学而思 小升初第6讲_小升初专项训练_找规律篇

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名校真题 测试卷6 （找规律篇）

时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________

1 （06年清华附中考题）

如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分 组的情况是什么？

2 （05年三帆中学考题）

观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律， 然后填写2001＋（ ）＝2002

3 （06年西城实验考题） 一串分数：

2

2

12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,其中的第2000个分数33,55557777779991111

是 .

4 （06年东城二中考题）

在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2 7 5 8 3

5 (04年人大附中考题)

请你从01、02、03、 、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。 (1)请你说明：11这个数必须选出来；

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(2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个；

(3)你能选出55个数满足要求吗？

【附答案】

1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、143。

2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11 ，所以下

面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。

3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8 88=1980<2000，这

样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。

4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，

它们的差依次为5、15、45、135、405 为等比数列，公比为3。

它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。

5 【解】 (1)，11，22，33， 99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111 11 ，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。

(2)，比如这个数3737 37 ，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。 (3)，同37的例子，

01和10必选其一，02和20必选其一， 09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一， 19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一， 29和92必选其一，选出7个。

89和98必选其一，选出1个。

如果我们只选两个中的小数这样将会选出9+8+7+6+5+4+3+2+1=45个。再加上11~99这9个数就是54个。

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第六讲 小升初专项训练 找规律篇

一、小升初考试热点及命题方向

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型出现。在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。

二、2007年考点预测

07年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。

1 与周期相关的找规律问题

【例1】、（★★）【解】

n

化小数后，小数点后若干位数字和为1992，求n为多少？ 7

n

化小数后，循环数字和都为27，这样1992÷27=73 21,所以n=6。 7

【例2】、（★★）将八个数从左到右排成-行，从第3个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和.如果第7个数与第8个数分别是81，131，那么第1个数是 【来源】 1993年小学数学奥林匹克初赛B卷第5题 【解】 第8个数=第6个数+第7个数

所以，第6个数=第8个数-第7个数=131—81=50

同理，第5个数=81—50=31，第4个数=50—31=19，第3个数：31—19=12，第2个数＝19－ 12＝ 7，第1个数＝12－ 7＝ 5.

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【例3】、（★★★）某人连续打工24天，赚得190元(日工资10元，星期六做半天工，发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从1月下旬的某一天开始的，这个月的1号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是2月几日?

【来源】 第五届“华杯赛”初赛第16题

【解】因为3×7<24<4×7，所以24天中星期六和星期日的个数，都只能是3或4.又，190是10的整数倍。所以24天中的星期六的天数是偶数.再由240-190=50(元)，便可知道，这24天中恰有4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因为1月1日是星期日，所以1月22日也是星期日，从而1月下旬唯一的一个星期四是1月26日.从1月26日往后算，可知第24天是2月18日，这就是打工结束的日子. 2 图表中的找规律问题

【例4】、（★★）将自然数1，2，3，4， 按箭头所指方向顺序排列(如图)，依次在2， 3，5，7，10， 等数的位置处拐弯.

(1)如果2算作第-次拐弯处，那么，第45次拐弯处的数是 . (2)从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是

.

【来源】 北京市第十二届“迎春杯”决赛第三题第3题

【解】 (1)仿照E1—026，画23条竖线，23条横线，第45次拐弯处的数是23×23+1=530 (2)拐弯处的数是n×n+1或n×(n+1)+1(n是自然数).由于 44×44+1=1937<1978，45×45十1=2026>2010，

44×45+1=1981在1978、2010之间.所以恰在拐弯处的数是1981.

【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是891”，可知任意一个小圆圈中的数和与它相隔2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11.

【例5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第10行，左起第13列的数；

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（2）数127应排在上起第几行，左起第几列？

【解】：本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第n个数是（n-1）2+1，②第n行中，以第一个数至第n个数依次递减1；④从第2列起该列中从第一个数至第n个数依次递增1．

由此（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起12列，上起第6行位置．

3 较复杂的数列找规律

【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243是6个给定的数。从这六个数中每次或者取1个，或者取

几个不同的数求和（每一个数只能取1次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。把它们从小到大一次排列起来是1，3，4，9，10，12， ，第60个数是______。 【来源】1989年小学数学奥林匹克初赛第15题 【解】最大的（即第63个数）是 1+3+9+27+81+243=364

第60个数（倒数第4个数）是 364－1－3＝360。

【例7】、（★★★）在两位数10，11， ，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加-个

小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【来源】 第五届“华杯赛”初赛第15题 【解】原来的总和是10+11+ +98+99=

(10 99) 90

2

=4905，被7除余2的两位数是

7×2+2=16，7×3+2=23， ，7×13十2=93.

共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的10，因此这-手续使总和减少了 1(16+23+ +93)×(1-)=

(16 93) 12

2

9×=588.6

所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6=4316.4.

【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出100个.肥皂泡吹出之后，经过1分钟有-半

破了，经过2分钟还有20没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了·小明在第20次吹出100个新的肥皂

泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.

【来源】 1990年小学数学奥林匹克决赛第8题

【解】小明在第20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前(包括第17次)吹出的肥皂泡全破了.此

时没有破的肥皂泡共有 100+100×20+100×=155(个). 2

4 与斐波那契数列相关的找规律

【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。

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已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？

现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。 第1个月到第6个月兔子的对数是： 1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

【例9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，问15年后这棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？

【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584 绝对是一棵大树。

【例10】（★★）有一堆火柴共 10根，如果规定每次取 1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？

【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，我们可以先看只有1根的情况开始： 1根，有：1种；

2根，有1、1，2，共两种；

3根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共4种；

4根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共7=4+2+1种；

5根，有：1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共13=7+4+2种； 6根，得到24=13+7+4种；

即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。 由此得到，10根为274种。 [拓展]爬楼梯问题。

【例11】（★★★）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止。问经过9次操作变为1的数有多少个？ 【来源】 仁华考题

【解】这一题首先我们可以明确的是要采用逆推的方法，其次我们还得利用找规律来归纳出计算方法。在复杂的或者步子比较多的计数中，找规律是一种非常常用的方法。 归纳总结上述规律，从第三项起，每一项都是前两项之和。

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5 有趣的猫捉耗子规律

注：有一个很出名的游戏，猫捉耗子的游戏，一只猫让一群老鼠围成一圈报数，每次报单数的吃掉，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？因此我们称之为猫捉耗子的问题。

【例12】、（★★★）50只耗子排成一排，1到50报号，奇数号的出列，剩下的偶数号再报号，再奇数列出列 一直这样，问最后一只剩下的是原来的几号？

【解】第一次剩下的是：2、4、6、8、10、12 50都是2的倍数； 第二次剩下的是：4、8、12、16 48都是4=2的倍数；

第三次剩下的是：8、16、24 都是8=2的倍数， 这样每次剩下的都是2的倍数，现在要剩下一只，这样就是看1～50中2的最大数就是32号。

【拓展】123自然数列一直写到100，然后按数码编号，擦去奇数号，留下的数再编号，再擦去奇数号 这样请问最后留下的3个数字是＿＿＿。 【解】360

【例13】、（★★★）50枚棋子围成圆圈，编上号码1、2、3、4、 、50，每隔一枚棋子取出一枚，要求最后留下的一枚棋子的号码是42号，那么该从几号棋子开始取呢？ 【来源】03年圆明杯数学竞赛试题

【解】： 方法一：通过归纳我们知道，如果开始有A人，A＝2k+m(k是保证m为自然数的最大值)。那么从1号开始取，每个1个取1个，则最后剩下的为2m号。

现在有50枚棋子，如果从1号开始取，有50＝25+18，所以最后剩下的为18×2＝36号。 现在剩下的是42号，所以开始取的为1+(42－36)＝7号。

方法二：找出规律，若开始从2号开始取，则若有2枚、4枚、8枚、16枚、32枚 则最后剩下

的均为1号。

比如如果9枚，取掉1号后即剩下8枚剩下的将是8枚的首位，即3号，

而50枚先取50－32＝18枚后，剩32枚，取走了2、4、6、8、 、36，则37为剩下的32枚重排列后的

n

3

n

2

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1号，38为2号。故最后剩下的为37号，即若开始取2号，剩下37号，现剩下的为42号，故开始从7号开始取的。

【例14】、（★★★）把1～1993这1993个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，如图12—1，从1开始沿顺时针方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4； （每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？

【解】分析：如果依照题意进行操作，直到剩下一个数为止，实在是很困难。我们先从简单情况研究，归纳出解决问题的规律，再应用规律解题。如果是2个数1、2，最后剩下1；如果是3个数1、2、3，最后剩3；如果是4个数1、2、3、4，最后剩1；如果是5个数1、2、3、4、5，最后剩的是3；如果是6个数1、2、3、4、5、6，最后剩的是5；如果是7个数1、2、3、4、5、6、7，最后剩的是7；如果是8个数1～8，最后剩的是1。

我们发现当数的个数是2，4，8时，最后剩的都是1（操作的起始数）。这是为什么呢？以8个数为例，数一圈，擦掉2，4，6，8，就相当于从1开始，还有4个数的情况，4个数时，从1开始，数一圈，又擦掉2个，还剩从1开始的两个数，擦掉1以外的数，最后剩1。 这样，数的个数是16，32，64， ，2n时，最后剩的都是起始数1。

当数的个数是3时，擦去2，就剩2个数，最后应剩下一步的起始数3；数的个数是5时，擦去2，剩4个数，最后也应剩下一步的起始数3。

根据以上规律，如果有18个数，擦去2、4，剩下16个数，再擦下去，最后还应剩下一步的起始数5。就是说，擦去若干个数后，当剩的数的个数是2时，下一步起始数就是最后剩下的数。 解：因为1024=2，2048=2， 21＜1993＜2， 1993-1024=969，

就是说，要剩2个数，需要擦去969个数，按题意，每两个数擦去一个数，当擦第969个数时，最后擦的是：

969×2=1938

下一个起始数是1939，那么最后剩的就应该是1939。 练习 按照例1的操作规则

10

10

11

10

11

n

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（1）如果是1～900这900个自然数，最后剩的是哪个数？ （2）如果是1～1949这1949个自然数，最后剩的是哪个数？ 说明：这道例题的解题思路是： 特 殊→ 一 般→ 特 殊

（简单情况） （一般规律） （较复杂情况） 一般规律：

把1～n这n个自然数，按顺时针方向依次排列在一个圆圈上，从1开始，顺时针方向，隔过1，擦去2，隔过3，擦去4， （每隔一个数，擦去一个数）。最后剩下的数x是哪个数？

解： 设2≤n≤2，k是自然数。 x=（n-2）×2+1

【拓展】：如果还是上面例题，但改为保留1，擦去2；保留3，擦去4； （每隔一个数，擦去一个数），转圈擦下去。求最后剩的是哪个数？

n

k

k

k+1

【解】剩下的规律是剩下2时，都是最后一号留下，所以答案是1938。

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与周期相关的找规律问题 参见例1，2，3 2）图表中的找规律问题 参见例4，5 3）较复杂的数列找规律 参见例6，7，8

4）与斐波那契数列相关的找规律 参见例，9，10，11

5）有趣的猫捉耗子规律 参见例12，13，14，15

作业题

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（注：作业题--例题类型对照表，供参考）题1—类型3；题2，3，4—类型5；题5，6，7，8—类型2， １、（★）已知一串有规律的数：1，2/3，5/8，13/21，34/55， 。那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是________。

【解】找规律，前面分子分母和就是后一个数分子，分母等于分子和前一个分数分母的和，这样第10个数就是4181/6765。

２、（★★★）在一个圆圈上，逆时针标上1、2、3、 、19，从某个数起取走该数，然后沿逆时针方向每隔一个数取走一个数，如果最后剩下数1。求从哪个数起？ 【解】 先取走15

３. （★★★）把1～1992为1992个数，按逆时针方向排在一个圆圈上，从1开始逆时针方向，保留1，涂掉2；保留3，涂掉4， 。（每隔一个数涂去一个数），求最后剩下哪个数？ 【解】 （1992-1024）×2+1=1937

４. （★★★）把1～1987这1987个数，均匀排成一个大圆圈。从1开始数，隔过1，划掉2，3；隔过4，划掉5，6； ，（每隔一个数，划掉两个数）一直划下去，问最后剩下哪个数？ 【解】

５.（★★）如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。规定：谁跳到目标处的不同跳法最多，谁就获胜。问获胜方的跳法比另一方多

【解】同例题可知A到B共11格，共144种跳法；C到D共9格，共149种，所以多5种。

6、（★★）如下图，从A处穿过房间到达B处，如果要求只能从小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同的走法？

【解】到1号房间有1种走法，到2号房间有2种方法，到3号房间有3种方法 所以到8号房间总共有34种房间。 7、（★★★）如数表：

第1行 1 2 3 14 15 第2行 30 29 28 17 16

第3行 31 32 33 44 45 第n行 A 第n＋1行 B

第n行有一个数A，它的下一行（第n＋1行）有一个数B，且A和B在同一竖列。如果

A+B＝391，那么n=_______。

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【来源】1995年小学数学奥林匹克初赛A卷第7题、B卷第9题

【解】相邻两行，同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和，而从第1行开始，相邻两行第一

列的两个数的和依次是

31，61，91，121， 。（*）

每项比前一项多30，因此391是（*）中的第(391—31)÷30＋1＝13个数，即n＝13.

8、观察下面数表(横排为行)：

1991

根据前5行数所表达的规律，说明：1949这个数位于由上而下的第几行?在这-行中，它位于由左向右

的第几个?

【题说】 第三届“华杯赛”决赛-试第3题

【解】 我们先注意，第-行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3， ，第五行的每个数的分子、分母之和等于6.由此可看到-个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1·

其次，很明显可以看出，每行第-个数的分母是1，第二个数的分母是2， ，即自左起第几个数的分母就是几.

19911991

因此，所在的行数等于1991+1949—1=3939.而在第3939行中，位于自左至右第1949个.

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