高等数学2期末复习题与答案

《高等数学》2期末复习题

一、填空题：

3?(x2?y2)的定义域是 1≦1. 函数z?x2?y2?1?lnX^2+Y^2<3 . 2.设z?(1?x)y,则

?z? (1?x)yln(1?x) . ?y(1,2)3.函数z?ln(1?x2?y2)在点(1,2)的全微分dz12? dx?dy 334．设f(x?y,xy)?x2?y2,则f(x,y)? . y设f(x?y,)?x2?y2,则f(x,y)? . x5.设z?eusinv 而 u?xy v?x?y 则

?z? exy[xsin(x?y)?cos(x?y)] ?y6．函数 z?x2?y2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2?3）的方向导数是 1?23 7.改换积分次序?dy?2f(x,y)dx? ；?dy?0y?10y22y11?y2f(x,y)dx? .

8．若L是抛物线 y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧，则?xydx= L9.微分方程(1?e2x)dy?ye2xdx?0的通解为 . 二、选择题： 1．

tan(xy) 等于 （ ）（上下求导）

(x,y)?(2,0)ylimA．2， B.

1 C.0 D.不存在 22．函数 z?x?y 的定义域是（ D ）

A．?(x,y)x?0,y?0? B.(x,y)x2?y

C.(x,y)y?0,x2?y D．(x,y)x?0,y?0,x2?y

1

???????f(x,y)|(x0,y0)?（ B ） 3.

?xA.lim?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0) B.lim

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0) D. lim

?x?0?x?xC.lim?x?05.设z?F(x2?y2)，且F具有导数，则

?z?z??（D ） ?x?yA.2x?2y； B.(2x?2y)F(x2?y2)； C. (2x?2y)F?(x2?y2)； D. (2x?2y)F?(x2?y2). 6．曲线 x?acost，y?asint，z?amt，在 t??处的切向量是 （ D ） 4A．(1,1,2) B.(?1,1,2) C.(1,1,2m) D.(?1,1,2m) 7．对于函数f(x,y)?x2?xy ，原点(0,0) （ A ）

A．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点 8．设I=??5x2?y2?1dxdy， 其中D是圆环1?x2?y2?4所确定的闭区域，

D则必有（ ）

A．I大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符号不能确定。 9. 已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分

xdx?aydy?Lx2?y2?0 ，

则a等于 （ ）.

A -1 B 1 C 2 D -2

10．若L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分?(x?y)ds=（ ）

LA．0 B.1 C.2 D.2

11.设D为x2?y2?2y,则??f(x2?y2)dxdy?（ ）

D 2

A.?dy?022y?y202sin?f(x?y)dx； B. ?2222?01d??f(r2)rdr；

0201 C. ?d??0?0f(r)rdr； D. ?dx??1f(x2?y2)dy.

12. 微分方程ex(y??y)?1的通解为（ ）

A.yex?c； B.ye?x?x?c；C.y?(x?c)e?x；D.y?cxe?x 13.（ ）是微分方程y???y??e?x在初始条件yx?0?1,y?x?0??1下的特解.

A.y?c1?c2xe?x；B.y??xe?x；C.y?1?2xe?x；D.y?1?xe?x. 三、计算题：

1.设z?f(exsiny,x3?y3)，求

?z?z及，其中f 具有一阶连续偏导数. ?x?y?x?y?u?v?u?v2．设?， 求 ，

?x?x?xsinv?ysinu

3．求旋转抛物面 z?x2?y2?1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。

4．求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值

3

5．计算??xy2dxdy，其中D是由圆周 x2?y2?4 及y轴所围成的右

D半闭区域.

6．计算??eD?y2dxdy，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）为顶点的三角

形闭区域.

7.计算???xdxdydz ，其中?是三个坐标面与平面 x?y?z?1 所围成的区域.

?

8.计算 ?(2x?y?4)dx?(3x?5y?13)dy，其中L为圆x2?y2?25 的正向边界。

L

9.计算曲线积分

?L(y3?x)dy?(x3?y)dx, 其中L是从O(0, 0)沿上半圆

x2?y2?2x到A(2, 0).

4

10.验证：在整个xoy面内，4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.

11.求微分方程(x2?1)y??2xy?4x2 的通解.

12.求解微分方程的特解： (y2?3x2)dy?2xydx?0,y(0)?1

13.解微分方程 yy???(y?)2?(y?)3?0

.

四、应用题：

1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.

2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.

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