1空间几何体的结构特征及三视图和直观图（含解析）- 副本

第一节

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[知识能否忆起]

一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 二、旋转体的形成

几何体 圆柱 圆锥 圆台 球

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

四、平行投影与直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

五、三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

[小题能否全取]

1

结构特征 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线

1.正棱柱与正棱锥

(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

2．对三视图的认识及三视图画法

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．

3．对斜二测画法的认识及直观图的画法

(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”

(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

2

S直观图＝S原图形，S原图形＝22S直观图．

4

空间几何体的结构特征

典题导入

[例1] (2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

[自主解答] A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的

2

几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；

图1

图2

C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．

[答案] D

由题悟法

解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．

以题试法

1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：选B 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．

2．(2012·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．

解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中， 高OS＝3，

侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7， 在Rt△SOA中，

3

OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4. ∴AB＝BC＝CD＝DA＝22. 作OE⊥AB于E，则E为AB中点． 连接SE，则SE即为斜高，

1

在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝2，SO＝3，

2∴SE＝5，即棱锥的斜高为5.

几何体的三视图

典题导入

[例2] (2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

[自主解答] 根据几何体的三视图知识求解．

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.

[答案] C

由题悟法

三视图的长度特征

三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．

[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．

以题试法

1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．

4

解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.

答案：③

2．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( ) A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．

3．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h8y2.html