2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M={x|(x-1)<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=( ).

A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} D.{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( ).

A.-1+i B.-1-I C.1+i D.1-i

3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ).

2

1111

A.3 B.3 C.9 D.9

4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l

α,

l

β,则( ).

A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l

52

5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax)(1+x)的展开式中x的系数为5,则a=( ).

A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

6.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( ).

1111+

10 A.23

1111+

10! B.2!3!

1111+

11 C.23

1111+

11! D.2!3!

7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),

(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( ).

8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ).

A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

x 1,

9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a>0,x,y满足约束条件 x y 3,若z=2x+y的最小值为1,则

y a x 3 .

a=( ).

11

A.4 B.2 C.1 D.2

32

10.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x+ax+bx+c,下列结论中错误的是( ).

A. x0∈R,f(x0)=0

B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形

C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0

2

11.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( ).

A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x

12.(2013课标全国Ⅱ,理12)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ).

1 1 11 1 1 , 2322 D. 32 C

. A.(0,1) B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第

24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.(2013课标全国Ⅱ,理13)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE BD=__________.

14.(2013课标全国Ⅱ,理14)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之

和等于5的概率为

1

,则n=__________. 14

π 1

则sin θ+cos θ=__________. ,

4 2

15.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若tan

16.(2013课标全国Ⅱ,理16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(2013课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B;

(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

18.(2013课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB

AB. 2

(1)证明:BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

19.(2013课标全国Ⅱ,理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将T表示为X的函数;

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;

(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.

x2y2

20.(2013课标全国Ⅱ,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2 2=1(a>b

ab1

>0)

右焦点的直线x y 0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.

2

(1)求M的方程;

(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.

x

21.(2013课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆. (1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

23.(2013课标全国Ⅱ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

x 2cost,

已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),

y 2sint

M为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程;

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

24.(2013课标全国Ⅱ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤

1; 3

a2b2c2(2) 1.

bca

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 答案:A

2

解析:解不等式(x-1)<4,得-1<x<3,即M={x|-1<x<3}.而N={-1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},故选A. 2. 答案:A 解析:z=

2i2i 1 i 2 2i

==-1+i.

1 i 1 i 1 i 2

3.

答案:C

解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.

a1(1 q3)

∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,

1 q1 q32∴=q+10,整理得q=9. 1 q

∵a5=a1·q=9,即81a1=9,∴a1=4. 答案:D

解析:因为m⊥α,l⊥m,lα,所以l∥α.同理可得l∥β.

又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.故选D. 5. 答案:D

解析:因为(1+x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5,r∈Z),则含x的项为C5x+ax·C5x=(10+5a)x,所以10+5a=5,a=-1. 6.

答案:B

解析:由程序框图知,当k=1,S=0,T=1时,T=1,S=1;

2

5

4

1. 9

rr

2

221

11,S=1+; 22111

当k=3时,T ,S 1+ ;

2 322 31111

当k=4时,T ,S 1+ ;…;

2 3 422 32 3 4

1111

当k=10时,T ,S 1+ ,k增加1变为11,满足k>N,输出S,

2 3 4 102!3!10!

当k=2时,T

所以B正确.

7. 答案:A

解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:

则它在平面zOx上的投影即正视图为8. 答案:D

解析:根据公式变形,a

,故选A.

lg6lg2lg10lg2lg14lg2

,b ,c ,因为lg 7>lg 5 1 1 1

lg5lg5lg7lg7lg3lg3

lg2lg2lg2

>lg 3,所以,即c<b<a.故选D.

lg7lg5lg3

9. 答案:B

解析:由题意作出

x 1,

所表示的区域如图阴影部分所示,

x y 3

作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得

a

11,所以a . 22

10. 答案:C

解析:∵x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.

11. 答案:C

解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+则x0=5-

p

=5,2

p. 2

p p

,0 ,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0) x +(y-y0)y=0.

2 2

y02

将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.

2

p 2

由y0=2px0,得16 2p 5 ,解之得p=2,或p=8.

2

又点F的坐标为

所以C的方程为y=4x或y=16x.故选

C.

2

2

12. 答案:B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.答案:2

解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为

(0,2),点E的坐标为(1,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),所以

AE BD 2.

14.答案:8

2

解析:从1,2,…,n中任取两个不同的数共有Cn种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以

21241 ,即,解得n=8.

n n 1 C214n n 1 14n

2

π 1 tan 111

解析:由tan ,得tan θ= ,即sin θ= cos θ.

4 1 tan 233

10222

将其代入sinθ+cosθ=1,得cos 1.

9

因为θ为第二象限角,所以cos θ

= ,sin θ

=,sin θ+cos θ

= .

10105

15.

答案:16.答案:-49

解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+

10 9

d=10a1+45d=0,① 2

15 14

d=15a1+105d=25.② 2

2

联立①②,得a1=-3,d ,

3

n(n 1)21210

所以Sn= 3n n n.

2333

1310220

令f(n)=nSn,则f(n) n n,f'(n) n2 n.

333

20

令f′(n)=0,得n=0或n .

3

202020当n 时,f′(n)>0,0<n<时,f′(n)<0,所以当n 时,f(n)取最小值,而n∈N+,则f(6)

333

S15=15a1

=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.

解:(1)由已知及正弦定理得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又A=π-(B+C),故

sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B,

又B∈(0,π),所以B (2)△ABC

的面积S

π. 4

1acsin B ac. 24

π22

由已知及余弦定理得4=a+c-2accos.

4

22

又a+c≥2ac

,故ac ,当且仅当a=c时,等号成立.

因此△ABC

.

18.

解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点. 又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF. 因为DF 平面A1CD,BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC=CB

平面A1CD,

AB得,AC⊥BC. 2

以C为坐标原点,CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2).

设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,

n CD 0, x1 y1 0,则 即

2x 2z 0.1 n CA1 0, 1

可取n=(1,-1,-1).

同理,设m是平面A1CE的法向量,

m CE 0,则 可取m=(2,1,-2). m CA1 0,

n·m 从而cos〈n,m

〉=,

|n||m|故sin〈n,m

. 即二面角D-A1C-E

19.

解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以T

800X 39000,100 X 130,

65000,130 X 150.

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T

所以ET20.

解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),

x12y12x22y22y y1则2 2=1,2 2=1,2= 1,

x2 x1ababb2 x2 x1 y y

21=1. 由此可得2

a y2 y1 x2 x1

y1

因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,0 ,

x02

所以a=2b.

又由题意知,M的右焦点为

0),故a-b=3.

22

因此a=6,b=3.

2

2

2

2

x2y2

所以M的方程为 =1.

63

x y 0,

(2)

由 x2y2

1, 3 6

x x 0, 解得 或

y y

3

因此|AB|

. 3

由题意可设直线CD的方程为

n y

=x n , 设C(x3,y3),D(x4,y4).

y x n,

22由 x2y2得3x+4nx+2n-6=0.

1 3 6于是x3,4

.

因为直线CD的斜率为1,

1由已知,四边形ACBD

的面积S |CD| |AB|

2当n=0时,S

取得最大值,最大值为.

3所以四边形ACBD

面积的最大值为.

3

所以|CD|

x4 x3| 21.

解:(1)f′(x)=e

x

1

. x m

由x=0是f(x)的极值点得f′(0)=0,所以m=1.

于是f(x)=e-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)=ex

x

1. x 1

函数f′(x)=ex

1

在(-1,+∞)单调递增,且f′(0)=0. x 1

因此当x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.

所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.

(2)当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)>0. 当m=2时,函数f′(x)=ex

1

在(-2,+∞)单调递增. x 2

又f′(-1)<0,f′(0)>0,

故f′(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x0,且x0∈(-1,0). 当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0;

当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当x=x0时,f(x)取得最小值. 由f′(x0)=0得e0=

x

1

,ln(x0+2)=-x0, x0 2

x0 1 21

故f(x)≥f(x0)=+x0=>0.

x0 2x0 2

综上,当m≤2时,f(x)>0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.

解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A,由题设知

BCDC

FAEA

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为B,E,F,C四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°.

所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.

2

(2)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC

22222

=DB·BA=2DB,所以CA=4DB+BC=6DB.

而DC=DB·DA=3DB,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23.

解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).

2

2

1. 2

M的轨迹的参数方程为

x cos cos2 ,

(α为参数,0<α<2π).

y sin sin2

(2)M点到坐标原点的距离

d <α<2π).

当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

24.

解:(1)由a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ca,

222

得a+b+c≥ab+bc+ca.

2222

由题设得(a+b+c)=1,即a+b+c+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤

222222

1. 3

a2b2c2

(2)因为 b 2a, c 2b, a 2c,

bcaa2b2c2故 (a b c)≥2(a+b+c), bca即a2b b2c c2a≥a+b+c. a2b2c2

所以b c a

≥1.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/h9l4.html

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