y=ax2+bx+c的图像和性质练习题（含答案）

二次函数y?ax2?bx?c的图像和性质

一、填空题： 1、二次函数

在

上有最小值

，则的值为___________.

2、将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是

3、直线y = 2x＋b右移3个单位长度后过抛物线y = 2x2－2x＋4的顶点，则b = 。

4、已知二次函数x+2的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为 ．

5、如图，抛物线y=ax2+bx+c(与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 。

6、如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2－2ax+ （a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为 ．

7、如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 . 二、选择题：

8、抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）。 A.y=x+4x+3 B. y=x+4x+5 C. y=x－4x+3 D.y=x－4x－5 9、无论m为任何实数，抛物线y＝

＋（2－m）x＋m总过的点是（ ）

2

2

2

2

A（1，3） B（1，0） C（－1，3） D（－1，0）

10、在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A．y＝2(x + 2)2－2 B．y＝2(x－2)2 + 2 C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2

1

11、已知一元二次方程

、、 A.

B.

，

的一根为-3，在二次函数的图像上有三点

、、的大小关系是（ ） C.

D.

12、抛物线y?ax2?bx?c的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线为

y?2x2?4x?3，原抛物线为（ ）

A.y?2x2?4x?4

2 B.y?2x?12?x2 1 C8.y ?2x2?4x?2 D.y?2x?12?x 2013、如果抛物线的顶点到轴的距离是3，那么的值等于（ ）

A、8 B、14 C、8或14 D、-8或-14

14、若二次函数y=x2-2mx+1+m2．当≤3时，随的增大而减小，则 A．

=3 B．

>3 C．

≥3 D．

≤3

与反比例函数

的取值范围是（ ）

15、二次函数的图象如图所示，则一次函数

在同一坐标系内的图象大致为 （ ）．

16、已知二次函数的图象（﹣0.7≤x≤2）如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，

下列说法正确的是（ ）A.有最小值1,最大值2 B.有最小值-1,最大值1 C.有最小值-1,最大值2 D.有最小值-1,无最大值

17、二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线图所示，对于下列说法：①；②；③；④当正确的是（ ）

，其图象一部分如时，．其中

A．①② B．①④ C．②③ D．②③④

2

18、已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①＞1.其中正确的结论是 （ ）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 19、抛物线 A．

B．

的部分图象如图所示，若

C．

或

＞0；② ； ③＜； ④

，则的取值范围是（ ） D．

或

20、已知二次函数A．

B．

的图象如图所示对称轴为 C．

．下列结论中，正确的是（ ）

D．

21、如图6，抛物线与抛物线于点．则以下结论：①无论取何值，④

．其中正确结论是（ ）

交于点，过点作轴的平行线，分别交两条

的值总是正数．②．③当时，．

A．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④ 三、简答题： 22、已知二次函数

与y轴的交点坐标为（0，3）。

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。

23、已知：二次函数

求：（1）二次函数的解析式。 （2）求出这个二次函数的图象；

（3）根据图象回答：当x取什么值时，y的值不小于0。

24、 已知：二次函数的表达式为

．（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；并画出图像。

的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），

的图象与X轴交于A（1，0）、B（5，0），抛物线的顶点为P，且PB=，

（2）求图象与轴的交点坐标；（3）观察图象，指出使函数值y＞时自变量x的取值范围

3

25、足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s． （1）求y关于x的函数关系式；

（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；

（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？

26、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上． （1）求点C、D的纵坐标．（2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为

27、如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2,0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

28、已知二次函数y=x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

29、如图，抛物线经过两点，此抛物线的对称轴为直线，顶点为，且与直线交于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）连接，求证：；

4

分别交线

30、已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标.（2）将抛物线向右平移2个单

的顶点

位，再向上平移1个单位，得到抛物线为P，轴上有一动点M，在

、

，求抛物线的解析式.（3）如下图，抛物线

这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点

构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示：抛物线

5

（≠0）的对称轴是顶点坐标是】

参考答案

一、填空题1、 2、

3、 17/2 4、 (-1, )

5、

二、选择题

6、（2，） 7、（ 3， √3）

8、A 9、A 10、A 11、C 12、D, 13、D 14、C 15、答案：D

16、考点：二次函数的最值．.分析：直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．

解答：解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），

∵此抛物线开口向下，∴此函数有最大值，最大值为2；∵﹣0.7≤x≤2， ∴当x=﹣0.7时，函数最小值为﹣1．故选C．

点评：本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．

17、答案：C 18、D 19、B； 20、考点：二次函数图象与系数的关系。 解答：解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交与负半轴，∴c＜0，

∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B、∵对称轴：x=﹣=

﹣，∴a=b，故本选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，故本选项错误；D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故本选项正确．故选D． 21、D

三、简答题22、（1）

（2）

23、解（1）由题意，设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax2-6ax+5a 对称轴为x=3，设对称轴与x轴的交点为C(3,0) ∴OC=3 ∵OB=5 ∴BC=2 ∵P是顶点，BP=

∴PC=4 P（3，-4）

6

∴ ∴

∴二次函数的解析式为

（2）略 （3）当1

24、解 （1）y=-(x-1)2+2 (2)3或-1 图像略 （3）0＜x＜2． 25、解：（1）设y关于x的函数关系式为y=ax2+bx．（1分）

依题可知：当x=1时，y=2.44；当x=3时，y=0．∴，（3分）

∴，∴y=-1.22x2+3.66x．（5分）（2）不能．

理由：∵y=4.88，∴4.88=-1.22x2+3.66x，（6分）∴x2-3x+4=0． ∵(-3)2-4×4＜0，∴方程4.88=-1.22x2+3.66x无解． ∴足球的飞行高度不能达到4.88m．（7分）

（3）∵y=2.44，∴2.44=-1.22x2+3.66x，（8分）∴x2-3x+2=0，∴x1=1（不合题意，舍去），x2=2．

∴平均速度至少为26、解析：

=6（m/s）．（9分）

（1）把x=16代入y=-2x+42得y=10，把x=,4代入y=x得y=4.点C的纵坐标为10，点,D的纵坐标为4.

（2）把C(16,10)D(4,4)代入

0=256a-32+c，4=16a-8+c

得

解之得：a= c=10

得y=

7

（3）把y=5代入y=x得x=4 把y=5代入y=

，

PQ=5-=（4）7

考查知识：待定系数法求二次函数解析式、坐标系上两点间距离、求点的坐标。

27、解：(1)把A(2,0)，B(0，－6)代入y＝－x2＋bx＋c，

得，解得.

∴这个二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－6.

(2)∵该抛物线对称轴为直线x＝－＝4，∴点C的坐标为(4,0)，

∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝×AC×OB＝×2×6＝6.

28、解：（1）由题意，得 解得 ………………………4分

∴二次函数的关系式是y=x2－1．

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．

由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．

由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．

∴⊙P的半径为r=|x|=． …分

（3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1， ∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，

8

又当x＝0时，y＝－1，∴当y＞0时， ⊙P与y相离；

当－1≤y＜0时， ⊙P与y相交. …………………… 四、实验,探究

29、解：（1）抛物线 解

此抛物线的解析式为：．

（2）由（1）可得此抛物线的对称轴为，顶点的坐标为．

（3）证明：过两点的直线解析式为，

当时，．点的纵坐标为，．

作于点，则．，由勾股定理得，

五、综合题

30、 解：（1）依题意 ………………………………………………1分

∴， …………………………3分

∴顶点坐标是（2，2）

（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为5分

……………………………………………………

且y2的顶点坐标是（4，3）…………………………………………………………6分

9

∴y2＝－，即：y2＝……………………………

（3）符合条件的N点存在……………………………………………………………9分 如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则

∥

，且

∴

作

轴于点A，

轴于点B∴

，

，

则有（AAS） ∴

∵点P的坐标为（4,3）∴……10分∵点N在抛物线、上，且P点为

、的最高点 ∴符合条件的N点只能在轴下方

①点N在抛物线上，则有：解得：或……

②点N在抛物线上，则有：解得：或……………

∴符合条件的N点有四个：

……………………………………………14分

10

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