初中数学知识点+数学公式总结及中考最后压轴题(二次函数、几何图

初中数学知识点+数学公式总结及中考最后压轴题

一、猜想、探究题 1. 已知：抛物线

y?ax2?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的

2x?5x?4?0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x长（OA

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积

为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

y A O D B x 12?1?作平行于x轴的直线l，抛物线y?xE 2. 已知，如图1，过点E?0，上的两点A、B的横坐标分别为?1和4，直线AB交y轴

4于点

F

，过点

A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DFC ． （1）求点

A、B、F的坐标；

（2）求证：

CF?DF；

作

12x对称轴右侧图象上的一动点，过点P（3）点P是抛物线y?4△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P

3. 已知矩形纸片OABC立平面直角坐标系；点得到△PEC，再在

y

B PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与

的坐标；若不存在，请说明理由．

y F A 的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建 △POCl x 沿

F O C E D PAB边上选取适当的点D，将△PAD沿PD翻折，得到△PFD，使得 （图1）

备用图

O 是OA边上的动点（与点O、A不重合），现将D C E PC翻折 x 直线PE、PF重合．

（1）若点E落在BC边上，如图①，求点P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式； （2）若点E落在矩形纸片

OABC的内部，如图②，设OP?x，AD?y，当x为何值时， y取得最大值？

（3）在（1）的情况下，过点

P、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，

y

E

B

y

B

说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

4. 如图，已知抛物线

y?x2?4x?3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，?抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（?1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）在平面直角坐标系

xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

y C 2y?ax?bx?3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－5. 如图①， 已知抛物线，与y轴交于点C． D 3，0）（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． O x A E B （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

二、动态几何 6. 如图，在梯形厘米/秒的速度沿

y y C C ABCD中，DC∥AB，?A?90°，AD?6厘米，DC?4厘米，BC的坡度i?3∶4，动点P从A出发以2

A O x AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其

B B M 中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为tO A 秒． x （1）求边（2）当

BC的长；

t为何值时，PC与BQ相互平分；

图① 图② y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

D

c

Cc

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求

Qc 1x?1与7. 已知：直线y?2标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P在

y12轴交于A，与x轴交于D，抛物线y?x?bx?c与直线交于A、E两点，与

2x轴交于B、C两点，且B点坐

x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．

AM?MC|的值最大，求出点M的坐标．

y E （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|

A 2y?ax?bx?c?a?0?的对称轴为x??1，B B两点，C 与y轴交于点C，A?3，0?、C?0，O A，?2?．D 轴交于8. 已知：抛物线与x x 其中?（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交的面积为S．求S与

9. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和

x轴于点E．△PDEPE．连接PD、设CD的长为m，

y m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

A O B x x轴上另一点E，顶点M4)；的坐标为(2，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、

C y轴上，且AD?2，AB?3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿

x轴的正方向匀速平 行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向

B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N5①当t?时，判断点P2是否在直线ME上，并说明理由；

（如图2所示）．

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

y M y M N 12y??x?2x． 10. 已知抛物线：12（1）求抛物线y1的顶点坐标．

C B C B P （2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线D O (A) y2，求抛物线y2的解析式． E x D O A E x 图1

图2

（3）如下图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、

y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的

平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

2??bb4ac?b2，，【提示：抛物线y?ax?bx?c（a?0）的对称轴是x??顶点坐标是???】 2a2a4a??

11. 如图，已知抛物线C1：

y 5 4 3 2 1 P y2 y1 ?1 ??O 5的顶点为y?a?x?2x轴相交于A、B7 两点（点在点B的左边），点B的横坐标是1． 1 2 P，与3 4 5 6 8 A9 x 2（1）求P点坐标及a的值；（4分）

?1 （2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心?2 对称时，求C3的解析式；（4分）

?3 （3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分） ?4

C1 y M C1 y N B A A O B Q O x B(4，0)0)、D(8，8)．抛物线12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点、C(8，y?axP 2E ?bx过A、CF x 两点．

（1）直接写出点

A的坐标，并求出抛物线的解析式； P C2 图1

C3 （2）动点P从点为秒．过点

A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间图2

C4 tP作PE⊥AB交AC于点E．

①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当为何值时，线段EG最长？ ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？ 请直接写出相应的t值．

ty A F G D P E Q 13. 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，- 2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，

PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

C （2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQO B 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，x 请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值． y??y Q BQ B AAOO x在边DC上，且DE = 4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以x2cm/s的速度移动，动点Q 14. 如图，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q从点A 同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积 为MMS（cm2），求S与t的函数关系式． C E C PPD 图2 图1 Q 2215. 如图，已知二次函数y?(x?m)?k?m的图象与轴相交于两个不同的点 xA(x1，0)、B(x2，0)，与y（1）求⊙P与（2）如果

轴的交点为C．设△ABCA 的外接圆的圆心为点P．

P

B y轴的另一个交点D的坐标；

恰好为⊙P的直径，且△ABC的面积等于

AB5，求m和k的值．

16. 如图，点A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在

x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE?2OC．设

OE?t(t?0)，矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线（2）当tAB上时，求t的值；

?4时，求S的值；

（3）直接写出S与（4）若S

t的函数关系式；（不必写出解题过程）

? ．

y

B ?12，则tC O D E A x

17. 直线y??3x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达点A，运动停止．点Q沿线段OA 运4动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→（1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为（3）当S?A运动．

t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

B 48y PO、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． 时，求出点的坐标，并直接写出以点5

P

18. 如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内

Q O 部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S?ABCx 1A ?ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一2半．

解答下列问题：

如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y（1）求抛物线和直线AB的解析式；

（2） 求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；

（3） 设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一

A2 铅垂高 C

h B

水平宽 a 轴于点B．

图1

点P，使得

9S△PAB=S△CAB，若存在，

8求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 如图，在平面直角坐标系中，点对称轴为直线xy

C

B

D

A、C的坐标分别为(?10)，、，(0?3)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的

O

1 A

1

x

?1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作

y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式； （2）若设点P的横坐标为

m，用含m的代数式表示线段PF的长．

图2

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

y

20. 如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，?B?60°．从初始时刻开始，点

P、Q同时从A点出发，点P以

1厘米/秒的速度沿、Q两点同时停止

A?C?B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A?B?C?D的方向运动，当点Q运动到D点时，P运动，设P、Q运动的时间为解答下列问题： （1）点

x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），

x的值是 秒；

C

P、Q从出发到相遇所用时间是 秒；

y与x之间的函数关系式．

D

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时（3）求

21. 定义一种变换：平移抛物线F使F2经过F1得到抛物线F2，1的顶点对称点．

（1）如图1，若F1：②四边形

P A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点B D，B，点C是点A关于直线BD的

A Q (2，0)，则①b的值等于______________； y?x2，经过变换后，得到F2：y?x2?bx，点C的坐标为

ABCD为（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）如图2，若F1：

y?ax2?c，经过变换后，点B的坐标为(2，c?1)，求△ABD的面积；

13237，经过变换后，AC?23，点P3是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线

2y?x?x?（3）如图3，若F：1AD的距离

之和的最小值．

y

O（A） F1 y y F1 D P F1 D F2

D F2 F2 C x A A C B C B O B x 22. 如图，已知直线y??x?1交坐标轴于A，B两点，以线段2（图1） （图2） 交点为

1ABO x 为边向上作正方形ABCD，过点（图3）

A，D，C的抛物线与直线另一个

E．

（1）请直接写出点C,D的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒

5个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在

x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，

求S关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；

tt（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C ,E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

23. 如图，点

y D C A O B E x A、B坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形 OEDC是矩形，且OE?2OC．设1y??x?12OE?tt(?0)，矩形OEDC与△AOB重合部分的面积为S．根据上述条件，回答下列问题： （1）当矩形OEDC的顶点D在直线（2）当tAB上时，求t的值；

?4时，求S的值；

（3）直接写出S与（4）若S

t的函数关系式；（不必写出解题过程）

?12，则t? ．

y B C D E x 24. 如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形

ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学

A O 校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H、G分别在边

AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资

10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元． （1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小？最小值为多少？

25. 已知：t1，t2是方程t2A

H

K

G

?2t?24?0的两个实数根，且t1?t2，抛

物线

y?232x?的图象经过点

?(0，t2)．xA(t1，，0)bB

B

cE

D

F

C

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P(x，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ线的平行四边形，求

是以OA为对角

OPAQ的面积S与

x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

，使

（3）在（2）的条件下，当由．

OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点POPAQ为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理

y

Q

三、说理题

26. 如图，抛物线经过

A(4，，0)B(1，，0)C(0，?2)三点．

?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y A 2B 1 x O xOy4 Oy?ax?bx?cA、B、C、D27. 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线

与

y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点?2 A和点C C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F（3）过点

A ，求EF的长．

B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

y D N E 12y?x?bx?c与x轴交于A、B两点，与y28. 如图1，已知：抛物线

2连结

x C 轴交于点C，经过B、C 两点的直线是

F B O 1y?x?2，

2AC．

M （1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________； （2）判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在顶点的坐标；若不能，请说明理由．

AB边上的矩形

?b4ac?b2?2?] y?ax?bx?c的顶点坐标是??,[抛物线

2a4a??

y y A O B x A O B x 29. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交

C C AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

图1 图2(备用)

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线

GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐 标；若不存在，请说明理

由．

y D B A

30. 如图所示，将矩形OABC沿

65AE折叠，使点E 恰好落在OBC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长

BC至M，使

CM?CE?EO，再以CM、CO为边作矩形CMNO． （1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．

O

x

C S四边形CFGH（2）令m?S四边形CMNO，请问

m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．

2AE上一点且QF?，抛物线y?mx2?bx?c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解

3，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、

1CO?1，CE?，Q为（3）在（2）的条件下，若

3析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线

y?mx2?bx?c与线段AB交于点PB、K为顶点的

三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与

y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

M

N

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

y H G C F B E Q O A x

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=（a+b）÷2 S=L×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角

121①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等

131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n兀R／180

145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) （还有一些，大家帮补充吧）

实用工具:常用数学公式

公式分类 公式表达式

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c\'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h\' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c\')h\' 圆台侧面积 S=1/2(c+c\')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S\'L 注：其中,S\'是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

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