大学文科数学全部公式

sin x 1 . 1.重要极限 lim x 0 x特点:

lim

sin

0

1

2.重要极限①特点:

1 x lim (1 ) e x x lim (1

1

) e

定义 3

设 lim lim 0 ,

(1)若 lim 0 ,则称 是 的高阶无穷小量， 记为 o( ) ;而称 是 的低阶无穷小量. (2)若 lim k 0 ,则称 与 是同阶无穷小量， 记为 O( ) ; (3)若 lim 1 ,则称 与 是等价无穷小量， 记为 ~ ; (4)若 limx 是 x 的 k 阶无穷小量.k

L ( L 0, k 0) ,则称 x 0 时，

重要结论：1 x, 当 x 0 时, loga (1 x) ~ lna

ln( 1 x ) ~ x ,

e x 1 ~ x ,a 1 ~ x lna ,x

(1 x) 1 ~ x.

∴ sin x ~ tan x ~arcsin x ~arctan x ~x1 2 ; 1 cosx ~ x ( x 0 ) 2 x n 1 x 1 ~ ( x 0 ). n 连续的概念x x0

(x 0 );

lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x )x x0 x x0

(极值存在的必要条件) 称为可能极值点. 导数不存在的点 驻点定理( 设 y f ( x ) 在 [a , b] 上连续，在a , b) 内二阶可导，则

(1)若 在 ( a , b ) 内， f ( x ) 0 ,则曲线弧 y f ( x )在 ( a , b ) 内是向下凸的； (2)若在(a ,b )

内， f ( x ) 0 ,则曲线弧

y f ( x )在 ( a , b )

内是向上凸的.

f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) y f ( x ) lim lim lim x 0 x x 0 x x0 x x x0

基本初等函数和常数的求导公式(1) (c ) 0 ;

(2)( x ) x 1 ;(4)(e x ) e x ;

(3) (a x ) a x lna ;1 (5) (loga x) ; xlna(7) (sin x ) cos x ;

1 (6) (lnx) ; x(8)(cosx ) sin x ;

1.积分公式

(1)d(C ) 0;

x 1 (2) x dx C ( 1); 1 1 1 (3) dx ln x C; (3)d(ln x ) dx; x x 1 1 dx arctan x C; (4)d(arctan x ) dx; (4) 2 1 x 1 x2 1 1 dx arcsinx C; (5)d(arcsinx ) dx; (5) 1 x2 1 x2

x 1 (2)d( ) x dx; 1

(1) 0dx C ;

a (6)d( ) a xdx; ln a

x

ax (6) a xdx C; ln a

(7)d(e ) e dx;(8)d(sin x ) cos xdx;

x

x

(7) e x dx e x C;(8) cos xdx sin x C ;

(9)d( cos x ) sin xdx;

(9) sin xdx cos x C ;

(10)d(tan x) sec2 xdx;(11)d( cot x) csc2 xdx;

(10) sec2 xdx tan x C;(11) csc2 xdx cot x C;

(12)d(sec x ) sec x tan xdx; (12) sec x tan xdx sec x C;(13 )d( csc x ) csc x cot xdx . (13) csc x cot xdx csc x C .

2.常用凑微分式子(1) dx

1 d(ax b) ; a

(2) xdx

1 (3) dx d(ln x ) ; x1 (5) dx 2d( x ) ; x

1 d( x 2 ) ; 2

1 1 (4) dx d( ) ; 2 x x(6)1 1 x2

dx d(arctan x ) ;

tan xdx ln cos x C . cot xdx ln sin x C .

不定积分的分部积分法分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，如 x na x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等.

分部积分法是乘积微分公式的逆运算.

一、分部积分公式即

udv uv vdu .反对幂指三

(一)简单根式代换例 10.求 1 1 e xx

dxx 2

解：令 1 e t ,e t 1 ,x ln( t 1) , dx 2

2t

t 2 1 1 1 2t 1 dx dt 2 dt x t t 2 1 t 2 1 1 ex

dt ,则

2 t 1 1 e 1 ln C ln C . x 2 t 1 1 e 1

三角函数代换.

当被积函数含有(1) a 2 x 2 时，令 x a sin t ;

(2) x 2 a 2 时，令 x atant ;(3) x 2 a 2 时，令 x asect .

变限求导公式(1) [ f ( t )dt ] f ( x ) ;a x

(2) [

b x

f ( t )dt ] f ( x ) ;

(3) [ (4) [ (5) [

(x)a

f ( t )dt ] f [ ( x )] ( x ) ;

b g( x )

f (t )dt ] f [ g( x )] g ( x ) ;f (t )dt ] f [ ( x )] ( x ) f [ g( x )] g ( x ) .

( x)g( x )

(1)

a

a

f ( x ) dx [ f ( x ) f ( x )] dx ;0 a a a a

a

(2)当 f ( x ) 为偶函数，则 (3)当 f ( x ) 为奇函数，则

f ( x ) dx 2

a o

f ( x ) dx ;

f ( x ) dx 0 .

奇偶函数在对称区间上的积分性质

可分离变量方程的一般形式为

dy f ( x ) g( y ) dx

求解步骤：dy (1)分离变量： f ( x )dx ( g( y ) 0) ; g( y )dy f ( x )dx ; (2)两边积分： g( y )

(3)求出积分，得通解：G( y ) F ( x ) C , 1 , f ( x ) 的原函数。 其中 G ( y ), F ( x ) 分别是 g( y )

(4)根据初始条件求方程的特解.(5)若有 g ( y0 ) 0 ,则 y y0 也是方程的解，称为常数解.

(二)一阶线性非齐次方程的解法

y P ( x ) y Q( x )y e P ( x )dx

P ( x )dx dx C ] [ Q ( x )e

例.求方程 ( x y4 )dy ydx 0 的通解.

解： ydx ( xx当作自变量，把 y 当作 未知函数， y 4 )dy , 分析：若仍把dx 1 含x yy 3,则它不是线性方程，为此， 由于方程中 y 有 4 , dy

这是一个关于未知函数 x 可把 x 当作是y 的函数. x( y ) 的一阶线性非齐次方程，其中1 P ( y ) , Q( y ) y 3 ,代入通解公式，得 y1 y dy

x e

[ y e

1 dy 3 y

1 3 dy C ] y[ y C ] , 3

1 4 故原方程的通解为 x y Cy . 3

行列式的计算三种常用方法三角法 ： 根据行列式的特点，利用行列式的性 质，把它逐步化为三角行列式，然后求得

其值。降阶法 ： 利用行列式按行(列)展开法则降阶， 把它降为较低阶的行列式，然后求解；通常此法需 结合化简性质运用。 通过降阶法建立起行列式与其同形的 递推法 ： 较低阶的行列式的关系式--------递推关系式，然后由 递推关系式求解其值。

初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于 用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 初等变换的应用： 1、用初等变换求逆矩阵的方法: 行 A E E A 1 1)构造:(A E); 2)做初等行变换

2、用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:1) A B 行 E A 1 B A E 1) 列 1 B BA

2) X A 1 B

3、用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:2) X BA 1

4、用初等变换求矩阵的秩的方法: 1)将A用初等变换化为行阶梯矩阵； 2)R(A)=A的行阶梯矩阵的非零行数。

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