四川省成都七中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）

四川省成都七中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）

1．（5分）已知集合A={x|x﹣2x＞0}，，则（） A． A∩B=? B． A∪B=R C． B?A D．A?B 2．（5分）下列命题正确的是（） A． 命题P：“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0”的否定是：“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0”

22

B． 命题“若x=1，则x+2x﹣3=0”的否定是“若x≠1，则x+2x﹣3≠0” C． “x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件 D． “A=B”是：“tanA=tanB”的充分不必要条件

3．（5分）定义运算取值范围（） A．

=ad﹣bc，若函数

在上单调递减，则实数m的

2

C． D． =2，则C． 2

（﹣4，﹣2] =（）

D．4

4．（5分）若f（x）是幂函数，且满足 A．

5．（5分）设a=log23，b= A． b＜a＜c

6．（5分）函数

，c=B．

，则（）

C． c＜b＜a

D．a＜c＜b 的图象是（）

B． c＜a＜b

A．

B． C． D．

7．（5分）若函数f（x）=sin（3x+φ），满足f（a+x）=f（a﹣x），则 A．

的值为（）

D．

B． ±1 C． 0

8．（5分）已知α∈R，2sinα﹣cosα= A．

B． ﹣7

，则

C．

=（）

D．

9．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（） A． 的最大值为2，有下列命题： ①f（x）的周期为4；

②f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称； ③f（x）的图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称； ④f（x）在R上的最小值是2． 其中真命题为．

三、解答题（共75分） 16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（

，1），与该最高点最近的一个最低点是（

，﹣3）．

（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的取值范围．

17．（12分）已知偶函数f（x）的定义域为，且f（﹣1）=1，若对任意x1，x2∈，x1≠x2，都有

＞0成立．

?

=﹣ac，角A的取值

（1）解不等式

2

；

（2）若f（x）≤t﹣2at+1对x∈和a∈恒成立，求实数t的取值范围．

18．（12分）已知函数f（x）=log2（x+x﹣a）．

（1）若f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），求实数a的值； （2）若函数g（x）=f（x）+x的定义域是（0，+∞），值域为，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f（t1）=f（t2）=g（xm），求m的取值范围． 21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）． （1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e．

2

2

四川省成都七中2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）

1．（5分）已知集合A={x|x﹣2x＞0}，，则（） A． A∩B=? B． A∪B=R C． B?A D．A?B

考点： 并集及其运算；一元二次不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用；集合．

分析： 根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．

2

解答： 解：∵集合A={x|x﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}， ∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R， 故选B．

点评： 本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题． 2．（5分）下列命题正确的是（） A． 命题P：“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0”的否定是：“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0”

22

B． 命题“若x=1，则x+2x﹣3=0”的否定是“若x≠1，则x+2x﹣3≠0” C． “x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件 D． “A=B”是：“tanA=tanB”的充分不必要条件

考点： 命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题． 专题： 简易逻辑．

分析： 利用命题及其关系、充分条件、必要条件、含量词的命题的否定，逐个分析各选项的正误．

解答： 解：对于A，“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0”的否定是：“?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0”，故A不正确；

22

对于B，“若x=1，则x+2x﹣3=0”的否定是“若x=1，则x+2x﹣3≠0”，故B不正确；

对于C，若“x≠1或y≠2”则“x+y≠3”的逆否命题是：“若x+y=3”则“x=1且y=2”，显然，“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件，由于原命题与逆否命题等价，故C正确； 对于D，当A=B=90°时，tanA，tanB无意义，故D不正确． 故选C．

点评： 本题考查命题及其关系；充分条件；必要条件；含量词的命题的否定．基本知识的考查．

2

3．（5分）定义运算=ad﹣bc，若函数在上单调递减，则实数m的

取值范围（） A． C． D． （﹣4，﹣2]

考点： 二次函数的性质．

专题： 新定义；函数的性质及应用．

2

分析： 由定义的运算得：f（x）=（x+2）﹣7，得到函数的单调性，由题意得m≤﹣2，又m＞﹣4，从而得出答案．

22

解答： 解：由定义知f（x）=（x﹣1）（x+3）+2x=x+4x﹣3=（x+2）﹣7， f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调减，上单调递增，选出满足条件的选项．

解答： 解：∵函数的定义域是，关于原点对称，以﹣x 代替

x，函数值不变．

∴函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点． 在（0，

]上单调递增，且x趋向0时，y趋向﹣∞，

结合图象可知，应选B． 故选B．

点评： 本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征，注意利用奇偶性、单调性、特殊点及函数值的范围．

7．（5分）若函数f（x）=sin（3x+φ），满足f（a+x）=f（a﹣x），则 A．

B． ±1

C． 0

D．

的值为（）

考点： 正弦函数的对称性；三角函数的化简求值． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质．

分析： 由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出

的值．

解答： 解：对于任意的x∈R，函数f（x）=sin（3x+φ），满足条件f（a+x）=f（a﹣x）， ∴函数关于x=a对称，x=a时函数取得最值， ∴3a+φ=k∴

，k∈Z， =sin（3a+

+φ）=sin（

+

）=0；

故选：C．

点评： 本题是中档题，考查三角函数的基本性质，函数的周期对称性的应用，三角函数的最值是解题的关键，考查计算能力．

8．（5分）已知α∈R，2sinα﹣cosα= A．

B． ﹣7

，则

C．

=（）

D．

考点： 二倍角的余弦；二倍角的正弦． 专题： 三角函数的求值．

分析： 首先把已知等式两边平方，然后化弦为切，求得tanα，进而求得tan2α，从而求出

的值．

解答： 解：已知等式两边平方得即

即3tanα﹣8tanα﹣3=0， 解得所以从而

，

=﹣7．

，

2

，

，

故选：B

点评： 本题考查的知识要点：三角关系式的恒等式变换，解方程等运算问题． 9．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（） A． ，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可

解答： 解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x

所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．

由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，

如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）

所以可得k的范围为

故选C．

点评： 解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．

10．（5分）已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，于x的函数

的零点个数为（）

，则关

A． 1 B． 2 C． 0 D．0或2

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的

知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．

同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．

解答： 解：由于函数

非零零点是完全一样的，

故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点． 由于当x≠0时，

，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的

，

）＞0，

①当x＞0时，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ 所以，在（0，+∞）上，函数x?g（x）单调递增函数． 又∵

=1，∴在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，

因此，在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1 没有零点．

②当x＜0时，由于（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ ）＜

0，

故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上无零点． 综上可得，函

在R上的零点个数为0，

故选C．

点评： 本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想， 属于中档题．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）函数f（x）=

考点： 复合函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用．

（2x﹣x﹣1）的单调递增区间是（﹣∞，﹣）．

2

分析： 令t=2x﹣x﹣1＞0 求得函数的定义域，且f（x）=

2

t，本题即求函数t在定义

域内的减区间．再根据二次函数的性质可得函数t在定义域内的单调递减区间．

解答： 解：令t=2x﹣x﹣1＞0 求得x＜﹣或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜﹣或x＞1}，f（x）=

t，

2

根据复合函数单调性，本题即求函数t在定义域内的减区间． 再根据二次函数的性质可得函数t在定义域内的单调递减区间是故答案为：（﹣∞，﹣）．

点评： 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学

思想，属于基础题．

12．（5分）抛物线y=x﹣2x+2和y=﹣x+ax+1有一个交点P，且两切线在P点的切线互相垂直，贼a的值为．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用．

分析： 根据导数的几何意义，点P是两抛物线的一个交点，得关于点P的横坐标与a的方程组求解．

，

22

解答： 解：设P（x，y），则函数y=x﹣2x+2的导数为y′=f′（x）=2x﹣2，

2

函数y=﹣x+ax+1的导数为y′=g′（x）=﹣2x+a，

2

∵两切线在P点的切线互相垂直， ∴

，

解得．

故答案为：

点评： 本题主要考查导数的几何意义的应用，根据直线垂直的关系，建立方程是解决本题的关键．

13．（5分）函数f（x）=log2

?log

（2x）的最小值为

．

考点： 对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用对数的运算性质可得f（x）=值．

解答： 解：∵f（x）=log2∴f（x）=log=log=log=log=∴当log即x=

x+1=0

时，函数f（x）的最小值是

．

x?logx（logx（log

（

?log

（2x） （2x）

，即可求得f（x）最小

）?log

（2x） x+logx+2）

，

2）

故答案为：﹣

点评： 本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题． 14．（5分）设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： 求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围． 解答： 解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得 f′（x）=a+cosx﹣sinx， 设A（x1，y1），B（x2，y2），

则f′（x1）=a+cosx1﹣sinx1，f′（x2）=a+cosx2﹣sinx2． 由

2

，得

a+a+（cosx1﹣sinx1）（cosx2﹣sinx2）+1=0． 令m=cosx1﹣sinx1，n=cosx2﹣sinx2， 则m∈，． 2

∴a+（m+n）a+mn+1=0．

22

△=（m+n）﹣4mn﹣4=（m﹣n）﹣4， ∴0≤（m﹣n）﹣4≤4，当m﹣n=又

时，m+n=0，

=

．

2

．

∴﹣1≤a≤1．

∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为． 故答案为：．

点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目． 15．（5分）已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x﹣2）=﹣f（x），且在的最大值为2，有下列命题：

①f（x）的周期为4；

②f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称； ③f（x）的图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称； ④f（x）在R上的最小值是2． 其中真命题为①②③④．

考点： 函数的周期性；函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用已知条件，周期、轴对称、中心对称的意义判断前3 个命题都是正确的，对于第四个命题，由奇偶性知f（x）在的最大值为2，得f（x）在的最小值﹣2，再由①②③正确得④正确．

解答： 解：由f（x﹣2）=﹣f（x） 得f（x﹣4）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，故①正确 由f（4k+2﹣x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x），

所以f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称，故②正确；

由f（4k﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x）得f（4k﹣x）+f（x）=0，故正确③； 由f（x）在的最大值为2，得f（x）在的最小值﹣2，又f（x﹣2）=﹣f（x），

所以f（x）在的最大值为2，最小值为﹣2．由①得f（x）在R上的最小值是2，故④正确． 故答案为：①②③④

点评： 本题考察了抽象函数的性质，性质的解析式表示，掌握好数学表达式是解题关键．

三、解答题（共75分） 16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（

，1），与该最高点最近的一个最低点是（

，﹣3）．

（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

?

=﹣ac，角A的取值

范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的取值范围．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．

分析： （1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=2sin（ωx+）+c，再依题意可求

得c及ω，从而可得函数f（x）的解析式，继而利用正弦函数的单调性可求其单调增区间； （2）利用向量的数量积与诱导公式可求得cosB=，又0＜B＜π，于是知B=M=（0，

，从而知

），利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）的取值范围．

sinωx+cosωx+c

解答： 解：（1）∵f（x）==2（

sinωx+cosωx）+c

）+c，

=2sin（ωx+

∴f（x）max=2+c=1，f（x）min=﹣2+c=﹣3， ∴c=﹣1； 又=∴T=∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+由2kπ﹣

≤2x+

）﹣1．

（k∈Z），得：kπ﹣

≤x≤kπ+

（k∈Z），

﹣=π，

=

，

≤2kπ+

∴函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）； （2）依题意，

?

=|

|?|

|cos＜

，

＞=ca?cos（π﹣B）=﹣ac，

∴cosB=，又0＜B＜π， ∴B=

．

），即M=（0，）时，2x+）∈（﹣1，1]，

）﹣1∈（﹣3，1]．

∈（

）； ，

），

∴A∈（0，∴当x∈（0，∴sin（2x+

∴f（x）=2sin（2x+

即函数f（x）的取值范围为（﹣3，1]．

点评： 本题考查三角函数中的恒等变换，考查向量的数量积与诱导公式，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．

17．（12分）已知偶函数f（x）的定义域为，且f（﹣1）=1，若对任意x1，x2∈，x1≠x2，都有

＞0成立．

（1）解不等式

2

；

（2）若f（x）≤t﹣2at+1对x∈和a∈恒成立，求实数t的取值范围．

考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）根据题意得f（x）在上单调递减，又f（x）是偶函数，则f（x）=f（﹣|x|），

由此得从而解得x范围；

（2）由不等式恒成立的条件求实数t的取值范围． 解答： 解：（1）由对任意x1，x2∈，x1≠x2，都有（x）在上单调递减，

又f（x）是偶函数，则f（x）=f（﹣|x|），

成立知，f

所以

，

故不等式的解集为

2

．

（2）由已知fmax（x）=f（﹣1）=1，又f（x）≤t﹣2at+1对x∈和a∈恒成立，

22

所以1≤t﹣2at+1?2at﹣t≤0，在a∈上恒成立， 只需

，即t=0或t≤﹣2或t≥2，

所以实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪

点评： 本题综合考察了对数函数的性质，运用换元，构造的方法转化求解，考察了多种数学思想，难度较大．

19．（12分）已知函数f（x）=ax﹣bx+（2﹣b）x+1（a，b是实数，a≠0）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2． （1）求证：0＜a＜2b＜3a：

（2）若函数g（x）=f′（x）﹣2+a﹣2b．设g（x）的零点为α，β，求|α﹣β|的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的极值．

专题： 计算题；证明题；导数的综合应用．

分析： （1）由极值和导数的关系，以及单调性和导数的关系得到a＞0，再由二次函数的性质可得f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，即可得证；

（2）求出g（x）的表达式，运用韦达定理，求出|α﹣β|的表达式，配方再由（1）的结论，即可得到．

2

解答： （1）证明：由题意f'（x）=ax﹣2bx+（2﹣b）， f'（x）=0的根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2， 且f（x）在区间（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，即f'（x）＞0， f（x）在（x1，x2）上单调递减，即f'（x）＜0， 所以a＞0，

32

所以，

又a＞0，所以0＜a＜2b＜3a；

（2）解：函数g（x）=f'（x）﹣2+a﹣2b．设g（x）的零点为α，β， 即有g（x）=ax﹣2bx+a﹣3b，α+β=

2

，，

则由（1）知∴

．

，

点评： 本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查函数和方程的转换思想方法，注意运用二次函数的性质解决，属于中档题．

20．（13分）f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）=

，其中m，a均为实数．

（1）求g（x）的极值．

x+12

（2）设a=﹣1，若函数h（x）=f（x）+xe?g（x）﹣mlnx是增函数，求m的取值范围． （3）设a=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2），使得f（t1）=f（t2）=g（xm），求m的取值范围．

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．

（2）由题意可得，对x∈（0，+∞）恒成

立，讨论二次函数在（0，+∞）上的单调性即可得出结论；

（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围． 解答： 解：（1）

，令g（x）=0，得x=1当x∈（0，1）时，

g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∵g（1）=1 ∴y=g（x）的极大值为1，无极小值．

22

（2）因为a=﹣1，由题意，h（x）=x+m（x﹣1）+（1﹣m）lnx是增函数，

，对x∈（0，+∞）恒成立，

2

当

时，只需1﹣m≥0，即0≤m≤1，当

综上得，

．

时，只需，即

（3）由（1）知，当x∈（0，e]时，g（x）∈（0，1]，

由题意，当f（x）取（0，1]的每一个值时，在区间（0，e]上存在t1，t2（t1≠t2）与该值对应．

a=2时，当m=0时，=0，由题意，

f（x）在区间（0，e]上不单调，所以，当

时，f'（x）＜0，当

，

，

，f（x）单调递减，不合题意，当m≠0时，

时，f'（x）

时，f'（x）＞0所以，

，

②f（e）=m

使f（x0）＞1

当x∈（0，e]时，

由题意，只需满足以下三个条件：①（e﹣1）﹣2≥1③∵

，所以①成立．由②f（x）=m（x﹣1）﹣2lnx→+∞，所以③满足，

所以当m满足即时，符合题意，故，m的取值范围为．

点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生的等价转

化思想的运用能力及运算求解能力，属于难题． 21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）． （1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间上的最大值；

2

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的综合应用．

分析： （1）中求出斜率，代入切线方程即可；

（2）中需要讨论m的范围，m的取值范围不一样，求出的最值不同； （3）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决． 解答： 解：（1）因为点P（1，﹣1）在曲线y=f（x）上， 所以﹣m=﹣1，解得m=1．

因为f′（x）=﹣1=0， 所以切线的斜率为0， 所以切线方程为y=﹣1． （2）因为f′（x）=﹣m=

．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f （x）在（1，e）上单调递增， 则f （x）max=f （e）=1﹣me．

②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，

所以函数f （x）在（1，e）上单调递增，

则f （x）max=f （e）=1﹣me． ③当1＜＜e，即＜m＜1时，

函数f （x）在 （1，）上单调递增，在（，e）上单调递减， 则f （x）max=f （）=﹣lnm﹣1． ④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0， 函数f （x）在（1，e）上单调递减， 则f （x）max=f （1）=﹣m．

综上，①当m≤时，f （x）max=1﹣me； ②当＜m＜1时，f （x）max=﹣lnm﹣1；

③当m≥1时，f （x）max=﹣m． （3）不妨设x1＞x2＞0． 因为f （x1）=f （x2）=0，

所以lnx1﹣mx1=0，lnx2﹣mx2=0， 可得lnx1+lnx2=m（x1+x2），lnx1﹣lnx2=m（x1﹣x2）．

2

要证明x1x2＞e，

即证明lnx1+lnx2＞2，也就是m（x1+x2）＞2． 因为m=所以即证明即ln令

＞

， ＞．

． ，

=t，则t＞1，于是lnt＞

（t＞1）， =

令?（t）=lnt﹣则?′（t）=﹣

＞0．

故函数?（t）在（1，+∞）上是增函数， 所以?（t）＞?（1）=0，即lnt＞所以原不等式成立．

成立．

点评： 本题是关于导数的综合应用，利用导数求斜率，求函数的单调区间以及区间上的最值是最主要的题型之一．

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