导数与函数的极值、最值

高三数学第一轮总复习 第三章第三节

知识要点

双基巩固

典型例题

易错辨析

提升训练

第三节

导数与函数的极值、最值

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一、函数的极值1.定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，

都有f(x)<f(x0),就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0);如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是函数 2.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根x0;(3)检查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右

f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值和极小值统称为极值.

的符号；“左正右负” f(x)在x0处取极大值；“左负右正” f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点).

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3.特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，

而不仅是f′(x0)=0,f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)=0,又要考虑 检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！ (3)在求函数极值的步骤中，第二步，蕴含着比较根的大小问题， 第三步，通常总结成表. 二、函数的最大值和最小值

1.定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极 大值与其端点值中的“最大值”;函数f(x)在一闭区间上的最小值 是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.

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2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);②将y=f(x)的各极值

与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函 数值即可；闭区间上的连续函数必有最值).

3.特别提醒：①利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、 最值(极值),研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等 相关问题.

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三、解决优化问题的基本思路

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1.函数f(x)=x3-3x2+3x+5的极值点的个数是(A.0 B.1 C.2 D.3

)

解析：∵f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0对 x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数，故无极值. 答案：A

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2.函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图 所示，则函

数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象

在x轴上方，故函数f(x)只有一个极小值点(图中B点). 答案：A

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