武汉科技大学 - 信号与系统习题精解第9章

第9章 时域离散系统的z域分析

9.1 学习要点

1. 利用z变换解差分方程

利用z变换解差分方程，是本章的重点之一。

（1）利用z变换解差分方程的主要依据——单边z变换的移位性质，即

???ZI[y(n?k)u(n)]??n?0y(n?k)z?n?z?k?n?0y(n?k)z?(n?k)?z?k?m??ky(m)z?m

?z?k???m???y(m)z?m?0?1?m??ky(m)z?m??k??z???Y(z)???1?m??ky(m)z?m?? （9-1） ?（2）应用差分方程的z域解法，求离散系统的一般步骤为： ① 建立描述离散系统特性的差分方程；

② 对差分方程的左右两边取单边z变换，得到z域的代数方程；

③ 解z域的代数方程，得到零输入响应、零状态响应和全响应的z域解； ④ 对z域解求z反变换，求得系统响应的时域解。 设N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为

NM?aky(n?k)k?0??bix(n?i) (9-2)

i?0对(9-2)式进行单边z变换，有

N?akzk?0?k??Y(z)??M?1?y(m)z?mm??k?????i?biX(z)z i?0M?bizY(z)?i?0N?iN?akzX(z)?k?0?k?m?y(m)zm??k?1?akzk?0?kN (9-3)

?k?akzk?0

2. 系统函数

零状态响应的z域解 零输入响应的z域解

（1）定义：已知系统的单位响应h(n)，对h(n)进行z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，其表征了系统的复频域特性。

??H(z)??h(n)zn?0?n (9-4)

（2）物理含义：设系统的单位响应为h(n)，则系统在基本序列x(n)?z的激励下产生的零状态响应为

n 214

????n?myzs(n)?h(n)*zn??h(m)zm?0?zn?h(m)zm?0?mn?H(z)z (9-5)

可见，系统函数H(z)在时域直接描述了基本序列zn激励下系统的输入输出关系。

（3）求解方法：

??① 按定义计算：H(z)??h(n)zn?0?n；

② 依据物理意义H(z)?的一般表示式

Yzs(z)X(z)计算：对N阶差分方程，进行z变换，得到系统函数

MH(z)?Yzs(z)X(z)?bzi?i?i?0N (9-6)

k?ak?0z?k ③ 根据系统信号流图或方框图，应用梅森公式或列写输入输出方程求得。

（4）与频率响应之间的关系为：H(ej?)?H(z)|z?ej?。

3. 系统函数与系统特性

（1）从系统的零极点分布判断系统的因果性和稳定性： ① 系统因果的条件为系统函数H(z)的收敛域包含?； ② 系统稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域包含单位圆；

③ 系统因果且稳定的条件为系统函数H(z)的收敛域r?|z|??,0?r?1。 （2）系统函数零极点的位置还能决定系统的幅频特性和相频特性，其中极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状，具体地有，幅频特性由零点矢量的大小的连乘积与极点矢量的大小的连乘积的比值决定，相频特性由零点矢量的相角和与极点矢量的相角和的差值决定，即

N|H(ej??c)|?Am?1Nm （9-7）

k?dk?1NNm?(?)???m?1???k?1k （9-8）

4. 用z变换分析几个典型的系统——全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统

全通滤波器、梳状滤波器和最小相位系统都是数字信号处理中常用的系统。

215

N（1）全通滤波器H(z)?经常用于相位均衡；

?1?zk?1z?1?zk?kz?1的零极点成共轭倒易关系，是一种纯相位滤波器，

（2）梳状滤波器H(z)?N1?z1?az?N?N的零点等间隔地分布在单位圆上，极点等间隔地

分布在半径为Na的圆上，可用于消除电网谐波干扰，在彩色电视接收机中用于进行亮色分离和色分离；

（3）最小相位延时系统的零极点全部在单位圆内，延时最小，并且其逆系统也是因果稳定的，在解卷积和信号预测等数字信号处理中有重要的作用。

9.2 精选例题

例1 某一因果线性时不变系统由下列差分方程描述：

y(n)?ay(n?1)?x(n)?bx(n?1)

试确定能使该系统成为全通系统的b值（b?a）。

解：对方程两边进行z变换得

H(z)?Y(z)X(z)?1?bz1?azN?1?1??b?z?1?1/b?11?az

对照全通滤波器的系统函数的表达式H(z)?1b?1?zk?1z?1?zk?kz?1，得

?a* 或者 b?1/a*

例2 已知一个时域离散线性时不变系统的输入x(n)和输出y(n)满足下列要求： ① 对于所有的n，输入x1(n)?(?2)，其输出y1(n)?0；

② 对于所有的n，输入x2(n)?()u(n)，其输出y2(n)??(n)?a()u(n)；其中a为

241nn1n常数， 求：

（1） 常数a的值；

（2） 对于所有的n，输入x3(n)?1，求系统的输出y3(n)。

解：（1）由条件①得

y1(n)?H(z)|z??2(?2)n?0

所以 H(?2)?0

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由条件②得

1nx2(n)?()u(n)?211?12z?1

1ny2(n)??(n)?a()u(n)?1?4a1?14z?11?a??1?1414zz?1?1

所以

Y(z)X(z)14(1?a??14z?1)(1?z?112z?1)H(z)?1?z?114)

(1?a?H(?2)?H(z)|z??2?)(1?z?112z?1(1?a?|z??2?18)(1?1814)?0

1?141?98得 a??(1?98?14z?1

12z?1)(1?z?1)|z?1??（2）y3(n)?H(1)x3(n)?H(1)?141?14，对于所有的n。

例3 用计算机对数据x(n)进行平均处理，当收到一个数据后，计算机就把这一次输入的数据和前三次输入的数据相加，并平均。求这一数据处理过程的频率响应函数，并粗略地画出频率特性曲线。

解：设本次输入为x(n)，四次平均为

y(n)?14[x(n)?x(n?1)?x(n?2)?x(n?3)]

系统函数为：

H(z)?Y(z)X(z)?14[1?z?1?z?2?z?3]

频响函数为：

H(ej?)?14(1?e?j?)(1?e?2j?)?14e?j?22cos?2e?j?2cos??e?j3?2cos?2cos?

系统的频率特性如例3解图所示。可见此数据处理过程相当于低通滤波特性。

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|H(ej?)|?(?)1?????2??40?4?2?2??40?4?2

例3解图

例4 已知因果离散系统的系统函数H(z)的零极点分布如例4图所示，并且

H(0)??2。求：

（1） 系统函数H(z)； （2） 系统的频率响应； （3） 粗略画出频率特性曲线。

jIm[z]-0.50?0.5Re[z]

例4图

解：

（1） 因H(z)?H0z?0.5z?0.5，代入H(0)??2，得H0?2，所以

H(z)?2(z?0.5)z?0.5

（2） 因为H(z)的惟一极点z?0.5位于单位圆内，因此系统的频率响应为：

2(eej?H(ej?)?H(z)|z?ej???0.5)?0.5j??|H(ej?)|ej?(?)

（3） 幅频特性|H(ej?)|和相频特性?(?)如例4解图所示。

?(?)|H(ej?)|6?????2??40?4?2?2??40?4?2

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