大连理工大学09级矩阵与数值分析试题

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矩阵数值分析 班

大 连 理 工 大 学

课 程 名 称： 矩阵与数值分析 试 卷： 统一 考试类型 闭卷 授课院 (系)： 数 学 系 考试日期：2010年1月12日 试卷共 8页

一 二 6 三 6 四 6 五 六 七 八 / 九 / 十 / 总分 100 主讲教师

标准分 50 10 12 10 得 分 一、 填空与判断题（?或√），每空 2 分，共50分

(1) 已知a?2009.12，b?2010.01分别是按四舍五入原则得到的x1和x2近似值，那么，x1?a? ；x2?bb装 ? ；x1x2?ab? 。(2)?0,1?上权函数??x??x的正交多项式族中?1?x?? ; ??x015?x3??5?x?? 。

2(3) 已知存在实数R使曲线y?x2和y2??x?8??R2相切。求切点横坐标近似值的Newton迭代公式为 。

订 ?12?(4) 设A=??，则它的奇异值为 。

?2?1??11?1(5)若取A??，则eAtdt? 。 ??0?01?(6) 若A?1，则?I?A??1线? 。

(7) 已知f(a?h),f(a),f(a?h)，计算一阶数值导数的公式是：

f?(a)? ?O(h2)；取f(x)?x,h?0.001，

那么，用此公式计算f?(2)的近似值时，为避免误差的危害，应该写成：

f?(2)? 。

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??0.251?k(8) 已知A???,则?A? 。

0.25?k?0?ssT(9) 设s?0?C,则

?s,s?n? 。

2?u??t?u(10) 求解微分方程?，的Euler法公式为 ；

?u(0)?2绝对稳定区间为 ；改进的Euler公式为 。 (11) 用A(-2,-3.1)、B(-1,0.9)、C(0,1.0) 、D(1,3.1)、E(2,4.9)拟合一 直线s(x)=a+bx的法方程组为：

。

(12) 已知多项式p3?x??4x3?3x2?2x?1，那么求此多项式值的秦九韶算法公为：_ ______。

(13) 给定如下数据表 xi -2 -1 0 1 2 3 -5 -2 3 10 19 30 yi

则均差f[?1,0?, 1 ，由数据构造出最简插值多项式

p?x?? 。

1???1?3?,当a满足条件 时, A必有唯一的LLT分解(14)设A???1a?2????3?（其中L是对角元为正的下三角矩阵）。 (15) 求f(x)?ex?1?x?0根的Newton迭代法至少局部平方收敛 （ ） (16) 若A为可逆矩阵，则求解ATAx=b的Gauss-Seidel迭代法收敛 （ ） (17) 分段二点三次Hermite插值多项式∈C2函数类 （ ） (18) 如果A为Hermite矩阵，则A的奇异值是A的特征值 （ ）

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?0???10?，求出A的Jordan分解以及sintA。 二、（6分）已知A=???20????2??三、（6分）给定求积节点：xk=0,0.25,0.5,0.75,1,请用复化的梯形公式和复化的Simpson公式，计算如下定积分的近似值。

四、（8分）确定将向量x??1,3,4?，变换为向量y??1,0,t?的正数t和Householder矩阵H，以及cond2?H?，H1。 五、（10分）

（1） 用Schimidt正交化方法，构造[?1,1]上以?(x)?1权函数的正交多项式系：?0(x)，?1(x)，?2(x);

（2）利用所得到的结果构造f?x??x4在[?1,1]上的最佳二次平方逼近多项式；

（3）构造[?1,1]上的两点Gauss型数值求积公式；

sinxdx的近似值。 01?x六、（12分）设线性方程组：

TT（4）利用（3）的结果给出?1?x3?1?2x1???12 ??2x1?10x2??x?x?4x?2123?(1) 利用Gauss消去法求上述解方程组； (2) 求系数矩阵A的LU分解；

(3) 写出求解上述方程组的矩阵形式的Jacobi迭代公式和分量形式的Gauss-Seidel迭代法公式，并讨论收敛性.

?u?(t)?f(t,u)七、（10分）已知解常微分方程初值问题?的某线性二步法的第

u(t)?u0?0一、第二特征多项式分别为：

??????2???，??????2

(1) 给出此线性二步法具体表达式，并求出其局部截断误差主项； (2) 讨论其收敛性; (3) 求其绝对稳定区间。

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