2015-2016学年华师大版八年级数学上12.2整式的乘法（4课时）教学

12.2 整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

【教学目标】

知识与技能

学生能理解并掌握单项式的乘法法则,能够熟练地进行单项式的乘法计算. 正确区别各单项式中的系数,同底数的幂和不同底数幂的因式. 过程与方法

让学生感知单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立,知道单项式乘法的结果仍是单项式;经历探索乘法运算法则的过程,发展观察、归纳、猜测、验证等能力.

情感、态度与价值观

注意培养学生的归纳、概括能力以及运算能力,充分调动学生的积极性,主动性. 【重点难点】

重点

对单项式运算法则的理解和应用. 难点

应用单项式与单项式的乘法法则解决数学问题. 【教学过程】

一、复习旧知,导入新课

我们已经学习了幂的运算性质,你能解答下面的问题吗? 1.判断下列计算是否正确,如有错误加以改正. (1)a3·a5=a10;(2)a·a2·a5=a7; (3)(a3)2=a9;(4)(3ab2)2·a4=6a2b4.

2.计算:

(1)10×102×104=( ); (2)(a+b)·(a+b)3·(a+b)4=( ); (3)(-2x2y3)2=( ). 【教师活动】

我们刚才已经复习了幂的运算性质.从本节开始,我们学习整式的乘法.我们知道,整式包括什么?(包括单项式和多项式.)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简单的一种:单项式与单项式相乘. 二、师生互动,探究新知

1.一个长方体底面积是4xy,高度是3x,那么这个长方体的体积是多少?

【学生活动】

小组合作完成,在小组交流讨论后由代表发言. 【教师活动】

每一步的依据是什么?(乘法交换律)

因此4xy·3x=4·xy·3·x=(4·3)·(x·x)·y=12x2y.(要强调解题的步骤和格式) 2.仿照刚才的作法,你能解出下面的题目吗? (1)3x2y·(-2xy3)=[3·(-2)]·(x·x2)(y·y3)=-6x3y4.

(2)(-5a2b3)·(-4b2c)=[(-5)×(-4)]·a2·(b3·b2)·c=20a2b5c. 【教师活动】

第(2)题中在第二个单项式-4b2c中出现的c怎么办? 【学生活动】

由小组讨论归纳单项式乘单项式的法则,教师板书.

单项式和单项式相乘,系数与系数相乘,相同字母的幂分别相乘;对于只在一个单项式中出现的字母,则连同它的指数一起作为积的一个因式. 三、随堂练习,巩固新知

1.3x5·5x3= ,4y·(-2xy3)= . 2.3×103×5×102= . 3.(-3x2y)·xy2= . 4.下列计算正确的是( ) A.4a2·2a2=8a6 B.2x4·3x4=6x8 C.3x2·4x2=12x2

D.(2ab2)·(-3abc)=-6a2b3

【答案】 1.15x8,-8xy4 2.1.5×106 3.-x3y3 4.B

四、典例精析,拓展新知

【例1】

边长是a的正方形面积是a·a,反过来说,a·a也可以看作是边长为a的正方形的面积. 探讨:3a·2a的几何意义. 探讨:3a·5ab的几何意义. 【答案】

可以看做是长为a,宽为5b,高为3a的长方体的体积,也可以看作是长为5a,宽为b,高为3a的长方体的体积.

【例2】

纳米是一种长度单位,1米=109纳米,试计算长为5米,宽为4米,高为3米的长方体的体积是多少立方纳米?

【分析】

长方体体积=长×宽×高 【答案】 6×1028(立方纳米) 【教学说明】 注意单位换算. 五、运用新知,深化理解

1.边长分别为2a和a的两个正方形按如图形式摆放,则图中阴影部分的面积是( )

A.2a2 B.2 C.5a2-3a

D.a2

2.光速约为3×105 km/s,太阳光照射到地球所需的时间为5×102 s,则太阳与地球间的距离是 km.

【答案】 1.A 2.1.5×108 【教学说明】

第1题若学生思维受阻时,引导阴影部分可以转化成哪些图形的积和差?直角三角形的底和高各是多少? 六、师生互动,课堂小结

这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结. 【教学反思】

这节课内容较为简单,在探索单项式乘单项式法则时,注意让学生自己归纳,以提高学生使用数学语言的能力,在推导的过程中,注意每步依据为后面几何证明服务,从而培养逻辑思维能力,变式训练中表达阴影部分面积,旨在培养学生直观图感,将图形语言向数学符号语言转化能力,同时注意转化数学思想的应用.

2.单项式与多项式相乘

【教学目标】

知识与技能

在具体情况中,了解单项式乘以多项式的意义,理解单项式与多项式的乘法法则,会进行单项式与多项式的乘法运算.

过程与方法

1.经历探索乘法运算法则的过程,发展观察、归纳、猜测、验证等能力. 2.体会乘法分配律的作用与转化思想,发展有条理的思考及语言表达能力. 情感、态度与价值观

充分调动学生学习的积极性、主动性. 【重点难点】

重点

单项式与多项式的乘法运算. 难点

推测整式乘法的运算法则.

【教学过程】

一、复习旧知,导入新课

1.单项式与单项式相乘法则? 2.完成下列各题. (1)2x2·(-4xy)=( ); (2)(-2x2)·(-3xy)=( ); (3)(-ab)·(ab2)=( ). 二、师生互动,探究新知

1.5×(7-2+3)=5× +5× +5× 依据是什么?将题中数转换成字母a、b、c、d,则a·(b+c+d)= ?

【教师活动】

你能将算出的结果用长方形的面积验证吗?如图

2.在教师引导下,学生总结法则,并用语言叙述,教师订正语言准确性.

板书:单项式与多项式相乘,只要将单项式分别乘以多项式的各项, 再将所得的积相加.即a(b+c+d)=ab+ac+ad 三、随堂练习,巩固新知

1.2a(4a-2b)= .

2.4x2(5x2-3x+1)= . 3.(4x2-6xy2)·(-xy)= .

4.若一个长方体的长、宽、高分别为3x-4,2x和x,则它的体积是 . 【答案】 1.8a2-4ab 2.20x4-12x3+4x2 3.-x3y+2x2y3 4.6x3-8x2 四、典例精讲,拓展新知

【例】 先化简,再求值.

(1)3x2(2x2-x+1)-x(3x3-4x2+2x),其中x=-1; (2)x2(3-x)+x(x2-2x)+1,其中x=2. 【分析】

先利用单项式乘多项式的法则化简,再代入求值. 【答案】

(1)化简得3x4+x3+x2,当x=-1时,原式=3.(2)化简得x2+1,当x=2时,原式=5. 【教学说明】

教师强调运用法则做到一步一查确保计算准确无误,这类题应先化简,再求值. 五、运用新知,深化理解

先化简,再求值

(1)3x(2x+y)-2x(x-y),其中x=1,y=1/5

(2)已知x2-3=0,求x(x2-x)-x2(5+x)-9的值. 【答案】

(1)4x2+5xy,5;(2)-x2-24,-27. 【教师说明】

(2)中宜将x2视为一个整体. 六、师生互动,课堂小结

这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

1.指导学生总结本节课的知识点,学习过程等的自我评价.

2.多项式×单项式的积的项数、符号(结合去括号法则)及不能漏乘等注意事项给予强调. 3.要善于在图形变化中发现规律,能熟练地对整式加减进行运算. 【教学反思】

本节课法则推导利用乘法的分配律,从数类比到字母,学生亲切易懂,体现用字母代替数的思想,再让学生用长方形面积验证,培养思维严谨性,注重数形结合思想.

运用新知中,第(2)题将x2看作一个整体,提高计算灵活性.本课计算量有所加大,如何让学生计算更准确,除熟练运用法则外,还应对学生计算作心理指导.如做一步查一步,不要做完再检查,可通过演算比赛调动计算情趣.

3.多项式与多项式相乘

【教学目标】

知识与技能

经历探索多项式乘法法则的过程,理解多项式乘法法则;灵活运用多项式乘以多项式的运算法则.

过程与方法

经历探索乘法法则的过程,发展观察、归纳、猜测、验证的能力;体会乘法分配律的作用与转化思想,发展有条理的思考及语言表达能力.

情感、态度与价值观

充分调动学生学习的积极性、主动性及与他人沟通交往的能力. 【重点难点】

重点

多项式乘法的运算. 难点

探索多项式乘法的法则,注意多项式乘法的运算中“漏项”“负号”的问题. 【教学过程】

一、复习旧知,导入新课

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.(单项式乘以多项式就是用单项式乘以多项式中的每一项,再把所得的积相加.)

式子p(a+b)=pa+pb中的p,可以是单项式,也可以是多项式.如果p=m+n,那么p(a+b)就成了(m+n)(a+b),这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相乘的问题.(由此引出课题)

你会计算这个式子吗?你是怎样计算的? 二、师生互动,探究新知

【教师活动】

教师引导学生由繁化简,把(m+n)看作一个整体,使之转化为单项式乘以多项式,即: [(m+n)(a+b)]=(m+n)a+(m+n)b=ma+mb+na+nb.

【学生活动】

由教材P28例图你会验证吗? 【教师活动】

问题:(1)如何表示扩大后的林区的面积?

(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢? 【学生活动】

学生分组讨论,相互交流得出答案. 【教师活动】

观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系,能不能由原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到,又是怎样相乘得到的?(教师示范)

1.你能用语言叙述这个式子吗?

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

即:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 【教师活动】

2.两个多项式相乘,不先计算能知道结果中(合并同类项前)有几项吗? 3.在计算中怎样才能不重不漏?

这个法则,对于三个或三个以上的多项式相乘,是否适用?若适用,应怎样计算? 【学生活动】

学生小组讨论、交流、发言汇报. 三、随堂练习,巩固新知

【例1】

计算:(1)(x+3)(2x2-4x+1);

(2)2(2x+3y)(3x+2y)-(6x-y)(2x-5y). 【答案】

(1)(x+3)(2x2-4x+1)=x·2x2+x·(-4x)+x·1+3×2x2+3×(-4x)+3×1=x3-2x2+x+6x2-12x+3=x3+4x2-x+3.

(2)2(2x+3y)(3x+2y)-(6x-y)(2x-5y)=2(6x2+4xy+9xy+6y2)-(12x2-30xy-2xy+5y2)=12x2+8xy+18xy+12y2-12x2+30xy+2xy-5y2=58xy+7y2. 四、典例精析,拓展新知

甲、乙二人共同计算一道整式乘法:(2x+a)·(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.

(1)你能知道式子中a、b的值各是多少吗? (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果. 【分析】

甲抄错了a的符号,即甲的计算式为(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab.对比得到的结果可得-(3a-2b)=11;乙漏抄了第二个多项式中a的系数,即乙的计算式为(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab.对比得到的结果可得出a,b的值.

解: (1)(2x-a)(3x+b)=6x2-(3a-2b)x-ab=6x2+11x-10. (2)(2x+a)(x+b)=2x2+(a+2b)x+ab=2x2-9x+10. ∴解得

(2)原式=(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10. 五、运用新知,深化理解

若多项式(x2+mx+n)(x2-3x+4)展开后不含x3项和x2项,试求m、n的值.

解:原式

=x4+mx3+nx2-3x3-3mx2-3nx+4x2+4mx+4n=x4+(m-3)x3+(n-3m+4)x2+(4m-3n)x+4n,由题意得:

m-3=0,且n-3m+4=0 ∴m=3,n=5. 【教学说明】

教师提示各项系数对应,即待定系数法. 六、师生互动,课堂小结

这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

指导学生总结本节课的知识点,学习过程的自我评价.主要针对以下方面: 1.多项式×多项式 2.整式的乘法

用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项,不要漏项.在没有合并同类项之前,两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积. 【教学反思】

本节课推导多项式乘多项式法则时,从单项式乘多项式法则入手,用换元思想直接推导,思维有根基,为防止本节课中最大错误——漏乘现象,教师设置了一个探究关于多项式相乘后(没合并同类项前)的项数问题,很好的避免了这个错误.典例精析中的待定系数法初次接触,注意对学困生进行及时指导.

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