2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．

A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．

A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i

3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．

2

1111

A．3 B．3 C．9 D．9

4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l

α，

l

β，则( )．

A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l

52

5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( )．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．

1111+

10 A．23

1111+

10! B．2!3!

1111+

11 C．23

1111+

11! D．2!3!

7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，

(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c

x 1,

9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件 x y 3,若z＝2x＋y的最小值为1，则

y a x 3 .

a＝( )．

11

A．4 B．2 C．1 D．2

32

10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．

A． x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

2

11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．

1 1 11 1 1 , 2322 D． 32 C

． A．(0,1) B

．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第

24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE BD＝__________.

14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之

和等于5的概率为

1

，则n＝__________. 14

π 1

则sin θ＋cos θ＝__________. ，

4 2

15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若tan

16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB

＝

AB. 2

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．

x2y2

20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2 2=1(a＞b

ab1

＞0)

右焦点的直线x y 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

2

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

x

21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

x 2cost,

已知动点P，Q都在曲线C： (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，

y 2sint

M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ac≤

1； 3

a2b2c2(2) 1.

bca

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 答案：A

2

解析：解不等式(x－1)＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2． 答案：A 解析：z=

2i2i 1 i 2 2i

＝＝－1＋i.

1 i 1 i 1 i 2

3．

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

a1(1 q3)

∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，

1 q1 q32∴＝q＋10，整理得q＝9. 1 q

∵a5＝a1·q＝9，即81a1＝9，∴a1＝4． 答案：D

解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.

又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5． 答案：D

解析：因为(1＋x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x的项为C5x＋ax·C5x＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1. 6．

答案：B

解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；

2

5

4

1. 9

rr

2

221

11，S=1+； 22111

当k＝3时，T ，S 1+ ；

2 322 31111

当k＝4时，T ，S 1+ ；…；

2 3 422 32 3 4

1111

当k＝10时，T ，S 1+ ，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，

2 3 4 102!3!10!

当k＝2时，T

所以B正确．

7． 答案：A

解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx上的投影即正视图为8． 答案：D

解析：根据公式变形，a

，故选A.

lg6lg2lg10lg2lg14lg2

，b ，c ，因为lg 7＞lg 5 1 1 1

lg5lg5lg7lg7lg3lg3

lg2lg2lg2

＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D.

lg7lg5lg3

9． 答案：B

解析：由题意作出

x 1,

所表示的区域如图阴影部分所示，

x y 3

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得

a

11，所以a . 22

10． 答案：C

解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．

11． 答案：C

解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋则x0＝5－

p

＝5，2

p. 2

p p

,0 ，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0) x ＋(y－y0)y＝0.

2 2

y02

将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

2

p 2

由y0＝2px0，得16 2p 5 ，解之得p＝2，或p＝8.

2

又点F的坐标为

所以C的方程为y＝4x或y＝16x.故选

C.

2

2

12． 答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2

解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为

(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，所以

AE BD 2.

14．答案：8

2

解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以

21241 ，即，解得n＝8.

n n 1 C214n n 1 14n

2

π 1 tan 111

解析：由tan ，得tan θ＝ ，即sin θ＝ cos θ.

4 1 tan 233

10222

将其代入sinθ＋cosθ＝1，得cos 1.

9

因为θ为第二象限角，所以cos θ

＝ ，sin θ

＝，sin θ＋cos θ

＝ .

10105

15．

答案：16．答案：－49

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋

10 9

d＝10a1＋45d＝0，① 2

15 14

d＝15a1＋105d＝25.② 2

2

联立①②，得a1＝－3，d ，

3

n(n 1)21210

所以Sn＝ 3n n n.

2333

1310220

令f(n)＝nSn，则f(n) n n，f'(n) n2 n.

333

20

令f′(n)＝0，得n＝0或n .

3

202020当n 时，f′(n)＞0,0<n<时，f′(n)＜0，所以当n 时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)

333

S15＝15a1

＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故

sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，

又B∈(0，π)，所以B (2)△ABC

的面积S

π. 4

1acsin B ac. 24

π22

由已知及余弦定理得4＝a＋c－2accos.

4

22

又a＋c≥2ac

，故ac ，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC

.

18．

解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF 平面A1CD，BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB

＝

平面A1CD，

AB得，AC⊥BC. 2

以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

n CD 0, x1 y1 0,则 即

2x 2z 0.1 n CA1 0, 1

可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m是平面A1CE的法向量，

m CE 0,则 可取m＝(2,1，－2)． m CA1 0,

n·m 从而cos〈n，m

〉＝，

|n||m|故sin〈n，m

. 即二面角D－A1C－E

19．

解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000. 所以T

800X 39000,100 X 130,

65000,130 X 150.

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T

所以ET20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

x12y12x22y22y y1则2 2=1，2 2=1，2= 1，

x2 x1ababb2 x2 x1 y y

21=1. 由此可得2

a y2 y1 x2 x1

y1

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0 ，

x02

所以a＝2b.

又由题意知，M的右焦点为

0)，故a－b＝3.

22

因此a＝6，b＝3.

2

2

2

2

x2y2

所以M的方程为 =1.

63

x y 0,

(2)

由 x2y2

1, 3 6

x x 0, 解得 或

y y

3

因此|AB|

＝

. 3

由题意可设直线CD的方程为

n y

＝x n ， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

y x n,

22由 x2y2得3x＋4nx＋2n－6＝0.

1 3 6于是x3,4

.

因为直线CD的斜率为1，

1由已知，四边形ACBD

的面积S |CD| |AB|

2当n＝0时，S

取得最大值，最大值为.

3所以四边形ACBD

面积的最大值为.

3

所以|CD|

x4 x3| 21．

解：(1)f′(x)＝e

x

1

. x m

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex

x

1. x 1

函数f′(x)＝ex

1

在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0. x 1

因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0. 当m＝2时，函数f′(x)＝ex

1

在(－2，＋∞)单调递增． x 2

又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得e0＝

x

1

，ln(x0＋2)＝－x0， x0 2

x0 1 21

故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

x0 2x0 2

综上，当m≤2时，f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．

解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A，由题设知

BCDC

，

FAEA

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．

2

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC

22222

＝DB·BA＝2DB，所以CA＝4DB＋BC＝6DB.

而DC＝DB·DA＝3DB，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

2

2

1. 2

M的轨迹的参数方程为

x cos cos2 ,

(α为参数，0＜α＜2π)．

y sin sin2

(2)M点到坐标原点的距离

d ＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

24．

解：(1)由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，

222

得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

2222

由题设得(a＋b＋c)＝1，即a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤

222222

1. 3

a2b2c2

(2)因为 b 2a， c 2b， a 2c，

bcaa2b2c2故 (a b c)≥2(a＋b＋c)， bca即a2b b2c c2a≥a＋b＋c. a2b2c2

所以b c a

≥1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h9l4.html