吉林省吉林一中高二数学下学期二月份开学验收试卷 文(含解析)新人教B版

1 数学文寒假测试试卷 ：__________班级：__________考号：__________ 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单项选择

1. 若a,b 都是实数,则“a-b>0”是“a 2-b 2>0”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】 D 【解析】若a-b>0，则a>b ，但得不到a 2>b 2，例如a=0,b=-5；由a 2-b 2>0，也得不到a>b 。所

以“a-b>0”是“a 2-b 2>0”的既不充分也不必要条件。

2. 若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是

（ ） A ．b a 11< B ．22b a > C ．1

122+>+c b c a D ．||||c b c a > 【答案】C

【解析】当R,a b c a b ∈>、、，如2>-1, b

a 11

<不成立； 如-3>-4，22b a >不成立；|c|=0时，||||c b c a >不成立，故选C 。

3. 已知α、β均为锐角,若p:sinα＜sin(α+β),q:α+β＜

,则p 是q 的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当sinα＜sin(α+β)时，α+β＜

不一定成立，故sinα＜sin(α+β)? α+β＜，为假命题；而若α+β＜，则由正弦函数在（0，

）单调递增，易得sinα＜sin(α+β)成立，即α+β＜ ? sinα＜sin(α+β)为真命题，故p 是q 的必要而不充分条件。故选B ．

4. 下列不等式中一定成立的是（ ）

A ．21

lg()lg 4x x +>(0)x > B ．1sin 2sin x x

+≥(,)x k k Z π≠∈

2 C ．212x x +≥()x R ∈ D ．

2111

x >+()x R ∈ 【答案】C 【解析】A 项中2211lg()lg 44x x x x +

≥∴+≥；B 项中1sin 2sin x x

+≥只有在sin 0x >时才成立；C 项中由不等式222a b ab +≥可知成立；D 项中2211111x x +≥∴≤+ 5. 数列}{n a 满足)(11*1112N n a a a a a n n n n ∈=+=-=-+++,当[)

1,+∈n n a a x 时,2)(-=n a x f ,则方程x x f =)(2的根的个数为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】因为数列}{n a 满足)(11*1112N n a a a a a n n n n ∈=+=-=-+++,所以数列}{n a 是

首项为0，公差为1的等差数列，所以1n a n =-，所以当[)1,x n n ∈-时, ()3f x x =-,所以方程x x f =)(2的根的个数为即函数2log y x =与函数y=x-3的交点的个数，结合图像可知，他们交点的个数为2.

6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知35a =，1122S =，则数列{}n a 的公差d 为 （ ）

A ．1-

B ．31-

C ．31

D ．1 【答案】A 【解析】由2211611==a S 可知26=a ，所以13636-=--=a a d ，故答案选A. 7. 从22

1x y m n

-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）

A ．12

B ．47

C ．23

D ．34

【答案】B 【解析】要使22

1x y m n

-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则m,n 的所以可能为2,2m n =-=-；2,5m n =-=-；5,2m n =-=-；5,5m n =-=-；4,2m n ==-；4,5m n ==-，4,4m n ==，共7种

3 情况；要满足此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程，则2,2m n =-=-；2,5m n =-=-；5,2m n =-=-；5,5m n =-=-，由4种情况，所以此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为47。

8. 设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是

（ ） A

．2] B

．2) C

．)+∞ D

．)+∞ 【答案】A

【解析】因为1122A B A B =,所以根据对称性可知，直线11A

B ,22A B 关于x 轴对称，因为直线11A B ,22A B 所成的角为60。所以直线11A B 的倾斜角为30或60，即斜率为3tan 30=或tan 603=，要使直线11A B

与双曲线相交，则双曲线渐近线的斜率b a <<

b a <时，223b a >，所以2223()

c a a ->，2234c a >，即243

e >，

所以3e >=

。当b a

，所以综上

23e <<

，即双曲线离心率的范围时[2]3，选A.

9. 已知变量x,y 满足约束条件221x y x y x +≤??-≤??≥?

,若2x y a +≥恒成立,则实数a 的取值范围为

（ ）

A ．(-∞,-1]

B ．(-∞,2]

C ．(-∞,3]

D ．[-1,3]

【答案】A

4 【解析】画出约束条件221x y x y x +≤??-≤??≥?

的可行域，由可行域知目标函数2z x y =+的最小值为-1，

所以要使2x y a +≥恒成立, 实数a 的取值范围为(-∞,-1]。

10. 设12,F F 分别是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左,右焦点,以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ,若双曲线C 的离心率为5，则21cos PF F ∠等于（ ）

A ．35

B ．34

C ．45

D ．5

6

【答案】C

【解析】设12,PF n PF m ==，

则由双曲线的定义可得m-n=2a …………①，且12PF F ?为直角三角形，故2224m n c +=………………②，再由

5,5c c a a ==即，把①②联立方程解得8m a =，所以21cos PF F ∠21284255PF a F F a =

==?。 二、填空题

11. 已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于__________．

【答案】45°

【解析】

由正弦定理得：sin sin 2

a B A

b ==，因为a

{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =

【答案】2n 【解析】根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若

6312

a s ==,n n a a d d a a a n 2)6(22,8412,4,1236622=-+=∴==∴===，故可知数列

n a =2n ，故答案为2n 。 13. 已知数列{}n a 是等比数列，且251

2,4a a ==，则

12231n n a a a a a a +++???+=___________. 【答案】

321(1)34n -

5 【解析】因为2512,4a a ==，所以35211,82a q q a ===即，14a =，所以数列{}1n n a a +是首项为12a a ，公比为214q =的等比数列，所以12231n n a a a a a a +++???+=321(1)34n -。

14. 数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-,()

n N +∈,且 122012111a a a +++=2,则201314a a -的最小值为____.

【答案】27-

【解析】由111,1(1)n n n a a a a +>-=-两边取倒数得

，所以，

，又由122012111a a a +++=2得，

，所以，另外，由上式也

可得，所以

，当

且仅当154

a =时等号成立。

三、解答题

15. 已知数列{}n a ，满足1121n n n

a a a +??=??+?n n 为偶数为奇数，452a =，若211(0)n n n

b a b -=-≠. （1）求1a ；

（2）求证：{}n b 是等比数列；

6 （3）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求2n S .

16. 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +?=+1（0≠t ）．设

1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）

． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当1t =时，若对任意n N *∈，3n b b ≥恒成立，求a 的取值范围；

（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ， t ，k 成等差数列．

17. 已知函数()ln ,2a f x x a x a R =--∈，

(I)求函数()f x 的单调区间；

(II)若函数()f x 有两个零点12,x x ，(12x x <)，求证：2121x a x a <<<<．

参考答案

一、单项选择

1.【答案】D

【解析】

2.【答案】C

【解析】

3.【答案】

【解析】B

4.【答案】C

【解析】A 项中2211lg()lg 44x x x x +

≥∴+≥；B 项中1sin 2sin x x

+≥只有在sin 0x >时才成立；C 项中由不等式222a b ab +≥可知成立；D 项中2211111x x +≥∴≤+

5.【答案】C

【解析】

6.【答案】A

7 【解析】由2211611==a S 可知26=a ，所以13

636-=--=

a a d ，故答案选A.

7.【答案】B

【解析】

8.【答案】A

【解析】

9.【答案】A

【解析】

10.【答案】C

【解析】

二、填空题

11.【答案】45°

【解析】

12.【答案】2n 【解析】根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312

a s ==,n n a a d d a a a n 2)6(22,8412,4,1236622=-+=∴==∴===，故可知数列

n a =2n ，故答案为2n 。

13.【答案】

321(1)34

n - 【解析】 14.【答案】27-

【解析】

三、解答题 15.【答案】（1）解：∵254=a ，??

???+=+为奇数，为偶数n a n a a n n n 1,211 ∴2

31253=-=a ，∴32=a ，∴21=a （2）证明：2

11112111222232121=---=--=-----n n n n n n a a a a b b ， 故数列}{n b 是首项为1，公比为2

1的等比数列.

8 （3）解：∵112-=-n n a b ,∴1112)21()1(1-

-?

-

=-n n a a

即1)21(1

12+=--n n a

∴13211

1(1)1

2=21212

n n n a a a n n -?-+++=++-－１－

又∵21432211,1,1n n a a a a a a -=+=+=+ ∴n n a a a S n n n 3214)(2212312+-=++++=--

【解析】

16.【答案】

9

【解析】

17.【答案】(I)依题意有，函数的定义域为(0,)+∞，

当0a ≤时，()ln ln 22a a f x x a x x a x =--=--

()102a

f x x '=->，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，

当0a >时，ln ,

2()ln 2ln ,02a x a x x a

a f x x a x a

a x x x a ?

--≥?=--=?--<

若x a ≥，2()1022a x a

f x x x -'=-=>，此时函数单调递增，

10 若x a <，()102a

f x x '=--<，此时函数单调递减，

综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，

当0a >时，函数()f x 的单调减区间为(0,)a ，单调增区间为(,)a +∞

(II)由(I)知，当0a ≤时，函数()f x 单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 则必有0a >，

此时函数()f x 的单调减区间为(0,)a ，单调增区间为(,)a +∞， 由题意，必须()ln 02a f a a =-<，解得1a > 由(1)1ln1102a f a a =--=->，()0f a <，得1(1,)x a ∈

而22()ln (1ln )f a a a a a a a a =--=--

下面证明：1a >时，1ln 0a a -->

设()1ln g x x x =--，(1x >)，则11

()10x g x x x -'=-=>

所以()g x 在1x >时递增，则()(1)0g x g >=

所以22()ln (1ln )0f a a a a a a a a =--=-->

又因为()0f a <，所以22(,)x a a ∈

综上所述，2

121x a x a <<<<

【解析】