高考专题训练（二十二） 坐标系与参数方程

高考专题训练(二十二) 坐标系与参数方程

A级——基础巩固组

一、填空题

1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．

5π

解析 依题意知，ρ＝23，θ＝－6. 5π??

答案 ?23，－6?新 课 标 第 一 网

??

??x＝sinα，2．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?(α

?y＝cosα＋1?

为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．

解析 依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0. 化简得ρ＝2sinθ. 答案 ρ＝2sinθ π??π??????3，4，3．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为3?，?6?，则?△AOB(其中O为极点)的面积为________．

?ππ?11π

??解析 由题意得S△AOB＝2×3×4×sin3－6＝2×3×4×sin6＝3. ??

答案 3

???x＝tcosα，?x＝4＋2cosφ，

4．直线?(t为参数)与圆?(φ为参数)相切，

???y＝tsinα?y＝2sinφ

则此直线的倾斜角α＝________.

21π

解析 直线y＝xtanα，圆：(x－4)＋y＝4，如图，sinα＝4＝2，∴α＝6

2

2

5π或6.

π5π答案 6或6

5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

解析 将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋4x， 即x2＋y2－4x－2y＝0. 答案 x2＋y2－4x－2y＝0

2

??x＝8t，

6．已知抛物线C的参数方程为?(t为参数)．若斜率为1的直

?y＝8t?

[来源学科网Z.X.X.K]

线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝________.

解析 消去参数t得抛物线C的标准方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，

k b 1 . c o mx |4－2|

所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意得r＝

2＝2.

答案

2

??x＝2cost，

7．已知曲线C：?(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.

??y＝2sint

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．

解析 曲线C的普通方程为x2＋y2＝2，由圆的几何性质知，切线l与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l的斜率为－1，从而l的方程为y－1＝－π??

??θ＋(x－1)，即x＋y＝2，化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2，化简得ρsin4??＝2.

x k b1 . co mπ??

答案 ρsin?θ＋4?＝2

??

8．(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．

解析 由ρsin2θ＝cosθ可得ρ2sin2θ＝ρcosθ，因此y2＝x， 即曲线C1的直角坐标方程为y2＝x；

由ρsinθ＝1可得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.

2???y＝x，?x＝1，

解方程组?可得?

???y＝1，?y＝1.

[来源学+科+网Z+X+X+K]

所以两曲线交点的直角坐标为(1,1)． 答案 (1,1) ?x＝

9．(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是?

?y＝

程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．

t，3t3

(t为参数)．以

坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方

解析

?x＝由曲线C1的参数方程?

?y＝t，3t3，

3

得y＝3x(x≥0)，①

由曲线C2的极坐标方程为ρ＝2， 可得方程x2＋y2＝4，②

??x＝3，

由①②联立解得?

??y＝1，

故C1与C2交点的直角坐标为(3，1)． 答案 (3，1) 三、解答题

??x＝a－2t，

10．(2014·福建卷)已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆

??y＝－4t??x＝4cosθ，

C的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝4sinθ?

(1)求直线l和圆C的普通方程；http://www. xkb1.c om

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点，

|－2a|

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

5解得－25≤a≤25.

11．已知直线l是过点P(－1,2)，方向向量为n＝(－1，3)的直线，圆π??

方程ρ＝2cos?θ＋3?.

??

(1)求直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|·|PN|的值． 2π解 (1)∵n＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝3. 2π?x＝－1＋tcos?3，

为?2π??y＝2＋tsin3∴直线的参数方程

(t为参数)，即

?

?3?y＝2＋2t1

x＝－1－2t，

(t为参数)．

?1?3?(2)∵ρ＝2cosθ－sinθ?＝cosθ－3sinθ， 2?2?

∴ρ2＝ρcosθ－3ρsinθ.

∴x2＋y2－x＋3y＝0，将直线的参数方程代入得t2＋(3＋23)t＋6＋23＝0. X k b 1 . c o m∴|t1t2|＝6＋23，即|PM|·|PN|＝6＋23.

B级——能力提高组

1．(2014·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0,0≤θ＜π????2，2π)，曲线C在点4?处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的?正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程是________．

π??

??2，解析 由ρ＝2?x＋y＝4，点4??(2，2)，因为点(2，2)在?

2

2

圆x2＋y2＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x＋2y＝4?x＋y－22＝0.

答案 x＋y－22＝0

2．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标π

系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，它与曲线

??x＝1＋2cosα，?(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________. ??y＝2＋2sinα

π

解析 极坐标方程θ＝4(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y＝x，

??x＝1＋2cosα，?(α为参数)?(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2)，r＝2.圆心到??y＝2＋2sinα

|1－2|2直线y＝x的距离d＝＝2，|AB|＝2r2－d2＝2 2

答案

14

w W w .X k b 1.c O m14－2＝14.

3．(2014·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程??x＝1＋cosφ，?(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐?y＝sinφ?

标系．

(1)求圆C的极坐标方程；

π

(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射线OM：θ＝3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

解 (1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1， 又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ. (2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，

?ρ1＝2cosθ1，则有?π

θ＝?13，

?ρ1＝1，

解得?π

θ＝?13.

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，

?ρ2?sinθ2＋则有?π

?θ2＝3，

3cosθ2?＝33，

?ρ2＝3，解得?π

θ＝?23.

由于θ1＝θ2，

所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2， 所以线段PQ的长为2.

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