北邮数理方程 07级数理方法期中测验答案

数学物理方法期中测验试题

一 填空题 （每题5分，共20分）

1 现有一长度为l的均匀细弦，弦的x?0端固定，x?l端受迫作简谐振动Asin?t，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数u?x,t?所满足的定解问题是（ ）。

?utt?a2uxx(0?x?l,t?0),?? ?ux?0?0,ux?l?Asin?t(t?0),

???ut?0?0,utt?0?0(0?x?l).2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（ ）。

?uxx?uy?(0?x?a,?0y?b),y0??0y?b) , ?uxx?0?0,uxx?a0(??u?0,uy?b?u0(?0x?b).??y?03 常用三类齐次边界条件的统一表达式是（ (?u???u，当（ ??0 ）就是第一)?f(M,t)）

?n??类边界条件；当（ ??0 ）时，就是第二类边界条件。

4 积分?x3J0?x?dx?（ ）。 解 利用递推公式

dm[xJm(x)]?xmJm?1(x)和分部积分法，得 dx32xJ(x)dx?x?0?[xJ0(x)]dx??x2d[xJ1(x)]?x3J1(x)??2x2J1(x)dx?x3J1(x)?2x2J2(x)?C.二 求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）

（1） ?

?)0,Xl?()0.?X(0?'2?r2R'('r)?rR(?)r?(?r9)R(?r)（2） ?

R|(?0)?|.?R(a)?0,?)?X??(x)??X(x0,0,解 （1）因为我们已经知道，本征值??0。

设??0，方程（1）中方程的通解是 X(x)?Ax?B.

由边界条件得A=B=0，即X（x）=0，为平凡解，故也不可能有??0。 设??0，此时（1）中方程的通解是

X(x)?Acos?x?Bsin?x. B?0,Acos?l?0.

由于 A?0（否则X(x)?0），故 cos?l?0，所以有

??2n?1????n???;2l??2Xn?Acos?2n?1??x2ln?1,2,?.

（2） 3阶Bessel方程的通解是

?知D?0, R(a)?0，得 J?R?r??CJ3??r?DY3???r，由R(0)???

3?a?0 由此得到本征值为

??3???xn ?n??2?a2,??n?1,2? ,?3?其中xn是函数J3?x?的第n个零点。相应的本征函数是

?3??xn R3?r??CnJ3??a??r??,??n?1,2,??.

三 试在球坐标系?r,?,??下将Laplace方程

1??2?u?1???u?1?2u?u?2?r?0 ???sin???r?r??r?r2sin???????r2sin2???22分离变量，即得到各个单变量函数所满足的常微分方程。（20分） 解 设u(r,?,?)?R(r)?(?)?(?), 代入方程中，得

??d?2dR?R?d?d??R?d2??0， ?r??2?sin???2222rdr?dr?rsin?d??d??rsin?d?r2sin2?将变量?和变量r,?分离。为此，用遍乘上式，并适当移

R??项，可得

sin2?d?2dR?sin?d?d?????r?sin????m2, ????Rdr?dr??d??d???其中m2是分离常数。由此可得两个微分方程

????m2??0, （1）

和

1d?2dR?1d?d??m2?0. ?r???sin???Rdr?dr??sin?d??d??sin2?对上面第二个方程，再将变量r,?分离

1d?d??m21d?2dR?sin???????r???l(l?1),

?sin?d??d??sin2?Rdr?dr?其中l(l?1)是第二次分离变量引入的常数，它可以用一个实数?

表示，为了以后讨论方便，令??l(l?1)[可以证明任意一个实数?都可表为l(l?1)，其中l为另一任意实数或复数]。由此再得两个常微分方程

d?2dR??r??l(l?1)R?0, (2a) dr?dr?将式中的导数求出，得到

???(? r2R(r)?2rRr)以及

l(?l1)R(?r, ) 0 (2b)

1d?d???m2??sin????l(l?1)?2???0. (3a)

sin?d??d???sin??对方程（3a）作变换x?cos?以后，可以改写成

?d?m2?2d????0, (3b) ?(1?x)??l(l?1)?2?dx?dx??1?x??将其中的导数求出就有

?m2? (1?x)???(x)?2x??(x)??l(l?1)??(x)?0 (3c) 2?1?x??2至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程（1）、(2)和(3).

四 （本题20分）均匀薄板占据的区域为带状区域（0?x?a，

0?y???），边界上的温度分布为u|x?0?u|x?a?0, xu|y?0?A(1?) ，limu?0。试用分离变量法求解板的稳定温度

y??a分布，即求解定解问题：

??2u?2u?2?2?0?x?y?? ?u|x?0?u|x?a?0?x?u|y?0?A(1?),limu?0.y??a??解 令u(x,y)?X(x)Y(y)，代入原方程得

X''(x)??X(x)?0Y''(y)??Y(y)?0

由x?0和x?a边界上的条件，有

X(0)?X(a)?0

解本征值问题??X''(x)??X(x)?0，得本征值和本征函数为

?X(0)?X(a)?0n2?2??2,aXn(x)?Cnsinn?x a解关于Y(y)的方程得

Yn(y)?Ane从而有

n?yan?ya?Bnen?ya?n?ya

un(x,y)?(Ane??Bne?)sinn?x,n?1,2,? a u(x,y)??(Aenn?1n?ya?Bne?n?ya)sinn?x a由y?0和y?b边界上的条件，有

?(An?1??n?Bn)sinn?xx?A(1?) aan?x?0 a 由此得

?(Ane??Bne??)sinn?1An?0,(n?1,2,3,?)

?Bnsinn?1?n?xx?A(1?) aa2axn?x2ABn??A(1?)sindx?,(n?1,2,3,?)

a0aan?1??u(x,y)??e?n?1n

2A?n?yasinn?x。 a五 （本题20分）半径为a高为h的圆柱体，上底的电势分布为

f?????2，下底和侧面的电势保持为零，求圆柱体内的电势分布。即求解定解问题

?2?2u1?u?2u??2?0,??u?2??????z??2?uz?0?0,uz?h??,??u??a?0,u??0???.?????a,0?z?h?

解 分离变量，即令u?u??,z??R???Z?z?代入方程得

2Z''?z??kZ?z??0,'?2R'?'????R?????k?1?

2?2?0?R????0.??其中?k2是分离常数，方程(1)和(2)解依次是

Z0?z??A0z?B?k?0?, (3) kz?kzZ?z??Ae?Be?k?0?;0

R0????C0?D0ln??k?0?, (4)

R????CJ0?k???DY0?k???k?0?.由边界条件

u??0???和u??a?0 得

C0?D0?D?0, 及

J0?ka??0. 可见对应k=0问题没有非零解。由(4)得本征值为

kx?0?nn?a?n?1,2,? , 相应的本征函数为

R????C?x?0?n?nnJ0??a????n?1,2?, ??? . 将本征值代入到（3）的第二个式子得到 x?n0?x?n0? Zn?z??Aneaz?Bne?az.

由边界条件uz?0?0, 得

An?Bn?0,即Bn??An， 于是

x?0n?x?0n? Zeaz??neaz0n?z??2An2?ax??nnshaz.

(5) （6） (7) 8）

（组合、叠加，得问题的一般解为

?0??xn u??,z???Cnsh??an?1???0????xnz??J0??a???. （9） ???由边界条件uz?h??2代入，得

?0??xn ?Cnsh??an?1???0????xn2h?J???. ???0?a????右边的级数是右边函数的Fourier-Bessel级数，由展开式的系数公式，并考虑此时的边界条件，有

1Cn??0??2?xna?0?sh?h?J12xn?a?22??0???xn?0?sh?h?a2J12xn?a????a0?0???xn?J0??a???d???33a44??????xn0??0?xn0?xn??xn??xn??J?d???a??0??a????a??,???????0??0??0?

?0?xn令??x, 应用分部积分法和递推公式，得

a??0?xn0xJ0?x?dx?xn3??J?x??2?x?J?x????4x??J?x???

????????xJ?x??x??4?,?????0?3?0??0?21nn00n0n10n0n10n0n2因此

?0?2a?xn??2 Cn????????0?xn3?0?J1xn?4????0??xnsh??a2?h??,

将上式代入到(9), 的原定解问题的解为

????4??u??,z??2a??x???2??x?0?n??2n?00n3?0???0???xn?xnsh?z?J1????a??a?. ?0???0??xnJ1xnsh?h??a???

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