高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)教案新人教A版必修4

课题 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

教学目标

知识与技能了解周期函数、周期、最小正周期的定义．

过程与方法会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期

情感态度价值观

掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函

数的奇偶性．

重点判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”难点会判断简单三角函数的奇偶性

教学设计

教学内容教学环节与活动设计

探究点一周期函数的定义

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常

数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝

f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不

为零的常数T叫做这个函数的周期．

(1)证明函数y＝sin x和y＝cos x都是周期函数．

(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函

数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如

果不是，说明理由．

如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么

kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．

(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，

且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sin x和余

弦函数y＝cos x的最小正周期都是，它们的所有周

期可以表示为：．

(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在

某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符

合上述特征的一个周期函

数： .

教学内容教学环节与活动设计

(3)证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y ＝sin x 的最小正周期的过程． 请你补充完整． 证明：由于2π是y ＝sin x 的一个周期，设T 也是正弦函数y ＝sin x 的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当x 取定义域内的每一个值时，都有 .令x ＝π2，代入上式，得sin ? ????π2＋T ＝sin π2＝1，又sin ? ????π2＋T ＝ ，所以 . 另一方面，当T ∈(0,2π)时， ，这与 矛盾．故2π是正弦函数y ＝sin x 的最小正周期． 同理可证，余弦函数y ＝cos x 的最小正周期也是2π. 探究点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ω≠0)的周期 证明2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期．

探究点四 正、余弦函数的奇偶性

从函数图象看，正弦函数y ＝sin x 的图象关于 对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于 对称；从诱导公式看，sin (－x )＝ ，cos(－x )＝ 均对一切x ∈R 恒成立．所以说，正弦函数是R 上的 函数，余弦函数是R 上的 函数．

【典型例题】例1 求下列函数的周期．

(1)y ＝sin ? ????2x ＋π3 (x ∈R)；

教学设计

教学内容教学环节与活动设计小结对于形如函数y＝A sin(ωx＋φ)，ω≠0时的周

期求法常直接利用T＝

2π

|ω|

来求解，对于y＝|A sin ωx|

的周期情况常结合图象法来求解．

例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)

的最小正周期是π，且当x∈??

?

??

?

0，

π

2

时，f(x)＝sin x，求

f

?

?

??

?

5π

3

的值．

小结解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇

偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．

例3判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin?

?

??

?

－

1

2

x＋

π

2

；(2)f(x)＝lg(1－sin x)

－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝

1＋sin x－cos2x

1＋sin x

.

小结判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关

教学小结1. 求函数的最小正周期的常用方法：

(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x ＋T)＝f(x)成立的T.

(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.

(3)结论法，一般地，函数y＝A sin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝

2π

ω

.

2. 判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点

对称.

课后反思

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