江苏省泰州市2016届高三一模考试数学试题

江苏省泰州市2016届高三一模考试

数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜

审题人：吴卫东 唐咸胜

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

21．已知集合A?xx≤1，集合B???2,?1,0,1,2?，则A?B? ▲ ．

??2．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若则z2? ▲ ．

z2?i（i为虚数单位）， z1x2?y2?1的实轴长为 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2 ▲ ．

4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100 人，那么n? ▲ ．

5．执行如图所示的伪代码，当输入a,b的值分别为1,3时，最后输出的a 的值为 ▲ ．

（第2题）

Read a,bi?1While i?2a?a?bb?a?bi?i?1End WhilePrint a （第5题） 6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为1，甲乙下成和棋的概率为2，则乙不输棋的概率为 ▲ ．

55227．已知直线y?kx(k?0)与圆C:(x?2)?y?1相交于A,B两点，若AB?25， 5则k? ▲ ．

8．若命题“存在x?R,ax?4x?a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．

2O为BD1的中点，三棱锥 9．如图，长方体ABCD?A1BC11D1中，

D1C1VO?ABD的体积为V1，四棱锥O?ADD1A1的体积为V2，则1

V2的值为 ▲ ．

A1DOB1CA（第9题） B10．已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1?b1?0,a2?b2?0，

则a3?b3的取值范围是 ▲ ．

11．设f(x)是R上的奇函数，当x?0时，f(x)?2?lnxx，记an?f(n?5)，则数列 4{an}的前8项和为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B分别为x轴，y轴上一点，且AB?2，若点

????????????P(2,5)，则AP?BP?OP的取值范围是 ▲ ．

13．若正实数x,y满足(2xy?1)2?(5y?2)(y?2)，则x?1的最大值为 ▲ ． 2y14．已知函数f(x)?Asin(x??)?cosxcos(π?x)（其中A为常数，??(?π,0)），若实数x1,x2,x3满

262足：①x1?x2?x3，②x3?x1?2π，③f(x1)?f(x2)?f(x3)，则?的值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

在?ABC中，角A,B的对边分别为a,b，向量m?(cosA,sinB),n?(cosB,sinA)． （1）若acosA?bcosB，求证：m//n； （2）若m?n,a?b，求tanA?B的值． 216．（本题满分14分）

如图，在三棱锥P?ABC中，?PAC??BAC?90?，PA?PB，点D，F分别为BC，AB的中点．

（1）求证：直线DF//平面PAC；

P（2）求证：PF?AD．

FAB D

C 17．（本题满分14分）

一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB?1米，如图所示．小球从A点出发以?v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设?AOE??弧度，小球从A到F所需时间为T． （1）试将T表示为?的函数T(?)，并写出定义域；

AB（2）求时间T最短时cos?的值．

E

O

F

C D 18．（本题满分16分）

已知数列{an},{bn}满足2Sn?(an?2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．

21，公比为?的等比数列，求数列{bn}的通项公式； 33（2）若bn?n，a2?3，求数列{an}的通项公式；

a（3）在（2）的条件下，设cn?n，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．

bn（1）若数列{an}是首项为

19．（本题满分16分）

x2?y2?1， 如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知圆O:x?y?4，椭圆C: A为椭圆右顶点．过4原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O6的另一交点为Q，其中D(?,0)．设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2．

5（1）求k1k2的值；

（2）记直线PQ,BC的斜率分别为kPQ,kBC，是否存在常数?，使得kPQ??kBC？若存在，求?值；若

22不存在，说明理由；

（3）求证：直线AC必过点Q． 20．（本题满分16分） 已知函数f?x??ax?4yPBDOAxCQ12x，x?(0,??)，g?x??f?x??f??x?． 2（1） 若a?0，求证：

（ⅰ）f?x?在f?(x)的单调减区间上也单调递减； （ⅱ）g?x?在(0,??)上恰有两个零点；

（2） 若a?1，记g?x?的两个零点为x1,x2，求证：4?x1?x2?a?4．

数学试题（附加题）

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 张 俊 吴春胜

审题人：吴卫东 唐咸胜

21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分. A．（几何证明选讲，本题满分10分）

如图,圆O是?ABC的外接圆,点D是劣弧BC的中点,连结AD并延长,与以C为切点的切线交于点

P,求证:

PCBD?. PAACCDOAPBB．（矩阵与变换，本题满分10分）

??12??的一个特征值为?2,求M2. 已知矩阵M??5?x??2?

C．（坐标系与参数方程，本题满分10分） 在平面直角坐标系xoy中,已知直线C1:??x?t?1(t为参数)与椭圆

y?7?2t??x?acos?C2:?(?为参数,a?0)的一条准线的交点位于y轴上,求实数a的值.

?y?3sin? D．（不等式选讲，本题满分10分）

已知正实数a,b,c满足a?b?c?1，求证：

23111??≥27. a2b4c6

22．【必做题】（本题满分10分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4． （1）设AD??AB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为910，求?的值； 50（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值． C1B1

A1 C BD

A

23. 【必做题】（本题满分10分）

已知k,m?N*，若存在互不相等的正整数a1,a2,?,am，使得a1a2,a2a3,?,am?1am,ama1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值． （１） 求f(6)的值；

（２） 对于给定的正整数n(n?1)，

（ⅰ）当n(n?2)?k?(n?1)(n?2)时，求f(k)的解析式； （ⅱ）当n(n?1)?k?n(n?2)时，求f(k)的解析式．

参考答案

一、填空题

1．?1,0,1?； 2．?2?i； 3．22； 4．200； 5．5； 6．

?411； 7．； 8．(2,??)； 9．； 10．(??,?2)； 52211．?16； 12．[7,11]； 13．二、解答题

2?32. ?1 ； 14．?3215. 证明：（1）因为acosA?bcosB，

所以sinAcosA?sinBcosB，所以m//n. ?????7分 （2）因为m?n，所以cosAcosB?sinAsinB?0，即cos(A?B)?0， 因为a?b，所以A?B，又A,B?(0,?)，所以A?B?(0,?)，则A?B?所以tan?2，?12分

A?B??tan?1. ?????14分 2416. 证明（1）∵点D，F分别为BC，AB的中点，

P∴DF//AC，

又∵DF?平面PAC，AC?平面PAC，

∴直线DF//平面PAC． ?????6分 F（２）∵?PAC??BAC?90?， AB∴AC?AB，AC?AP，

又∵AB?AP?A，AB,AP在平面PAB内，

∴AC?平面PAB， ?????8分 ∵PF?平面PAB，∴AC?PF，

∵PA?PB，F为AB的中点，∴PF?AB，

∵AC?PF，PF?AB，AC?AB?A，AC,AB在平面ABC内，

∴PF?平面ABC， ?????12分

∵AD?平面ABC，∴AD?PF． ?????14分

17. 解：（1）过O作OG?BC于G，则OG?1，

CDOG11OF??，EF?1?，?AE??，

sin?sin?sin?ABEODCGF?π3πAEEF?11所以T(?)?????，??[,]．??7分

445v6v5v6vsin?6v（写错定义域扣1分）

（2）T(?)??5v?11?，

6vsin?6v1cos?6sin2??5cos?(2cos??3)(3cos??2)T?(?)?????，????9分

2225v6vsin?30vsin?30vsin?记cos?0?23，?π3π0?[4,4]， ? (?4,?0) ?0 (??0,34) T?(?) - 0 + T(?) ? ? 故当cos??23时，时间T最短． 18. 解：（1）因为a21n?11nn?3(?3)??2(?3)，

2[(1?(?1 Sn?33)n]?1[(1?(?1)n]， 1?(?1233)11所以b2S?(?)nnn?31a?2??．n?2(?1

3)n?22（2）若bn?n，则2Sn?nan?2n，∴2Sn?1?(n?1)an?1?2， 两式相减得2an?1?(n?1)an?1?nan?2，即nan?(n?1)an?1?2， 当n?2时，(n?1)an?1?(n?2)an?2，

两式相减得(n?1)an?1?(n?1)an?1?2(n?1)an，即an?1?an?1?2an， 又由2S1?a1?2，2S2?2a2?4得a1?2，a2?3， 所以数列{an}是首项为2，公差为3?2?1的等差数列， 故数列{an}的通项公式是an?n?1． （3）由（2）得cn?1n?n ， 对于给定的n?N*，若存在k,t?n,k,t?N*，使得cn?ck?ct， 只需

n?1n?k?1t?1k?t，

????14分 ????2分????4分 ????8分 ????10分

1111111n(k?1)?(1?)?(1?)，即???，则t?， ????12分 nktnktktk?n取k?n?1，则t?n(n?2)，

即1?n2?2n?1n?1n?2∴对数列{cn}中的任意一项cn?，都存在cn?1?和cn2?2n?使得2nn?1n?2ncn?cn?1?c2． ????16分 n?2n19．解：（1）设B(x，则C(?xx200,y0)0,?y0)，4?y20?1 21?1所以kyx201k2?x?y0?y0?40122?2??4． 0?2x0?2x0?4x0（2）联立??y?k1(x?2)k2)x2?4k2x?4(k22得(1??1)??x?y2?41110， 解得x2(k21?1)1?k2,y?4k1P?P?k1(xP?2)?1?k2， 11?y?联立?k1(x?2)?x2得(1?4k221)x?16k21x?4(4k21?1)?0，??4?y2?1

解得x2(4k21?1)?4k1B?1?4k2,yB?k1(xB?2)??4k2， 111?4k1所以kyBBC???2k1?yPx2?1，kPQB4k1x?6?1?k212(k21)6??5k14k21，P1?1?51?k2?15所以k5PQ?2k55BC，故存在常数??2，使得kPQ?2kBC． （3）当直线PQ与x轴垂直时，Q(?685,?5)，

?8则kAQ?5?1?k，所以直线AC必过点Q． ?6225?2当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y??5k14k2(x?6)，1?15????4分 ????8分 ????10分

?5k16?2y?(x?)?2(16k?1)16k1?214k1?15，解得xQ?联立?， ,y?Q2216k?116k?111?x2?y2?4?所以kAQ16k116k12?11????k2，故直线AC必过点Q． ????16 分 ?2(16k12?1)4k1?216k12?1（不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分） 20. 证：（1）因为f?x??ax?412x?x?0?，所以f?(x)?4ax3?x， 2由(4ax3?x)??12ax2?1?0得f?(x)的递减区间为(0,1)， ????2 分 23a当x?(0,1)时，f?(x)?4ax3?x?x(4ax2?1)?0， 23a所以f?x?在f?(x)的递减区间上也递减． ????4 分

121x?(4ax3?x)?ax4?4ax3?x2?x， 221214332因为x?0，由g?x??ax?4ax?x?x?0得ax?4ax?x?1?0，

2211322令?(x)?ax?4ax?x?1，则??(x)?3ax?8ax?，

221因为a?0，且??(0)???0，所以??(x)必有两个异号的零点，记正零点为x0，则x?(0,x0)时，

24（2）解1：g?x??f?x??f??x??ax???(x)?0，?(x)单调递减；x?(x0,??)时，??(x)?0，?(x)单调递增，若?(x)在(0,??)上恰有两

个零点，则?(x0)?0， ????7 分

11?0得3ax02?8ax0?， 223217481ax0?x0?，又因为对称轴为x?,所以?()??(0)???0， 所以?(x0)??939332873217ax0?(x0?)?0， 所以x0??，所以?(x0)??339331121322又?(x)?ax?4ax?x?1?ax(x?8)?x(ax?1)?1，

222由??(x0)?3ax0?8ax0?2设1,8中的较大数为M，则?(M)?0， a故a?0g?x?在(0,??)上恰有两个零点． ????10 分

121x?(4ax3?x)?ax4?4ax3?x2?x， 221214332因为x?0，由g?x??ax?4ax?x?x?0得ax?4ax?x?1?0，

22132令?(x)?ax?4ax?x?1，

2解2：g?x??f?x??f??x??ax?4若g?x?在(0,??)上恰有两个零点，则?(x)在(0,??)上恰有两个零点， 当x?2时， 由?(x)?0得a?0，此时?(x)??321x?1在(0,??)上只有一个零点，不合题意； 211x3?4x2当x?2时，由?(x)?ax?4ax?x?1?0得， ????7 分 ?22ax?2x3?4x28?x2?2x?4?令?1(x)?，

x?2x?2572x[(x?)2?]2x(x?5x?8)24?0， ?(x)??则?122(x?2)(x?2)2当x?(0,2)时，?(x)单调递增，且由y?x?2x?4,y??28值域知 x?28值x?2x?4,y???(x)值域为(0,??)；当x?(2,??)时，?1(x)单调递增，且?1(4)?0，由y?x2?2域知?(x)值域为(??,??)；

因为a?0，所以

11?0，而y?与?1(x)有两个交点，所以?1(x)在(0,??)上恰有两个零2a2a32点． ????10 分

1x?1在(0,??)上恰有两个零点x1,x2， 2111不妨设x1?x2，又因为?(0)?1?0，?()?(6?7a)?0，所以0?x1?，??12 分

282（3）解1：由（2）知，对于?(x)?ax?4ax?

又因为?(4)??1?0，?()?919(657a?10)?0，所以4?x2?， 28219所以4?x1?x2???5?a?4． ????16 分

221x3?4x2?解2：由（2）知， 2ax?2因为x?[0,2)时，?1(x)单调递增，?()?所以0?x1?12711??1()， ，?1(0)?0??1(x1)?122a2????12 分

1， 2当x?(2,??)时，?1(x)单调递增，?1()?所以4?x2?928119??1()， ，?1(4)?0??1(x2)?202a29， 219所以4?x1?x2???5?a?4． ????16 分

22

附加题参考答案

21.A．证明：连结CD，因为CP为圆O的切线， 所以?PCD??PAC,

又?P是公共角，所以?PCD～?PAC， ?????5分 所以

PCCD? , PAACPCBD?. ?????10分 PAAC 因为点D是劣弧BC的中点,所以CD?BD,即

??121.B. 解：???2代入

?25?2??x??2?(x?1)??(x?5)?0，得x?3

??12?? ?????5分 矩阵M??5?3??2??64? ∴M??? ?????10分

514??221.C. 解：直线C1：2x?y?9，

y2x2??1(0?a?3)， ??????????5分 椭圆C2:

9a2准线：y??99?a2 由99?a2?9得，a?22 ??????????10分

2321.D.证明：因为正实数a,b,c满足a?b?c?1，

23 所以1?33ab2c3，即abc?1， ??????????5分

27 所以

1?27 ab2c3因此，

11113???3?27 ????????10分 246246abcabc22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得

?ACB?900 ?????１分

以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设

立如图所示的D(x,y,z)，则由

?????????而AC1?(?AD??AB得CD?(3?3?,4?,0)，30,4) 根据

，

1910?9?9??||解得，??或

550525?2?18??9??? ?????５分

???????????3（２）CD?(,2,0),CB1?(0,4,4)，可取平面CDB1的一个法向量为n1?(4,?3,3)；

2??????????７分

13?????????而平面CBB1的一个法向量为n2?(1,0,0)，并且?n1,n2?与二面角D—CB1—B相等，

??????234． ???１０分 所以二面角D—CB1—B的余弦值为cos??cos?n1,n2??17（第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．） 23. 解：（1）由题意，取a1?1,a2?2，a1a2?6，满足题意， 若?a3?3，则必有a2a3?6，不满足题意，

综上所述：m的最大值为2，即f(6)?2． ??????4分 （２）由题意，当n(n?1)?k?(n?1)(n?2)时， 设A1,2,?,n}，A2?{n?1,n?2,n?3,?}， 1?{显然，?ai,ai?1?A1时，满足aiai?1?n(n?1)?n(n?1)?k， ∴从集合A1中选出的ai至多n个，

?aj,aj?1?A2时，ajaj?1?(n?1)(n?2)?k，

∴从集合A2中选出的aj必不相邻， 又∵从集合A1中选出的ai至多n个，

∴从集合A2中选出的aj至多n个，放置于从集合A1中选出的ai之间，

∴f(k)?2n， ??????6分 （ⅰ）当n(n?2)?k?(n?1)(n?2)时，

取一串数ai为：1,2n,2,2n?1,3,2n?2,?,n?1,n?2,n,n?1，

?i?1, i为奇数?2或写成ai??，（1?i?2n），

?2n?1?i,i为偶数?2此时aiai?1?n(n?2)?k，(1?i?2n?1),a2na1?n?1?k，满足题意，

∴f(k)?2n， ??????8分 （ⅱ）当n(n?1)?k?n(n?2)时，

从A1中选出的n个ai：1,2,?,n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A2的两个数ap,aq，不妨设

nap?naq，则nap?n(n?2)?k，与题意不符，

∴f(k)?2n?1，

取一串数ai为：1,2n?1,2,2n?2,3,2n?3,?,n?2,n?2,n?1,n?1,n

?i?1,i为奇数?22n1?）或写成ai??，（1?i?，

i?2n?,i为偶数?22n2?）此时aiai?1?n(n?1)?k，（1?i?，a2n11an?k?，满足题意， ?∴f(k)?2n?1， ??????10分 （写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）

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