一题（20分）

一个半径为r的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮，某时刻滑轮恰好处于水平位置。在距离滑轮r处有一墙高为2r的墙，一根不可伸长的绳子从墙根连出，绕过滑轮，从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边），某人在墙顶处以速度v匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛，则此刻 ①圆环的角速度?为多少？

②圆环中心相对地面加速度a为多少？

ωvar

【解】：

（1）易知此时滑轮的速度方向与AB垂直，vB?2r?

以滑轮为系，上段绳子的延绳速度为v，因此下段绳子的沿绳速度也为v。 所以?2r?v ???2v（5分） 2rvBB'A

（2）球心的速度为v0?2r，球心加速度为a0，B相对于A的加速度由向心加速度和加速转动加速

?度。记下段绳子为n方向，上段绳子为?方向。轮子的角加速度为??a0/r

?N

?2rBa0?r?a0在地面上看B的加速度：

M第29届复赛模拟赛题 第四套

1

aBn?a02??2r22，aB????2r（3分） 22

地面上看墙角M加速为aM?0，由于下段绳子没有转动，所以下端绳子上靠近滑轮的点沿绳加速度为0，所以相对滑轮下段绳子进入绳子的加速度为

a入?aBn?a02??2r22

（3分）

地面上看墙顶N加速度为aN?0，由于上段绳子转动角速度?'?靠近滑轮的点沿绳加速度为?2?2r2r??，所以上段绳子上

2r（1分）

所以相对滑轮上段绳子出绳子的加速度为

a出??22r?aB???2

由于绳子长度不变，所以a入?a出32r（3分） 2

a02??2r232（1分） =?2r22

v2解得a0=2?r?（4分） 只要答案正确，方法没有明显错误给全分

r

2

第二题（20分）

一个长度为l的扁平的水槽与水平夹角为30o，水槽的质量为m，在两端用细线将水槽吊起来。在水槽最下端有一个质量为m的喷水机，从水槽中抽水，以速度v0将水沿着与水槽夹角为??30o的方向喷出，水则刚好能喷到水槽上端，水落回水槽后受到水槽底部阻力的影响，匀速流到水槽底端，形成稳定的水流。

①重力加速度为g，求出能将水刚好喷到水槽上端喷水机喷水的速度v0。

②喷水出口的面积为S，水密度为?，水槽中水下流速度为v1，为了保持平衡，两根绳上的拉力各为多少？（两根绳子保持竖直方向）

第29届复赛模拟赛题 第四套

2

T2T1θθ

【解】：

（1）重力加速度沿水槽和垂直于水槽方向的分量分别为g∥?gsin??12g和g??gcos??32g 沿水槽运动方程：l?v10cos?t?g∥2t2（2分）

垂直于水槽?：0?v?t?10sin2g2?t（2分）

∴v0?32gl?1.22gl（2分） （2）以整体为对象，水的冲量是内部作用，不必计算。 喷出的水在水平方向的分速度不变，故其中心在中间 水槽中的水匀速运动，故其重心也在中间 即：空中的水+水槽中的水+水槽的重心 在两绳中间所在的垂直线上。（3分） 求水的总量

单位时间爱你喷出的水质量为：m0??sv0 水在空中和在水槽中运行的时间分别为： tlcos?l1?v?3lv?2l，t2?0cos2?0gu

1故水的总质量为：M?m2l0(t1?t2)??sv0(g?lu)（3分） 1受力平衡：T1+T2?(M?m?m)g??以水槽中间为参考点，力矩：(Tll（?2分） 1?mg)2cos??T22cos???????T1?M?3m?2g(2分) ???T2?M?m2g(2分)其中M??sv0(2lg?lu) ??s3gl(2llg?u) 121第29届复赛模拟赛题 第四套

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第三题（20分）

在光滑平面上放有一个质量为m的匀质圆环，内径为r。从圆环的三个三等分点上各连出一根轻质弹簧，原长几乎为0，劲度系数为k，三根弹簧连到一个质量为m的质点上。

①用一个恒力F沿着x方向作用于圆环，若m与M保持相对静止，则m相对圆心位移为多少？ ②初态圆环和质点保持静止，沿着某根弹簧方向给圆环一个冲量，使得速度为v0?2kr，求之后圆环和质点的运动方程。

ymmx

【解】：

①系统的加速度为：a?F2m 设m相对圆心位移为?x0，设从原点到三个弹簧连接点的矢量为a?,b?,c?，则质点受到的合外力为

F??k(a???xk(b???x???0)?0)?k(c?x0)??3kx0（4分）

等价于一个3k的弹簧 由牛顿第二定律 3kx0?ma

?x0?F6k（3分） ②质心运动方程为：xv0C?t?k22mrt（3分） 由①知沿x轴方向的有效劲度系数为3k。 折合质量为

m2，故振动角频率为??6km（2分）

振幅为：A?v0r??3?r（2分） 故质点，xk1?2mr?t?A2sin(?t?π)（3分） 环的质点：xk2?2mr?t?A2sin(?t)（3分） 其中A?r3

第29届复赛模拟赛题 第四套m4

第四题（20分）

如图一个绝缘的刚性的固定圆筒，沿着轴向有匀强磁场B。有一个电中性的粒子静止在圆筒中心，粒子突然衰变成为两个带电量为?q的粒子，粒子出射方向在平面内，动量大小为P。粒子之间发生碰撞时交换动量，不考虑静电作用，电量各自保持不变。粒子与圆筒之间的碰撞是完全弹性的，圆筒

P的半径满足R=

Bq①当衰变的两个粒子质量比为m1:m2?1:1时，求从初态到两个粒子的运动状态第一次还原到初态经历的时间，并画出粒子轨迹。 ②令m1:m2?1:2重做上一问。

【解】：

虚线：正电荷 实线：负电荷 轨迹如图

B④①②③②③①④

故时间为：t?23T0 T0为粒子转一周的时间

T2?R2?m0?v?Bq（3分）

（2）m1:m2?1:2?v1:v2?2:1

不失去一般性，令正电荷为m1，在开始阶段走的是左上和右边两个花瓣

负电荷走左下一个花瓣。此时发生正碰，和初始状态相比，粒子速度方向转了60度。第29届复赛模拟赛题 第四套

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