钢筋混凝土结构设计原理课程设计 部分预应力A类构件简支梁设计算例 桥梁

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内力计算

(1)恒载内力

表1 恒载内力计算结果

表2 活载内力计算结果

①基本组合（用于承载能力极限状态计算）

Md 1.2(MGK1P MGK1m MGK2) 1.4MQ1K 1.12MQ2K Vd 1.2(VGK1P VGK1m VGK2) 1.4VQ1K 1.12VQ2K

②短期组合（用于正常使用极限状态计算）

MMQ1Ks (MGK1P MGK1m MGK2) 0.7

1 u

MQ2K

VVQ1Ks (VGK1P VGK1m VGK2) 0.7

1 u

VQ2K

③长期组合（用于正常使用极限状态计算）

MMQ1Kl (MGK1P MGK1m MGK2) 0.4(

1 u

MQ2K)

VVQ1Kl (VGK1P VGK1m VGK2) 0.4(1 u

VQ2K)

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表3 内力组合计算结果

方案二 部分预应力混凝土A类梁设计 （一）预应力钢筋数量的确定及布置 (1)预应力钢筋及普通钢筋数量的确定及布置

首先根据跨中截面正截面抗裂要求，确定预应力钢筋数量。为满足抗裂要求，所需的有效预加力为：

Npe

Ms

0.7ftkWk

1ep( )AW

Ms为荷载短期效应弯矩组合设计值，由表3查得Ms 8813.86KN m，估算钢筋数量时，可近似

采用毛截面几何性质。按图给定的截面尺寸计算：Ac=0.833750×106mm2,ycx=1344.4mm,ycs=955.6mm,Jc=0.5718×1012mm4，Wx=0.4253×109mm3.

ep为预应力钢筋重心至毛截面重心的距离，ep ycx ap。

假设ap 150mm，则ep 1344.4 150 1194.4mm

Npe

8813.86 106

0.7 2.749

0..4258 10 4692261.9N

11194.4( )0.83375 1060.4258 109

拟采用

S15.2钢绞线，单根钢绞线的公称截面面积Ap1 139mm2,抗拉强度标准值

，张拉控制应力取 con 0.75fpk 1395fpk 1860MPaMPa，预应力损失按张拉控制应力的20%估算。所需预应力钢绞线的根数为

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np

Npe

(1 20%) conAp1

4692261.9

30.2根，取32根。

(1 20%) 1395 139

采用4束8 S15.2预应力钢绞线束，则预应力钢筋截面面积Ap 32 139 4448mm2。采用OVM15-8型锚具， 80金属波纹管成孔，预留孔道直径为85mm。预应力筋束的布置见图。

预应力钢筋采用抛物线形式弯起，抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度如表4。

表4 预应力钢筋弯起的抛物线方程、弯起点距跨中的距离及曲线水平长度

各计算截面预应力钢束的位置和倾角如表5所示。

表5 预应力钢束的位置和倾角

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（2）普通钢筋数量的确定及布置

设预应力钢筋束和普通钢筋的合力点到截面底边的距离为aps 120mm，则

h0 h aps 2300 120 2180mm

由公式 0Md fcdvfx(h0 )求解x

'

x

2

1.1 12130 106 22.4 2260.4x(2180 x/2) X=131.28<h'f

则As

fcdb'fx fpdAp

fsd

=

22.4 2260.4 131.28 1260 32 139

3195.43mm2

330

2

采用8根直径为28.4mm的HRB400钢筋，提供钢筋截面面积As=3436 mm。在梁底布置成一排，其间距为54mm，钢筋重心到截面底边距离as=40mm.

（二）截面几何性质计算

截面几何性质应根据不同受力阶段分别计算。 1. 主梁混凝土浇筑，预应力钢筋张拉（阶段I）

混凝土浇筑并达到设计强度后，进行预应力钢筋的张拉，此时管道尚未灌浆，因此，其截面几何性质应为扣除预应力筋预留孔道影响的净截面。该阶段顶板的宽度为1600mm。 2. 灌浆封锚，吊装并现浇顶板900mm的连接段（阶段2）

预应力筋束张拉完毕并进行管道灌浆，预应力筋束已经参与受力。再将主梁吊装就位，并现浇顶板600mm的连接段，该段的自重荷载由上一阶段的截面承受，此时，截面几何性质应为计入预应力钢筋的换算截面性质，但该阶段顶板的宽度仍为1600mm。 3. 桥面铺装等后期恒载及活荷载作用（阶段3）

该阶段主梁全截面参与工作，顶板的宽度为2500mm，截面几何性质为计入预应力钢筋的换算截面性

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质。

各阶段几何性质计算结果如表6所示。

表6 各截面几何性质汇总表

（三）承载能力极限状态计算

（1）跨中截面正截面承载力计算

跨中截面尺寸及配筋如图所示。图中ap 140mm。

aps

fsdAsas fpdApap

fsdAs fpdAp

330 3436 40 1260 4448 140

123.16mm

3436 330 4448 1260

b 200mm

；

上

翼

缘

板

的

平

均

厚

度

为

h0 h aps 2176.84mm；

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1

h'f 150 2 500 100/(2500 200) =171.7mm；上翼缘板的有效宽度取下列数值中的较小

2

值：

(1)b'f s 2500mm；

(2)b'f Lf 3 13000mm;

(3)b'f b 12h'f 180 12 172 2260.4mm. .4mm;综合上述计算结果，取b'f 2260首先判别T梁类型:

由于fcdb'fh'f 22.4 171.7 2260.4 9469900N

fpdAp fsdAs 1260 4448 3436 330 6738360N

因为6738360＜9469900，所以属于第一类T形，应按宽度为bf的矩形截面计算其承载力。 由力的平衡条件求混凝土受压区高度：fcdb'fx fpdAp 得:x

'

fpdAp fsdAs

fcdb'f

1260 4448 3436 330

133.08mm h'f 171.7mm

22.4 2260.4

且x 133.08mm bh0 0.4 2160 864mm 预应力钢束重心取矩得构件的抗弯承载力为：

x116.8

Mdu fcdb'fx(ho ) 24.4 2260.4 116.8 (2173 ) 13623.46 106N m

22

13623.46KN m 0Md 13343KN m

计算结果表明，正截面抗弯强度满足要求。

（二）斜截面抗剪承载力计算

选取距支点h/2和变截面点处进行斜截面抗剪承载力复核。截面尺寸示于图中，预应力筋束的位置及弯起角度按表5采用。箍筋采用HRB335钢筋，直径为8mm，双肢箍，间距Sv=200mm；距支点相当于一倍梁高范围内，箍筋间距Sv=100mm。 （1）距支点h/2截面斜截面抗剪承载力计算 首先，进行截面抗剪强度上下限复核：

3 3

0.5 10 2ftdbho 0Vd 0Vd 0.51 10

fcu,kbho

Vd为验算截面处剪力组合设计值，按内插法得距支点h/2=1150mm处的Vd为：

Vd 1249.50

1249.50 1115.54

11.5 1233.28KN

95

预应力提高系数 2取1.25，验算截面处的截面腹板宽度，b=453.13mm

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所有预应力的钢筋均弯曲，只有纵向构造钢筋沿全梁通过，取h0=2173.2mm。

0.5 10 3 2ftdbho 0.5 10 3 1.25 1.65 453.13 2173.2 1015.5KN

0.51 10 3

fcu,kbh0 0.51 10 3 5 453.13 2173.2 3724.6KN

1015.5KN 0Vd 1.1 1233.28 1356.6KN 3724.6KN

计算结果表明，截面尺寸满足要求，但需配置抗剪钢筋。 斜截面抗剪承载力按下式计算： 0Vd Vcs Vpb Vd为斜截面受压端正截面处的设计剪力，比值应按x

h

0.6mh。重新进行补插，得：相应m=1.13455 2

Vcs为混凝土和箍筋共同的抗剪承载力

Vcs 0.45 10 3 1 2 3bh0(2 0.6p)fcu,k sVfsd,V

其中 1=1.0， 2=1.25， 3=1.1,b—距支点距离为

h

0.6mbh0 2629.4mm，内插得b=453.13mm。 2

，

p 100 100

Ap Apb As

bho

100

4448 2544

0.71

453.13 2173.2

sV

AsV2 50.3

0.002215

bsV454.16 2132

Vcs 0.45 10 3 1.0 1.25 1.1 453.13 2173.2 (2 0.6 0.71)55 280 0.002215 2073.6KN

Vpb为预应力弯起钢筋的抗剪承载力Vpb 0.75 10

3

fpd Apbsin p，其中

p1 8.970, p2 8.780, p3 3.66

Vpb 0.75 10 3 1260 139 8 (sin8.97 sin8.78 2sin3.66) 412.35KN

该截面的抗剪承载力为Vdu Vcs Vpb 2485.95KN 1.1 1233.28 1357.18KN 说明截面抗剪承载力是足够的，并具有较大的富余。 （2）变截面点处斜截面抗剪承载力计算 首先进行抗剪强度上下限复核：

3 3

0.5 10 2ftdbho 0Vd 0Vd 0.51 10

fcu,kbh0

其中Vd=1115.54KN，b=200mm，h0=2132mm

0.5 10 3 2ftdbho 0.5 10 3 1.25 1.89 200 2173.2 513.4KN

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3

0.51 10

fcu,kbh0 0.51 10 3 200 2173.2 1643.9KN

513.4KN 1.1 1115.54 1227.094KN 1643.9KN

计算结果表明，截面尺寸满足要求，但需配置抗剪钢筋。 斜截面抗剪承载力按下式计算： 0Vd Vcs Vpb

Vcs 0.45 10 3 1 2 3bh0(2 0.6p)fcu,k sVfsd,V

式中，p 100

Ap Apb

bho

100

A2 50.34448 2544

0.0050 3 1.60 sV sV

bsV200 100200 2173.2

Vcs 0.45 10 3 1.0 1.25 1.1 200 2173.2 (2 0.6 1.60)55 280 0.00503 1345.82KN

Vpb 0.75 10 3fpd Apbsin p，式中 p1 9.06620, p2 8.27040, p3 4.00660, Vpb 0.75 10 3 1260 139 8 (sin9.0662 sin8.2704 2sin4.0066) 463.5KN Vdu Vcs Vpd 1809.32KN r0vd 1227.1KN

满足要求说明截面抗剪承载力是足够的。

五、预应力损失计算

1．钢束与管道间摩擦引起的应力损失 l1

l1 con 1 e ( kx)

式中： con——按《公路桥规》规定， con 0.75fpk 0.75 1860 1395MPa；

——钢束与管道间的摩擦系数， 0.25;

k——管道每米局部偏差对摩擦的影响系数，k 0.0015； 各控制截面摩阻应力损失 l1的计算见表7。

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表7 跨中（I—I）截面各钢束摩擦损失值 l1计算表

2． 锚具变形损失 l2 反摩阻影响长度Lf Lf

L E

d

p

， d

0 l

L

式中： 0——张拉端锚下控制张拉应力；

L——锚具变形量，OVM夹片锚有顶压时取4mm

l——扣除沿途管道摩擦损失后锚固端预拉应力；

L——张拉端到锚固端之间的距离，L 19980mm

当Lf L时，离张拉端x处由锚具变形、钢筋回缩和接缝压缩引起的考虑反摩阻后的预应力损失

x为： x Lf x ， 2 dLf

Lf

当Lf x时，表示该截面不受反摩阻的影响。反摩阻影响长度Lf如表8所示。

表8 反摩阻影响长度计算表

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考虑反摩阻作用时钢束在各控制截面处的应力损失 l2的计算列于表9。

表9 锚具变形损失计算表

3． 分批张拉损失 l4

l4 Ep pc

式中： Ep

.95 105

Ep——预应力钢筋与混凝土弹性模量之比， 1Ep

E 3.45 104

5.65； c pc——计算截面先张拉的钢筋重心处，由后张拉的各批钢筋产生的混凝土法向应力；设预应力钢束张拉的顺序为5→4→3→2→1。 预应力分批张拉损失计算见表10

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南京工业大学课程设计用纸 第十一 页

表10 混凝土弹性压缩损失计算表

十一

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4. 钢筋应力松驰损失 l5

l5 (0.52

式中： ——超张拉系数，取 =1.0；

pe

fpk

0.26) pe

——钢筋松弛系数，取 =0.3；

pe——传力锚固时的钢筋应力， pe con l1 l2 l4。

钢筋应力松弛损失的计算结果见表11。

表11 钢筋松弛损失的计算结果表

5． 混凝土收缩、徐变损失 l6

l6

0.9Ep cs(t,t0) Ep pc (t,t0)

1 15 ps

e2psAJ

pc

NpA

Npe2pJ

MGkep

J

ps 1

e2psi

1

式中： pc——构件受拉区全部纵向钢筋截面重心处，由预加力Np（扣除相应的应力损

失）和结构自重MGk产生的混凝土法向应力；

——构件受拉区全部纵向钢筋配筋率,不考虑普通钢筋时,

As Ap

A

；

cs(t,t)——预应力筋传力锚固龄期为t0，计算龄期为t时的混凝土收缩应变；

(t,t)——加载龄期为t0，计算龄期为t时混凝土徐变系数；

设混凝土传力锚固龄期和加载龄期均为28天，计算时间为t=∞，桥梁所处环境的年平均相对湿度为75%,以跨中截面计算其理论厚度h

2Ac2 0.99462 103

310.7mm,由此查表u6.402

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可得: cs(t,t0)=0.220 10, (t,t0)=1.68。 混凝土收缩、徐变损失计算如表12所示。

表12 混凝土收缩、徐变损失计算表

3

表13 预应力损失组合表

六、正常使用极限状态计算

（一）全预应力混凝土构件抗裂性验算

1．正截面抗裂性验算

（a）荷载短期效应组合作用下的抗裂性

正截面抗裂性验算以跨中截面受拉边的正应力控制。在荷载短期效应组合作用下应满足：

st pc 0.7ftk

st为荷载短期效应组合作用下，截面受拉边的应力：

MG2k 0.7MQ1k/(1 ) MQ2kMG1PkMG1mk

st yn1x yn2x y0x

Jn1Jn2J0

Jn1、yn1x、Jn2、yn2x、J0、y0x分别为阶段1、阶段2、阶段3的截面惯性矩和截面重

心至受拉边缘的距离，可由表6查得：

Jn1/yn1x 0.42696 109mm3

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Jn2/yn2x 0.46551 109mm3 J0/y0x 0.4850 109mm3

弯矩设计值由表1和表2查得：

MG1PK 4650.46KN m,MG1mK 787.12KN m,MG2K 1551.42KN m，MQ1K 2427.66KN m,MQ2K 307.57KN m,1 1.12

4650.46787.121551.42 0.7 2427.66/1.12 307.57

)/1000 19.555Mpa

0.426960.46550.48550

将上述数值代入公式后得：

st (

pc为截面下边缘的有效预压应力： pc

NpAn

NpepnJn

ynx

Np pe l6As ( con l1 l )Ap l6A

(1395 122.99 84.99) 4448/1000 48.48 2544/1000 5156.53KN

epnl

peAp(yx ap) As(yx as)

l6

( con l1 l )Ap l6A

1187.02 4448(1424.5 140) 48.48 2544(1424.5 40)

1279.24mm

1187.02 4448 48.48 2544

5156.535156.53 1.2813

pc ( )/1000 21.35MPa

0.8230.42696

st pc 19.555 21.35 1.795MPa 0.7ftk 1.918MPa

计算结果表明，正截面抗裂性满足要求。

（B） 荷载长期效应组合作用下的抗裂性 应满足 lt pc 0.

lt为荷载长期效应组合作用下，截面受拉边的应力：

MG2k 0.4(MQ1k/(1 ) MQ2k)MG1PkMG1mk

lt yn1x yn2x y0x=

Jn1Jn2J0

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4650.46787.121551.42 0.（42427.66/1.12 307.57）

0.4567 1030.5356 1030.49550 103 18.18MPa

lt pc=18.18-21.35=-3.17Mpa<0

2.斜截面抗裂性验算

斜截面抗裂验算以主拉应力控制，一般取变截面点分别计算截面上梗肋、形心轴、下梗肋处在荷载短期效应组合作用下的主拉应力，应满足 tp 0.6ftk的要求。

计算预加应力时，应考虑非预应力钢筋对混凝土收缩徐变损失的影响，即取

Np peAp l6As 5021.1

tp为荷载短期效应组合作用下的主拉应力: tp

cx

2 (

cx

2

)2 2

cx

MG3k 0.7MQ1k/(1 ) MQ2kMG1kMG2k

pc yn1 yn2 y0

Jn1Jn2J0VG3k 0.7VQ1k/(1 ) VQ2k peApesin pVG1kV

Sn1 G2kSn2 S0 Sn1 bJn1bJn2bJ0bJn1

上述公式中车辆荷载和人群荷载产生的内力值，按最大剪力布置荷载，即取最大剪力对应的弯矩值，其数值由表3查取。恒载内力值：

MG1PK 905.02KN m,MG1mK 153.18KN m,MG2K 301.92KN m，

VG1PK 428.05KN m,VG1mK 72.45KN m,VG2K 142.80KN m，活载内力值：

MQ1K 1335.65KN m,MQ2K 135.65KN m,1 1.12VQ1K 215.71KN,VQ2K 37.13KN

变截面点处的主要截面几何性质由表6查得

An1 0.823 106mm2,Jn1 0.59232 1012mm4,yn1s 962.03mm,y 1337.66mmAn2 0.866 106mm2,Jn2 0.59189 1012mm4,yn2s 983.64mm,y 1316.36mm A0 1.0005 106mm2,J0 0.679062 1012mm4,y0s 861.04mm,y 1438.96mm

图为各计算点的位置示意图。各计算点的部分断面几何性质按表14取值，表中A1为图中阴影部分的面积，S1为阴影部分对截面形心轴的面积矩，yx1为阴影部分的形心到截面形心轴的距离，

d

为计算点到截面形心轴的距离。

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表14 计算点几何性质

变截面处的有效预压力

NP pe,IIAp （1395 124.49 113.74）4.448 5145.3N epn ypn 438.19mm

预应力筋弯起角度分别为 p1 9.0662， p2 8.2704， p3 4.0066， 平均弯起角度为： p 7.1144。

将以上数值代入上式，分别计算上梗肋、形心轴、下梗肋处的主拉应力。 a）上梗肋处

pc (

5279.865279.86 0.42122

0.7125)/1000 3.889MPa

0.8228400.59232

905.02153.18

0.7125 0.73326

0.59232 1000

cx 3.889

301.92 0.7 1335.65/1.12 135.65

0.610104 6.567MPa

钢筋混凝土及预应力混凝土 此文档为手工计算,错误较多,但是对于帮助同学完成结构设计还是很有帮助的。此课程设计适用于交通工程,土木工程,道路桥梁工程等专业

428.05 0.26705172.45 0.2736142.80 0.7 215.71/1.12 37.13

0.34172

0.59232 2000.59186 2000.67904 200

1187.02 4448 sin7.11440 0.2672 0.7865Mpa

0.59232 0.2 10

tp

6.5676.5672

() 0.78652 0.0897MPa 22

b）形心轴处

pc ( cx

5279.865279.86 0.102

0.42122)/1000 6.774MPa

0.822840.59232

905.02153.18

6.774 0.1018 0.12260 6.572MPa

592.32591.86

428.05 0.3151872.45 0.31773142.8 0.7 215.71/1.12 37.13

0.3734

0.59232 2000.59189 2000.67904 200

1187.02 4448 sin7.1144 0.31518 0.8033Mpa

0.59232 0.2 106

6.5726.5722

() 0.80332 0.016MPa 22

5279.865279.86 0.42122

0.937) 9.997MPa

0.822840.59232

905.02153.18301.92 0.7 1335.65/1.12 135.65

0.937 0.9167 1.0393592.32591.86679064

tp

C）下梗肋处

pc (

cx 9.997

6.363MPa

tp

6.3636.3632 () 0.56552 0.0039MPa 22

主应力的计算结果表明，上梗肋处主拉应力最大，即 tp,max 0.0897MPa小于规范规定的限制值0.7ftk 0.7 2.74 1.918MPa，说明斜截面抗裂性满足要求。

(二)变形计算

1.使用阶段的挠度计算

使用阶段的挠度值，按短期荷载效应组合计算，并应考虑长期影响系数 ，对C55混凝土，

=1.39375，刚度B0 0.95EcJ0。

预应力混凝土简支梁的挠度计算可忽略支点附近截面尺寸及配筋的变化，近似按等截面计

算。截面刚度按跨中尺寸及配筋情况确定，即取

钢筋混凝土及预应力混凝土 此文档为手工计算,错误较多,但是对于帮助同学完成结构设计还是很有帮助的。此课程设计适用于交通工程,土木工程,道路桥梁工程等专业

B0 0.95EcJ0 0.95 3.55 104 0.69158 1012 2.332 1016N mm2

荷载短期效应组合作用下的挠度值，可简化为按等效均布荷载作用情况计算：

5MsL2

fs

48B0

式中：Ms 8813.86 106N mm，L 39000mm 则

58813.86 392fs 59.87mm

480.95 3.55 0.69158 104

自重产生的挠度值按等效均布荷载作用情况计算：

5MGkL2

fG

48B0

MGk MG1k MG2k MG3k

(4650.46 787.12 1551.42) 106 6989 106N mm

56989 392

fG 47.48mm 4

480.95 3.45 0.69158 10

消除自重产生的挠度，并考虑挠度长期影响系数后，使用阶段挠度值为

fl (fs fG) 1.39375 (59.87 47.48) 17.269mm

L39000

65mm 600600

说明使用阶段的挠度值满足要求。

2.验算是否需要设置预拱度 由预加力产生的反拱度

预加力引起的反拱度近似按等截面梁计算，截面刚度按跨中截面净截面确定，即取

B0 0.95EcJ0 0.95 3.55 104 0.579789 1012 1.955 1016N mm2

反拱长期增长系数采用 =2.0。 预加力引起的跨中挠度为 fp l

M1MP

dx B0

式中：M1——所求变形点作用竖向单位力P=1引起的弯矩图；

MP——预加力引起的弯矩图。

对等截面梁其变形值可用图乘法确定，在预加力作用下，跨中的反拱可按下式计算

fp

2 ML/2 Mp

B0

钢筋混凝土及预应力混凝土 此文档为手工计算,错误较多,但是对于帮助同学完成结构设计还是很有帮助的。此课程设计适用于交通工程,土木工程,道路桥梁工程等专业

ML/2——跨中截面作用单位力P=1时，所产生的M1图在半跨范围内的面积：

ML/2

1lll2 22416

Mp——半跨范围M1图重心（距支点L处）所对应的预加力引起的弯矩图的纵坐标

Mp Npep

Np——有效预加力，近似取L4截面的有效应力

Np pe,IIAp (1395 136.83 145.61) 40 139/1000 6185.8KN

ep——距支点L处的预应力钢束的偏心距，

ep yx0 ap

yx0——L截面处换算截面重心到下边缘的距离，yx0 1433.3mm

ap——由表13.7.4中的曲线方程求得，ap 275.6mm

则

ysn 1425mmypn 1196.67mm epn 1166.1MPa

epn

( con l1 l )Apypnl l6Aysnl

( con l1 l )Ap l6A

1189.57mm

Mp Npep 4964.103 1189.57/1000 5905178.5N m

由预加力产生的跨中反拱为

390002

2 5.90518 109

16fp 2.0 114.856mm 1.955 1016

将预加力引起的反拱与按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值相比较，可知

fp 114.856mm fs 1.39375 59.87 83.44mm

由于预加力引起的长期反拱值大于按荷载短期组合效应影响产生的长期挠度值，所以不必设预拱度。

七、持久状况应力验算

按持久状况设计的预应力混凝土受弯构件，尚应计算其使用阶段正截面的法向应力、受拉钢筋的拉应力及斜截面的主压应力。计算时荷载取其标准值，不计分项安全系数，汽车荷载应考虑冲击系数。

1．跨中截面混凝土法向正应力验算

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