广东省百所高中2014届高三联考（理数）

广东省百所高中2014届高三11月联合考试

数学（理科）

1、已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{－2，0，2}，则

A、N?M　　B、M?N＝M　　C、M?N＝?2?　　D、M?N＝?0，2?　

2、已知复数z＝2-i，则z在复平面内对应的点位于 1+iA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、下列函数中，在（0，＋?）上为增函数的是

3?1?A、y＝（x－1）2 B、y＝x2 C、y??? D、 x?2?4、在△ABC中，

，D是BC的中点，则

等于

5、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于

A、2

x2 34C、

3B、D、4

?x?y?5?0?6、已知x，y满足约束条件?x?y?0，则z＝2x＋4y的最小值是

?y?3?A、－6 B、5 C、10 D、－10

x2y27、设F1、F2分别为双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，A为双曲线的左

ab顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN＝120°，则

该双曲线的离心率为 A、

2211973 B、 C、 D、

33338、在整数集z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为［k］，则［k］＝

［5n＋k］，k＝0，1，2，3，4，则下列结论错误的是 A、2013?［3］

1

C、“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b?［0］”

D、命题“整数a，b满足a?[1],b?[3]，则a?b?[4]”的原命题与逆命题都为真命题

9、函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－3｜（x?R）的值域为＿＿＿＿ 10、二项式(x?11、曲线y?225)的展开式中常数项是＿＿＿ xx?1(x?0)在点（1,2）处的切线方程为＿＿＿＿ x2SS12、设等差数列{an}有前n项和为Sn,若12?9?2，则数列an}的公差d

43为＿＿＿

13、如图的程序框图（未完成），设当箭头a指向①时，输出的结果s＝m，当箭头a指向②时，输出的结果s＝n，则m＋n＝＿＿＿＿

14、在极坐标系中，圆C1的方程为??42cos(???4)，以极点为坐标原

?x??1?acos?点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程?（?为参数），

y??1?asin??若圆C1与C2相切，则实数a＝＿＿＿＿

15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝5－1，则AC＝＿＿＿

2

16、（本小题满分12分） 已知函数（1）求f(（2）设

5?)的值； 4，求

的值。

17、（本小题满分12分）

为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选—题答—题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；

（2）设选手甲在初赛中答题的个数?，试写出?的分布列，并求?的数学期望。 18、（本小题满分14分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE＝EP。

（1）证明：AC⊥DE；

（2）若PC＝2BC，求二面角E－AC－P的余弦值。

2。 3

19、（本小题满分14分） 已知数列{an}的通项公式为an?3n?1，在等差数列数列{bn}中，

3

又

（1）求数列{an2bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和Tn 20、（本小题满分14分）

成等比数列。

x2y23已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，直线l：y＝x＋2与以原点为圆

ab3心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）抛物线C2：y2＝2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，S与Q不重合），且满足 21、（本小题满分14分） 已知函数f(x)?ex?kx2,x?R （1）若k?，求

的取值范围。

1，求证：当x?(0,??)时,f（x）＞1； 2（2）若f（x）在区间(0,??)上单调递增，试求k的取值范围； （3）求证：

4

参考答案

1．D M∩N＝{0，2}．

2－i13

－13

2．A ∵z＝1＋i＝2－2i，∴z＝2＋2i，应选A.

1

3．B 对于A，y＝(x－1)2在(1，＋∞)上为增函数；对于C，y＝(2)x为(－∞，＋∞)上的3

减函数；对于D，y＝x在(0，＋∞)上为减函数． 11→1→→

4．C ∵D为BC的中点，∴AD＝2(AB＋AC)＝2a＋2b. 5．D 还原直观图可得，该几何体是个三棱柱，如图， 根据数据得底面面积S＝2，高h＝2，所以体积V＝4. 6．A 画出可行域易知在点(3，－3)处有最小值－6.

b

7．A 不妨设圆与y＝ax相交且点M的坐标为(x0，y0)(x0＞0)，则N点的坐标为 b

(－x0，y0)，联立y0＝ax0，x20＋y20＝c2得M(a，b)，N( －a，－b)，又A(－a，0)且∠MAN＝120°，所以由余弦定理得4c2＝(a＋a)2＋b2＋b2－2（a＋a）2＋b22bcos 120°，化简21得7a2＝3c2，求得e＝3.

8．D 依题意2013被5除的余数为3，则A正确；整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，B正确；假设C中a＝4n1＋m1，b＝4n2＋m2，a－b＝4(n1－n2)＋m1－m2，a，b要是同类，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；因为a∈[1]，b∈[3]，

b＝5n2＋3，所以可设a＝5n1＋1，∴a＋b＝5(n1＋n2)＋4∈[4]，原命题成立，逆命题不成立，

如a＝5，b＝9满足a＋b∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，D错误． 9．[2，＋∞) f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|(x－1)－(x－3)|＝2. 10．80 由通项公式得常数项为(－2)4C45＝80. x2－2x（x＋1）－x2－2x11．3x＋y－5＝0 ∵y′＝＝x4，∴该切线的方程k＝－3，切线方程x4为y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0.

9（a1＋a9）411

12.9 因为S12＝2312(a1＋a12)＝6(a1＋a12)，S9＝239(a1＋a9)＝， 26（a1＋a12）9（a1＋a9）44所以＝＋2，整理得a12－a9＝3d＝3，所以d＝9. 423313．18 ∵当箭头a指向①时，可得m＝7， 当箭头a指向②时，可得n＝11，∴m＋n＝18.

14．±2 ⊙C1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得x2＋y2－4x－4y＝0，其圆心C1坐标为(2，2)，半

??x＝－1＋acos θ，

径r1＝22；圆C2的参数方程是?其普通方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，??y＝－1＋asin θ

所以C2的坐标是(－1，－1)，r2＝|a|，因为两圆外切，所以|a|＋22＝|C1C2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a＝±2.

5

15．2 由已知得BD＝AD＝BC，BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，得AC＝2. 5ππ15ππ

16．解：(1)f(4)＝2sin(334－6)＝2sin4＝2.(5分) π105

(2)由f(3α＋2)＝2sin α＝13，得sin α＝13， π12

又α∈[0，2]，所以cos α＝13，

π63

由f(3β＋2π)＝2sin(β＋2)＝2cos β＝5，得cos β＝5， π4

又β∈[0，2]，所以sin β＝5，

1235416

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1335－1335＝65.(12分) 28

17．解：(1) 选手甲答3道题进入决赛的概率为(3)3＝27；(1分) 21283(3)223·选手甲答4道题进入决赛的概率为C23＝27.(3分)

8816

∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P＝27＋27＝27.(6分) 211

(2)依题意，ξ的可能取值为3，4，5.则有P(ξ＝3)＝(3)3＋(3)3＝3， 21212110

P(ξ＝4)＝C23(3)223·3(3)223·3＋C23＝27，

2122118P(ξ＝5)＝C24(3)22(3)223＋C24(3)22(3)223＝27，(10分)

因此，有

ξ P 3 13 4 1027 5 827 110810726

∴Eξ＝333＋4327＋5327＝27＝327.(12分)

18．解：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD， ∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE.(5分)

(2)以D为原点，DP，DA，DC所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设BC＝3，则CP＝32，DP＝3，因为2BE＝EP，

易知D(0，0，0)，A(0，3，0)，C(0，0，3)，P(3，0，0)，E(1，2，2)． 所以＝(0，3，－3)，＝(3，0，－3)，＝(1，2，－1)， 设平面ACP的法向量为u＝(x，y，z)，则u·＝0，u·＝0，

??3y－3z＝0，即?令x＝1，得u＝(1，1，1)，同理可取平面ACE的法向量v＝(－1，1，1)， ??3x－3z＝0，

6

u·v11

所以cos〈u，v〉＝|u||v|＝3，所以二面角E—AC—P的余弦值为3.(14分) 19．解：(1)∵an＝3n－1(n∈N*)， ∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，

在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.

又因为a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d， ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2， ∵bn＞0(n∈N*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3， ∴bn＝2n＋1(n∈N*)．(7分)

(2)由(1)知，Tn＝331＋533＋7332＋?＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，① 3Tn＝333＋5332＋7333＋?＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②(8分) ①－②得

－2Tn＝331＋233＋2332＋2333＋?＋233n－1－(2n＋1)3n(10分) ＝3＋2(3＋32＋33＋?＋3n－1)－(2n＋1)3n

3－3n

3n， ＝3＋231－3－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.(14分) ∴Tn＝n·

|0－0＋2|

20．解：(1)由直线l：y＝x＋2与圆x2＋y2＝b2相切，得2＝b，即b＝2. 3b22

由e＝3，得a2＝1－e2＝3，所以a＝3， x2y2

所以椭圆的方程是C1：3＋2＝1.(4分) (2)由

p=1,p=2，故C2的方程为y2=4x, 2y21y22

易知Q(0，0)，设R(4，y1)，S(4，y2)， y22－y211→y2→

∴QR＝(4，y1)，RS＝(4，y2－y1)， y21（y22－y21）

→→

RS＝0，得由QR·＋y1(y2－y1)＝0， 1616∵y1≠y2，∴y2＝－(y1＋y1)， 256

2＝y21＋y2∴y21＋32≥2→又|QS|＝

256256y212y21＝y24时等号成立． 1＋32＝64，当且仅当y21，即y1＝±

y221

2＝4（y22＋8）2－64， （4）2＋y2

→

2≥64，∴当y22＝64，即y2＝±8时，|QS|min＝85， ∵y2

→

故|QS|的取值范围是[85，＋∞)．(14分)

1

21．解：(1)f(x)＝ex－2x2，则h(x)＝f′(x)＝ex－x，∴h′(x)＝ex－1＞0(x＞0)， ∴h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f′(x)＞f′(0)＝1＞0，

7

1

∴f(x)＝ex－2x2在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.(5分) (2)f′(x)＝ex－2kx，下求使f′(x)＞0(x＞0)恒成立的k的取值范围． 若k≤0，显然f′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 记φ(x)＝ex－2kx，则φ′(x)＝ex－2k，

1

当0＜k＜2时，∵ex＞e0＝1，2k＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 于是f′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

1

当k≥2时，φ(x)＝ex－2kx在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k，＋∞)上单调递增， 于是f′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝eln 2k－2kln 2k，

1e

由eln 2k－2kln 2k≥0得2k－2kln 2k≥0，则2≤k≤2， e

综上，k的取值范围为(－∞，2]．(10分)

1

(3)由(1)知，对于x∈(0，＋∞)，有f(x)＝ex＞2x2＋1，∴e2x＞2x2＋1， 22

则ln(2x2＋1)＜2x，从而有ln(n4＋1)＜n2(n∈N*)，

222222222

于是ln(14＋1)＋ln(24＋1)＋ln(34＋1)＋?＋ln(n4＋1)＜12＋22＋?＋n2＜12＋132＋?＋211122222

（n－1）3n＝2＋2(1－2＋?＋n－1－n)＝4－n＜4，故(14＋1)(24＋1)(34＋1)?(n4＋1)＜e4.(14分)

8

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