效用论习题和解答
更新时间:2024-04-16 16:43:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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1.假设某消费者的均衡如图3—1所示。其中,横轴OX和纵轴OX分别表示商品1和商品2的数量,线段AB为消费者的预算线,曲线I为消费者的无差异曲线,E点为均衡点。已知商品1的价格P1=3元 X2 A 20 10 E I=P1X1+P2X2 B 0 10 20 30 X1 ①求消费者的收入; ②求商品2的价格P2; ③写出预算线方程; ④求预算线的斜率; ⑤求E点的边际替代率。 解:①I=3×30=90(元) ②P2=I/20=4.5(元)
③预算线方程:I=P1X1+P2X2
I=90 P1=3 P2=4.5 所以: 90=3X1+4.5X2 ④预算线斜率K=OX2/OX1=20/30=2/3 ⑤E点的边际替代率为2/3
2.已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元,两商品的价格分别为P1 =20元和P2 =30元,该消费者的效用函数为U=3X1X22,该消费者每年购买这两种商品的数量各应为多少?他每年从中获得的总效用是多少?
解:①设消费者对两种商品的购买量分别为X 和X,则根据条件有: 540=20X1 +30X2
因为 U=3X1X22 则:MU 1=3X22 MU2=6X1X2,
当消费者均衡时,MU1/MU2 =P1/P2 ,推出:3X22/6X1X2=20/30 联立方程 求得:X1=9 X2=12
②总效用U=3X1X22=3×9×122=3888
3.某公司确定,在目前的价格下,其电脑芯片的需求在短期内有-2的价格弹性,其软盘驱动器的价格弹性是-1。 ① 如果公司决定将两种产品的价格都提高10%,其销售量有什么变化?销售收入呢? ②能否从已知的信息中判断,哪个产品会给厂商带来最大的收入?说明理由.
解:①电脑芯片的销售量变化:△Q/Q=-2×△P/P=-2×10%=-20% 电脑芯片的销售收入:
R?R'P?Q?(P?△P)?(Q?△Q)1?(1?10%)?(1?20%)???12%P?Q1 R
通过上述计算可以看出:由于价格提高10%,导致销售收入减少12%,驱动器的价格需求弹性为-1,所以价格提高10%,会导致销售量减少10%,销售收入没有变化。
②从已知信息可以判断,在当前的价格水平下,软盘驱动器给厂商带来了最大的收入,因为厂商不论是降价还是提价,都不能再使收入增加.进一步考虑,若厂商降低产品价格,电脑芯片的收入会增加。
4.如果你在管理一条高速公路,过路的需求Q由P=12-2Q求得, ①画出过路的需求曲线。 ②如果不收费,有多少车辆会通过此路? 解: ①以过路车辆为横轴,以价格为纵轴,画出坐标系,
当P=12时,Q=0得到纵轴上的一点A; 当P=0时,Q=6得到横轴上的一点B; 联结AB而成的直线为过路的需求曲线。 ②若不收费,即P=0,此时Q=6,即有6辆车过路。
5.假设食物需求的收入弹性为0.5,价格弹性为-1.0,若某位消费者每年食物支出为10000元,食物价格P=2元,收入是25000美元。 ①若某种原因使食物价格增加一倍,那么食物消费会有什么变化? ②假设他得到5000元的补助,食物消费如何变化? 解: ①食物价格增加一倍,则P=4元,由于价格弹性是-1.0,的以食物消费减少一倍,则原来的食物消费量为:
1000/2=500,价格上升后的消费量为:500/2=250 ②由于收入弹性EdM=0.5 ,收入增加1倍,消费量增加50%,所以当他得到5000元的补助后,食物消费会增加: 5000?50%?10%000
6.某君消费两种商品X和Y,其消费形式已满足下述条件:MUX/PX=MUY/PY .现在假设Px 下降, Py 保持不变,请论证说明: ①若某君对X的需求价格弹性小于1,为什么他对Y的需求量会增加? ②若某君对X的需求价格弹性大于1或等于1,他对Y的需求量会怎样? 答: ①原来某君的消费处于均衡状态,设预算方程为 Px·x+Py·y=M .现在X的价格下降(设为Px1 ),由于X的需求价格弹性小于1,虽然X商品的购买量会增加(设为X1 ),但消费者用于X商品上的支出是减少为,即Px· X> Px1 ·X1 ,这样,在收入(M)和Py 不变的情况下,Y商品的购买量就会增加.
②原来消费处于均衡状态,预算方程为Px·x+Py·y=M ,现在X的价格下降为 Px1
若X的需求价格弹性等于1,虽然对X的需求量会增加(设为x1 ),但是,消费者用于购买X商品的支出却没有变,即 Px1 ·X1= Px· X ,由于M、 Py 不变,Y的需求量也没变.
若X的需求价格弹性大于1,对X的需求量增加(仍设为x1 ),消费者用于X商品的支出也随之增加,即 Px1 ·X1>Px· X ,由于 M、Py 不变,Y的需求量减少.
7.假设某消费者的收入、商品价格和消费品的效用函数为已知,请给出效用极大化所需条件。假如他只消费两种消费品,他是否必然总是同时买进这两种商
品?为什么?
解:设效用函数为U=f(x,y),收入为M,价格为Px 、 Py ,而
?U?f(x,y)?U?f(x,y)MUx??;MUy???X?x?Y?y
?f(x,y)?f(x,y)/Px?/PY?Y 效用极大化条件MUX/PX=MUY/PY为:?x
约束条件为:Px·x+Py·y=M
由于在一般情况下,Px和 Py 都不可能为零,MUx和MUy 都不可能为零,因此,假如他只消费两种消费品,就一般总是同时买进这两种商品。但在无解情况下,则不必然同时买进两种商品。
8.某人把他的全部收入都用于购买X和Y两种商品,他认为X和Y是完全替代的,一单位X和一单位Y的效用相同。X每单位4元,Y每单位5元。假设X的价格下降为3元,他会更多的购买X商品吗?消费的这种变化中,多少归于收入效应?多少归于替代效应?
解:因为一单位X的效用与一单位Y的效用相同,所以,MRSxy =1,又因为Px=4元 ,Py=5元,所以,预算线AB的斜率=4/5=0.8,因此,AB的斜率小于MRSxy ,AB与无差异曲线I相交,如3—3。这时,消费者为得到最大满足,把全部收入用于购买OA量的X商品,而不买任何Y商品。
当X的价格下降到3元时,预算线变为A′B,A′B 的斜率为3/5=0.6,仍小于MRSxy ,A′B与较高的无差异曲线Ⅱ相交于 A′点,这时,消费者为得到最大满足,把全部收入用于购买OA′量的X,X商品的购买量增加了AA′,从图3—3可以看出,X商品购买量的增加完全是由于收入效应,替代效应为零。
9.已知效用函数为U=Xa+Ya,求商品的边际替代率MRSxy 和 MRSyx ,以及X=10,Y=5时的MRSxy 和MRSyx 。 解:∵MUX=?U/?x=axa-1 MUY=?U/?Y=aYa-1
aXa?1Xa?1?U?U?/???()a?1
?X?YY∴MRSxy= MUX/MUY=-aY ?U?UaYa?1Ya?1?????()a?1
?XXaX MRSYX=MUY/MUX=?Y
当X=10,Y=5时,
X10?()a?1??()a?1??2a?15MRSxy=Y
Y51?()a?1??()a?1??()1?a102MRSYX=X
10.?设消费者甲的效用函数U=(x+2)(x+6),X是苹果的个数,Y是香蕉的个数。问: ①甲原有4个苹果,6个香蕉。现甲得给乙3个苹果,乙将给他9个香蕉,进行这项交易,甲的商品组合是什么?如果甲拒绝交换,是否明智? ②若MRSxy 是-2,甲愿意为3个香蕉而放弃1个苹果吗?愿为6个香蕉而放弃2个苹果吗? 解: ①甲原来的商品组合为(4。6),现在交换后,苹果剩下1个,而香蕉却增加为15个,商品组合为(1,15)。由效用函数可得到两种组合的效用。 当X=4,Y=6时, U=(x+2)(x+6)=(4+2)(6+6)=72 当X=1,Y=15时,U=(x+2)(x+6)=(1+2)(15+6)=63 可见,(4,6)组合提供的效用比(1,15)组合要大,因此拒绝交换是明智的。 ②MRSxy=-2,意味着甲为得到2个香蕉,愿意放弃1个苹果,现在他只要放弃1个苹果,就可以得到3个香蕉,他当然愿意。
同理,MRSxy=-2,也意味着甲为得到4个香蕉,愿意放弃2个苹果,现在放弃2个苹果就可得到6个香蕉,他当然愿意。
11.若需求函数为q=a-bp,a,b >0 ,求: ①当价格为 P1 时的消费者剩余为多少? ②当价格由P1 变为P2 时消费者剩余变化了多少?
a?qP?b 解:①由q=a-bp ,得反需求函数为
设价格为P1 时,需求量为q1 ,q1=a-bP1
12aq?qq1a?q2??()dq?p1q1?0bbq1?p1q10消费者剩余
②设价格为P2 时,需求量为q2, q2=a-bP2 消费者剩余变化量
a2b??ap1?p122b2
??(0q2a?q?q1a?q?)dq?p2q2???()dq?p1q1?bb?0?a21aq?q22?ba2b?p2q2?(?ap1?p12)2b2012aq2?q2a2b2??p2q2?(?ap1?P12)b2b2a2b2a2b??ap2?p2?(?ap1?p12)2b22b2b2b2?q2?p1?ap2?ap122
12.令消费者的需求曲线为p=a-bq,a,b>0 ,并假定征收pt% 的销售税,使得他支付的价格提高到P(1+t) ,证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。
a?Pq1?b 解:设价格为p 时,消费者的需求量为 q1 ,则p=a-bq1 ,得
a?(1?t)Pq2?b又设价格为P(1+t) 时,消费者的需求量为q2 ,由P=a-bq2 ,得
消费者剩余损失
q1q2??(a?bq)dq?pq1???(a?bq)dq?P(1?t)?q2???0?0?q1??(a?bq)dq?P(1?t)?q2?pq1q2b21?(aq?q)?(1?t)pq2?pq12q2?(aq1?b2b2q1)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq122q政府征税而提高的收益=(1+t)pq2-pq1
消费者剩余亏损-政府征税而提高的收益
bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)?(1?t)pq2?pq1??(1?t)pq2?pq1?22bb2?(aq1?q12)?(aq2?q2)22a(a?p)ba?p2a?a?(1?t)p?b?a?(1?t)p????()?????b2bb2?b?2tp?t2p2?2b∵b、t 、p>o
2
2tp?t2p22b∴>0
因此,消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。
13.假定效用函数为U=q0.5+2M ,q 为消费的商品量,M为收入。求:需求曲线。
解:根据题意可得,商品的边际效用 MU=?U/?q=0.5q-0.5
单位货币的效用为λ=?U/?M=2 若单位商品售价为P,则单位货币的效用λ 就是商品的边际效用除以价格,即
λ=MU/P
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