机械振动学习题解答2012-4

机械振动习题解答（四）·连续系统的振动

连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析

杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程

2

2y2 y c (1) 22 t x

此式为一维波动方程。式中，对杆，y

为轴向变形，c ；对轴，y为扭转

角，c y

为弯曲挠度，c

令y(x,t) Y(x)ei t，Y(x)为振型函数，代入式(1)得

式(2)的解为

Y k2Y 0, k /c Y(x) C1coskx C2sinkx

(2) (3)

将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn，及对应的振型函数Yn(x)。可能的边界条件有

对杆，轴向力EA y/ x 0

固定端Y 0, 自由端 Y 0

对轴，扭矩 GI y/ x 0 p

类似地，梁的弯曲振动微分方程

(4)

振型函数满足 式(6)的解为

2y 4y A2 EI4 0

t x

EI

Y(x) C1coskx C2sinkx C3coshkx C4sinhkx

(5) (6) (7)

Y(4) k4Y 0, k4 2

A

梁的弯曲挠度y(x, t)，转角 y/ x，弯矩M EI 2y/ 2x，剪力

Q M/ x EI 3y/ 3x。所以梁的可能的边界条件有

固定端Y Y 0，简支端Y Y 0，自由端Y Y 0

2 受迫振动

杆的受迫振动微分方程（轴和弦类似）

(8)

2y 2y

2 E2 f(x,t) t x

n 1

(9)

令y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x)满足式(2)和式(3)。代入式(9)得

Yn n E Yn n f(x,t)

n 1

n 1

(10)

考虑到式(2)，式(10)可改写为

Yn n E kn2Yn n f(x,t)

n 1

n 1

(11)

对式(11)两边乘以Ym，再对x沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得

2

n Yn2dx Ekn n Yn2dx Ynf(x,t)dx

l

l

l

llQn(t) n n , Qn(t) Ynf(x,t)dx, b Yn2dx

00 b

2

n

(12)

当f(x,t) F(x)ei t简谐激励时，式(12)的稳态响应解为

Qn(t)1l11i t

n(t) YF(x)dxe n2222 0 b n n b

全响应解为

n(t)

1l1

YF(x)dxsin t sin tnn 22 0 b n n

Qn(t)1

1 cos nt 2 b n

当f(x,t) F(x)阶跃激励时，式(12)的解为 n(t)

类似地，梁的弯曲振动微分方程

2y 4y

A2 EI4 f(x,t)

t x

n 1

(13)

令y(x,t) Yn(x) n(t)，代入式(13)，经过一系列处理，得

llQn(t)

(14) , Qn(t) Ynf(x,t)dx, b Yn2dx

00 Ab

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 解题步骤

1 自由振动分析

①按照式(3)或(7)，写出含待定系数的振型函数； ②写出边界条件；

③把振型函数代入边界条件，消去待定系数，得到频率方程。 2 受迫振动分析

①写出激励f (x, t)的表达式；

②通过以上自由振动分析的步骤得到振型函数Yn(x)； ③计算Qn(t)和b，得到式(12)或(14)，求解主坐标φn(t)。

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.1 求阶梯杆纵向振动的频率方程。

2

n n n

U1(x) C1coskx D1sinkx, 0 x l1

解：振型函数：U(x) ，其中k

U(x) Ccoskx Dsinkx, l x l2212

2

边界条件： U1(0) 0

① ② ③

C1 0

D2 C2tank(l1 l2)

D1sinkl1 C2coskl1 D2sinkl1

dU2(l1 l2) 0

dx

连续性条件：U1(l1) U2(l1)

EA1

dU1(l1)dU2(l1)

EA2 A1D1coskl1 A2 D2coskl1 C2sinkl1 ④ dxdx

D1tankl1 C2 1 tankl1tank(l1 l2) ②式代入③式得 ②式代入④式得 所以频率方程 即

D1 C2 tank(l1 l2) tankl1 A2/A1

1 tankl1tank(l1 l2) tankl1 tank(l1 l2) tankl1 A2/A1

A1tank(l1 l2) tankl1

tankl1tankl2 A21 tankl1tank(l1 l2)

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.2 长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在Is<<I0的情形下校验频率方程的正确性。 解：设扭转角 (x,t) Q(x)ei t。

2 (x,t) 2 (x,t) (x,t) (x,t)

GI, J GI边界条件：J0 s 0 s 22

x x 0 x x L t x 0 t x L

J0 2Q(0) GIsQ (0), J0 2Q(L) GIsQ (L) 所以 ①

111m

d4 r4,J0 mr2 2 I0。 3222 r

而振型函数Q(x)满足Q(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k 式中J0 I0，因为I0 ②式代入①式得 二式联立得频率方程

②

kI0C IsD, kI0(C DtankL) Is(D CtankL)

tankL

2kI0/Is

222

kI0/Is 1

③

当Is<<I0时，轴的惯性矩可忽略，相当于两端自由的两圆盘扭振系统（类似于课本p63例3-8，但边界条件不同），这是一个二自由度的扭振系统，用视察法可写出其

1 kt kt 1

0，其中kt GIs/L为圆轴的扭转刚 J0 2 ktkt 2 kt J0 2 kt2

0度。其特征方程为，可得，J 2kt。

00212

ktkt J0 J0

微分方程为

而此时③式左边tankL kL

2kI0/Is2Is ，所以2

k2I0/Is2kI0 I0 2 2GIs/L，即J0 2 2kt，且 2

2GIs

0，与圆盘扭振系统的频率吻合。

LI0

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.3 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sinωt施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为ρ。 解：设稳态响应为 (x,t) Q(x)sin t。 边界条件： 所以 而Q(x)满足 ②式代入①式得 所以振型函数 稳态响应

(0,t) 0, GIp

(x,t)

T0sin t x x L

Q(0) 0, GIpQ (L) T0

① ②

Q(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k C 0, GIpDkcoskL T0

Q(x)

T0

sinkx

GIpkcoskL

T0

sinkxsin t

GIpkcoskL

(x,t)

---------------------------------------------我是分割线---------------------------------------------- 8.4 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。 解：（首先进行自由振动分析。） 振型函数 边界条件 ①式代入②式得 所以振型函数为

（再进行受迫振动分析。） 微分方程

Y(x) Ccoskx

Dsinkx，其中k Y(0) 0, Y(l) 0 C 0, sinkl 0

① ② ③

Yn(x) Cnsinknx, kn n /l

2y 2yl

2 T2 P (x ) t x2

n 1

设响应y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x) sinknx, kn n /l。于是

Qn(t) f(x,t)Yn(x)dx P (x l/2)sinknxdx Psin(knl/2) Psin(n /2)

ll

b Y(x)dx sinknxdx 2(1 cos2knx)dx l/2

l

2

n

l

2

l

所以主坐标φn(t)满足

2

n n n

Qn(t)2Pn

sin

b l2

④

已知单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应，即方程mx kx F0的解为

所以④式的解为 系统响应

F01 k2P1n n(t) sin 1 cos nt 2

l n2x(t)

2P 1n n

y(x,t) Yn(x) n(t) 1 cos tsinsinx n2

ln 1 n2ln 1

---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------

8.5 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。 解：（首先进行自由振动分析。） 振型函数 ① Y(x) C1coskx C2sinkx C3coshkx C4sinhkx 其中k4 2边界条件

A

EI

Y(0) 0, Y (0) 0, Y(l) 0, Y (l) 0 ② ③

①式代入②式得振型函数Yn(x) Cnsinknx, kn n /l （再进行受迫振动分析。） 微分方程

2y 4y

A2 EI4 P (x vt)

t x

n 1

设响应y(x,t) Yn(x) n(t)，其中振型函数Yn(x) sinknx, kn n /l。于是

Qn(t) f(x,t)Yn(x)dx P (x vt)sinknxdx Psin(knvt) Psin(n vt/l)

ll

b Yn2(x)dx sin2knxdx 1(1 cos2knx)dx l/2

lll

所以主坐标φn(t)满足

2 n n n

Qn(t)2Pn v

sint Ab All

④

相当于单自由度系统受简谐激励的响应，所以④式的解为

2P1 n v n n(t) sin t sin t, 其中 , k n nn 22 Al n nll （注：此为包含特解和通解的全响应） 系统响应

2

2P 1 n

y(x,t) Yn(x) n(t) sin t sin tsinx n 22 Aln 1 n nln 1

---------------------------------------------我是分割线----------------------------------------------

注：在8.4和8.5题的受迫振动分析时，振型函数都写为Yn(x) sinknx，而不是

Yn(x) Cnsinknx。事实上，不论Cn取任何值都不会影响最后的结果。所以为了计

算简便，既可以令Cn=1，也可以令b Yn2(x)dx 1，而求出Cn。

0l

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