概率论与数理统计课后习题答案（魏宗舒）1-4章

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，?，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)，?，(正2，正9)，(正2，次)， ??{(正1，正2)，(正1，正3)，?，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，?，(正3，正9)，(正3，次)，?，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A?{(正1，次)，(正2，次)，?，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为?1，?2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则??{?1，?2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A?{?1，?2} (ⅱ) B?{r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC?C成立？ (3)什么时候关系式C?B是正确的？ (4) 什么时候A?B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC?C 等价于C?AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1?i?n）。用

Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) ?Ai; (2) ?Ai??Ai; (3) ?[Ai(?Aj)];

i?1nnnnni?1i?1i?1j?1j?i

(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?AiAj；

i,j?1i?jn1.4 证明下列各式： (1)A?B?B?A; (2)A?B?B?A

(3)(A?B)?C?A?(B?C); (4)(A?B)?C?A?(B?C) (5)(A?B)?C?(A?C)?(B?C) (6) ?Ai??Ai

i?1i?1nn证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82?8?7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”

211包含A3?2A3?A5?2?3?6个样本点。于是

2?3?69?。 8?7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

P(A)??5?解 样本点总数为??3???10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7

??或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，

3于是P(A)?。

101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。

3!2!2!2!48? 13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9?10?1?89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9?8?17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17P(A)?

89所以P(A)?

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为

97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位

7A9乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A)?7。

9791.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94?9?解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)????，所以

10000?10?94?9?P(A)?1-P(A)?1??1???

10000?10?1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

1解 (1) 答案为。

5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

42? 10544(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为(5?3?1)(4?2)，于是

P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能

?N?n?k?2????，0?k?n n?k的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为????N?n?1?????n???N??n?1???m????N?m?1??(2)恰好有m个盒的概率为????，N?n?m?N?1

?N?n?1????n???(3)指定的m个盒中正好有

?m?j?1??N?m?n?j?1????????，1?m?N,0?j?N. m?1n?jj个球的概率为??????N?n?1?????n??解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

3解 所求概率为P(A)?

5n?111.15 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于的概率为2。

nn1解 截取CD??CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面积之比大于

n21?CD2?A?B?C有面积CD?n?11n???，因此所求概率为P(A)?。 222?ABC的面积nnCDCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位

的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

11242??232??222220?x?y?2,0?y?x?1。因此所求概率为P(A)??0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。

(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。

1?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边

11长为a,b,c（均小于d），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)?P(A2)?0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)?P(Aab?Aac?Abc).显然P(Aa)P(Aab)?P(Aac)，

P(Ab)?P(Aab)?P(Abc)，P(Ac)?P(Aac)?P(Abc)。所以

P(A3)?121[P(Aa)?P(Ab)?P(Ac)]?(a?b?c)?(a?b?c) 22?d?d（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

b个???解?1表示白，?2表示黑白，?3表示黑黑白，??b?1表示黑?黑白，

a则样本空间??{?1，?2，?，?b?1}，并且P({?1})?，

a?bbabb?1aP({?2})????， P({?3})?，?，

a?ba?b?1a?ba?b?1a?b?2P({?i})?bb?1b?(i?2)a????? a?ba?b?1a?b?(i?2)a?b?(i?1)b!a

(a?b)(a?b?1)?aP({?b?1})?甲取胜的概率为P({?1})+P({?3})+P({?5})+? 乙取胜的概率为P({?2})+P({?4})+P({?6})+?

1.21 设事件A,B及A?B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)得

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?p?q?r

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?r?q ，P(AB)?r?p P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明：

时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%

(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%

(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i?1,2,?,N。要求P(?Ai)。

i?1N?N?1?P(Ai)????N?NnN?2?，……，?N?N?，P(AiAj)??P(A1?AN)??????N?nn?N??0

nnN?N??N?1???N?1??1?1???P(Ai)????(?1)???? ??1???1i?1???N????N??N??N?2?2?1?N??N?2?????P(AiAj)????(?1)?2??N??2???N?，……

??1?i?N??????nn?N?i?所以P(?Ai)??(?1)??

?N?i?1i?1i?1NNn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？ 解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2?anin，当且仅当1,2,?,n的排列(i1i2?in)中存在k使ik?k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik?k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

(n?2)!(n?1)!P(Ai)?1?i?n P(AiAj)?(1?i?j?n)，……

n!n!

?n?(n?i)!ni?11?所以P(?Ai)??(?1)? ?(?1)??i?n!i!i?1i?1i?1??Nni?11.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一

个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

??{(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)?P(AB)6/86?? P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合格品”，

?m??m??M?m???????1????1?? 2则 P(A)????????P(B)??M???2?????m???2???? ?M???2????P(B|A)?P(AB)P(B)m?1?? P(A)P(A)2M?m?1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件

不合格品”。则

?m??M?m??M?m???1????1?????2?? ??????P(C)?P(D)??M???2?????m??M?m????1????????1? ?M???2????P(D|C)?P(CD)P(D)2m?? P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?11?

n?(k?1)n?k?1(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?n?1n?211????? nn?1n?k?1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，

(?p)r??pe。 证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?r???ke???k?k?r????pr(1?p)k?r ??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)?e?e ?e?r!r!(k?r)!k?r(?p)r??p?e

r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645

k?14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”

A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”

。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”

则由贝叶斯公式：

P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?25 P(A|B)?P(A2)P(B|A2)?28

1233?P(A)P(B|A)kkk?169?P(Ak)P(B|Ak)k?169P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)?P(A)P(B|A)kkk?13?16

691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

9321解 则 P(A1)?， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)?

151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?

7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9

1?P(A)P(B|A)kkk?14221.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、

0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

111、、，而乘飞机不会迟到。4312解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 则 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?1

1?P(A)P(B|A)kkk?1421.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独立。 证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

=P(A?B)P(C)

（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)

（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)

1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。 解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?P({?2})? P({?3})?P({?4})?P(A)?P(B)?P(C)?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 则 641151??， 646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)

641但是P(AB)?P({?1})??P(A)P(B)

641.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生；

(2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。

解 (1) P(?Ak)??P(Ak)??(1?pk)

k?1k?1k?1nnn(2) P(?Ak)?1?P(?Ak)?1??(1?pk)

k?1k?1k?1nnn(3) P[?(Ak?Aj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].

k?1j?1j?kk?1j?1j?kk?1j?1j?knnnnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。

解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等

于0，所以min(P(A),P(B))?0.

1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。

?5?解 (1)从5个人任选2人为O型，共有??2??种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三

??种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：

?5?2???3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168 ?2????5?22?(2) ??0.46?0.40?0.1557 ?3???(3) (1?0.03)5?0.8587

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，k?1,2,?。

(1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.42?0.84 (2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026 lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。

解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”

?n?m?1?n?1m?则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)???m?p(1?p)?p

???n?m?1?nm? ??p(1?p)?m???1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。

解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n?r次火柴，且第2n?r次

解P(????n)??P(??k)P(??n?k)??k?1n?111n?1?? kn?kn22k?12n?112.29 设随机变量?具有分布：P(??k)?,k?1,2,3,4,5，求E?、E?2及E(??2)2。

511解，E??(1?2?3?4?5)?3，E?2?(12?22?32?42?52)?11

55 E(??2)2?E?2+4E?+4=27 2.30设随机变量?具有分布：P(??k)?1,k?1,2,?，求E?及D?。 k2?k?1k1??1?解 E???k??k??2k?1?2?k?12 D??E?2?(E?)2?2

?k?1k21?2?1??2，E???k??k??2k?1?2?k?122?6

2k1]?k,k?1,2,?，问?是否有数学期2.31设离散型随机变量?的分布列为：P[??(?1)k2k望？

??2k111|?k??，因为级数?发散，所以?没有数学期望。 解 ?|(?1)k2k?1k?1kk?1k?k2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率

为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设?1、?2、?3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ?2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ?3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1

1(1?1?2?2?1?2?2?3?3?1)?1.8 101 E?2?(1?1?1?1?2?2?2?3?3?1)?1.7

101E?3?(1?1?2?3?1?2?2?3?4?1)?2

10所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ?10米的概率各是0.16，?20米的概率各是0.08，?30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。

于是 E?1?解 设场地面积为S米2，边长的误差为?米，则S?(??50)20且

E??0E?2?2(102?0.16?202?0.08?302?0.05)?186

所以ES?E(??500)2?E?2?1000E??250000?250186(米2)

2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为p1、p2、p3。试证发生故障的仪器数的数学p1+p2+p3。

?1第i架仪器发生故障证 令?i??i?1,2,3

?0第i架仪器未发生故障?为发生故障的仪器数，则E?i?P(?i?1)?pi,i?1,2,3， 所以E??E?1?E?2?E?3?p1+p2+p3。

2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。

解 设，

?10?1则?i的分布列为?114?，因而E?i?。设?为查得的不合格品数，则

??15?1515?????i，所以E???E?i?10。

i?1i?11501502.38 从数字0，1，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设?为所选两个数字之差的绝对值，则P(??k)?n?k?1,k?1,2,?,n，

?n?1???2????nn?k?12n?22于是E???k。 ?[(n?1)k?k]??3?n?1?n(n?1)k?1k?1???2???n2.39 把数字1,2,?,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。

0??1?1数字k出现在第k个位置上?1? 解 设?k??则?k的分布列为：11????0数字k不在第k个位置上n??nnn1于是E?k?P(?k?1)?，设匹配数为?，则????k，因而E???E?k?1。

nk?1k?12.40 设?为取非负整数值的随机变量，证明： (1) E???P(??n);

n?1?(2) D??2?nP(??n)?E?(E??1).

n?1?

证明 (1)由于E???nP(??n)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n?0?E???nP(??n)?n?1???n?1i?12?nP(??n)???P(??n)??P(??i)。

i?1n?i???i?1(2) D?存在，所以级数E???n2P(??n)也绝对收敛，从而

n?0?D??E??E??E?(E??1)??n(n?1)P(??n)?E?(E??1)

2?n?1?2??iP(??n)?E?(E??1)?2??iP(??n)?E?(E??1)

n?1i?1?i?1n?i?n???2?nP(??n)?E?(E??1).

n?12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。

解 设成功与失败均出现时的试验次数为?，则

P(??1)?1，P(??n)?pn?1?qn?1,n?2,3,?(q?1?p) 利用上题的结论，E??P(??1)+?P(??n)=1+?(pn?1?qn?1)

n?2n?2??pqp2?p?1?1???

1?p1?qp(1?p)2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为

返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。

解 略。

2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？

解 略。

2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p，当生产出k个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解 设第i?1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为?i，i?1,2,?,k.又在两次检修之间产品总数为?，则????i.

i?1k

因?i独立同分布，P(?i?j)?qj?1p,j?1,2,?(q?1?p)，由此得：

E?i??jqj?1?j?11p?p，E?i??j2qj?1p?2j?1?2?p， 2pD?i?E?i2?(E?i)2?k1?p。 2pkk(1?p)kE???E?i?，D???D?i?。 2ppi?1i?12.46 设随机变量?与?独立，且方差存在，则有

D(??)?D??D??(E?)2?D??D??(E?)2（由此并可得D(??)?D??D?）

证明 D(??)?E?2?2?(E??)2?E?2E?2?(E?)2(E?)2

?E?2E?2?E?2(E?)2?E?2(E?)2?(E?)2(E?)2

?E?2D??(E?)2D??D??D??(E?)2?D??D??(E?)2

2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为?和?：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在??k(0?k?9)的条件下?的分布列。

解 (1) P(??i|??k)?(2) P(??i|??k)?1i?0,1,?,9. 101(i?0,1,?,9,i?k) , P(??k|??k)?0 92.49 在n次贝努里试验中，事件A出现的概率为p，令

?i???1在第i次试验中A出现?0在第i次试验中A不出现i?1,2,?,n

求在?1??2????n?r(0?r?n)的条件下，?i(0?i?n)的分布列。 解 P(?i?0|???2????n?r)?P(?i?0,?1????i?1??i?1????n?r)

1P(?1??2????n)?n?1?rn?1?r?pqq?q? ?n?r ????n?n?rn?r??pq?r???P(?i?1|?1??2????n?r)?1?n?r?r。

nn2.50 设随机变量?1，?2相互独立，分别服从参数为?1与?2的普哇松分布，试证：

?1??n???? P(?1?k|?1??2?n)???k??????????12?k??1??1????1??2???n?k

证明 P(?1?k|?1??2?n)?P(?1?k,?1??2?n)

P(?1??2?n)?P(?1?k)P(?2?n?k)

P(?1??2?n)由普哇松分布的可加性知?1+?2服从参数为?1+?2的普哇松分布，所以

?k11(n?k)! P(?1?k|???2?n)?k!(?1??2)n?(???n!e1e??1??n2?ke??22)?1??n????????k?????????12?k??1??1???????12??n?k

2.51 设?1，?2，…，?r为r个相互独立随机变量，且?i(1?i?r)服从同一几何分布，即有P(?i?k)?qpk?1,k?1,2,?,(1?i?r),其中q?1?p。试证明在?1??2????r?n的条件下，

(?1,?2,?,?r)的分布是均匀分布，即

P(?1?n1,?,?r?nr|?1??2????r?n?1，其中n1?n2???nr?n. ?n?1???r?1????P(?1????r?n)证明 P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?P(?1?n1,?,?r?nr,?1????r?n)

1 ?P(?1?n1,?,?r?nr)

P(?1????r?n)由于?1，?2，…，?r相互独立且服从同一几何分布，所以

P(?1??2????r?n)?ki?1,2,?i?1,?,r?n?1?rn?rki?1?(q?p)????r?1??qp。

k1???kr?ni?1??rqrpn?r1从而P(?1?n1,?,?r?nr|???2????r?n)?。 ?n?1n?1??rn?r?????qp?r?1??r?1??????1第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)；

Fn(x)?F(x)?F(xi)?F(x)???F(xi)?F(xi?1)????2?，

即有Fn(x)?F(x)?2?成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列??n?同时依概率收敛于随机变量?与?，证明这时必有P(???)?1。

?????证：对任意的??0有???????????n?????，故

2??????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0

2?2???即对任意的??0有P????????0成立，于是有

???1????1?P??????P???????????P???????0

k??k?1?k??k?1?从而P(???)?1成立，结论得证。

?n?分别依概率收敛于随机变量?与?，证明： 4.6 设随机变量序列??n?，?PP?????；?????。 （1）?n??n?（2）?n??n?????????证：（1）因为??????n??n?????????n???????n???故

2??2??????????0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n??

2?2???P?????成立。 即?n??n????P???2。对任给的??0,??0取M足够大??1?，使有（2）先证明这时必有?n2??M?M?1?????P???对取定的M，存在N，当n?N时有P??n???1??P??n??????成立，???2?M???成立这时有

P??n???M??P??n???2??M?

??n???2??M????n???1???P??P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)} ?P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?

从而有

P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)} ?P(|?n??|?2nP2?M2n)?P(|?n??|?M)?3?由?,?的任意性知???，同理可证???2，由前述（1）有

2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2??

P?????，结论成立。 故?n??n?P22n2nPP??a，a?0是一个常数，且?n?0，证明4.7 设随机变量序列?n?1?nP???1。 a证：不妨设a?0对任意的0???a，当?n?a??时有?na?a2?a(?n?a)?a2?a?，

??n?a???n?a????因而????????。于是有 ??a2?a??a??n???11?? 0?P????????na????????n?a?n?a????????????????n?a?????P????????n?a???? ?P???????????na????na???n?a?? ?P????a2?a???P??n?a????0,n??。

??结论成立。

4.9 证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为：

E?n???0,n??

1??n??证：充分性，令f(x)?升函数，因而??1x?0,x?0，故f(x)是x(x?0)的单调上，x?0，则f'(x)?(1?x)21?xn?????????n?????，于是有 ???1?|?n??|1??????n?????P??n??????P???1????1???

n???n??E?0,n?? ??1??n??1??对任意的??0成立，充分性得证。

P???，故存在充分大的N使得必要性，对任给的??0，令A????:?n?????，因为?n?

当n?N时有P(A?)??，于是有

??n????n???n???E?E?IA???E()IA? ?1??n??1????1????nn?? ?P(A?)???2?， 由?的任意性知E?n???0,n??，结论为真。

1??n??4.10 设随机变量?n按分布收敛于随机变量?，又数列an?a，bn?b，证明an?n?bn也按分布收敛于a??b。

证：先证明a?n按分布收敛于a?。a?0时为显然，不妨设a?0（a?0时的修改为显然），

?x?若a?，?，a?n，?n的分布函数分别记作Fa????，F????，Fa?n???与Fn???，则Fa??x?=F???，当x?a?是Fa????的连续点时，

x是F????的连续点，于是有 a?x??x?limFa?n(x)?limFn???limF????Fa?(x) n??n???a?n???a?成立，结论为真。由4.12知?n(an?a)?0，再由4.6(1)知?n(an?a)?bn?b，于是由前述结论及4.11知?nan?bn?a?n?(an?a)?n?bn按分布收敛于a??b，结论得证。

4.11设随机变量序列{?n}按分布收敛于随机变量?，随机变量序列{?n}依概率收敛于常数a，证明?n??n按分布收敛于??a。

证：记?,?n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，则??a的分布函数为F(x?a)，设x是F(x?a)的连续点，则对任给的??0，存在??0，使当0?????时有

|F(x?a???)?F(x?a)|?? （1） 现任取0??1??2??，使得x?a??1,x?a??2都是F(?)的连续点，这时存在N1，当n?N1时有

|F(x?a??1)?Fn(x?a??1)|?? （2） |F(x?a??2)?Fn(x?a??2)|?? （3）

PP对取定的?1，存在N2，当n?N2时有

P(|?n?a|??1)?? （4）

于是当n?max(N1,N2)时，由（1），（2），（4）式有

P(?n??n?a)?x?a)?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}又因为 ?P(?n?x?a??1)?P(|?n?a|??1)?F(x?a)?3?(5)

P(?n?x?a??2)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P{(?n?x?a??2)?(|?n?a|??2)}于是由（1），（3），（4）式有

P(?n??n?a?x?a)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P(?n?x?a??2)?P(|?n?a|??2?F(x?a)?3?|P(?n??n?a?x?a)?F(x?a)|?3?

（6）

由（5），（6）两式可得

由?的任意性即知?n??n按分布收敛于??a，结论得证。

4.12设随机变量序列{?n}按分布收敛于?，随机变量序列{?n}依概率收敛于0，证明

?n?n?0.

证：记?,?n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，对任给的??0，取a?0,b?0足够大，使?a,b是F(x)的连续点且

1?F(b)??,F(?a)??

P因为Fn(x)?F(x)，故存在N1，当n?N1时有

1?Fn(b)?2?,Fn(?a)?2?

W令M?max(a,b)，因为?n?0，故存在N2，当n?N2时有

P(|?n|?P?M)??

而

P(|?n?n|??)?P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??M)]}?M

)]}?I1?I2其中I1?0，当n?max(N1,N2)时有

P{(|?n?n|??)?(?a??n?b)}?P{(?a??n?b)}?P{(?n??a)?(?n?b)}?Fn(?a)?[1?Fn(b)]?4?因而P(|?n?n|??)?I2?5?，由?的任意性知?n?n?0，结论为真。 4.13 设随机变量?n服从柯西分布，其密度函数为

P

pn(x)?n

?(1?n2x2)证明?n?0,n??。 证：对任意的??0，有

P(|?n|??)??n?n1dx???n??(1?t2)dt?1,n?? ???(1?n2x2)P?故?n?0,n??。

4.14 设{?n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

??1?p(x)????00?x??其它PP

其中??0为常数，令?n?max(?1,?2,?,?n)，证明?n??。 证：对任意的n，0??n??为显然，这时有

P(?n?x)??P(?i?x)???i?1i?1nnx10?xdx?()n,0?x??

?P(?n?x)?0,x?0;P(?n?x)?1,x??

对任意的??0(???)，有

P(|?n??|??)?P(?n????)?(???n)?0,n?? ?故?n??成立，结论得证。

4.15 设{?n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为

P?e?(x?a)p(x)???0令?n?min(?1,?2,?,?n)，证明?n?a。 证：设?i的分布函数为F(x)，有

Px?ax?a

?1?e?(x?a)F(x)???0这时有

nx?a x?aP(?n?x)??P(?i?)?[1?F(x)]n?e?n(x?a),x?a

i?1对任意的??0，有

解：p?(x)??1?x2dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。

由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

又因p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov( ?,?)?0，

?与?不相关。

3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：

?100?x?100p(x)??x2

?x?100?0一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全

部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为?，则

1002 dx?150x233所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)?8；三个这类管子全部要替换的概率是

327P(??150)???(1?2)3?1。

3273.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??131??。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由?的

密度函数p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为

2??p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。 解：在x?0时，

?6a3?y??6其它。b3,

P(??x)?P(?x???x)??所以?的分布密度

x12??xe?t22dt。

p?(x)?2/??e?x,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

?3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。

22/2

解：

y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为

?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y?2???y?0.?03.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F?(?)的分布函数与?的分布函数相同。

?1解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以?的分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与?的分布函数相同。

3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且a???b??；（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。

?1p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy

??? =

1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy

min(x?a,?) =?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。 （2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。

p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?????min(x?a,?)max(x,0)21/a2dy

=?min(x?a,a)?max(x,0)?/a

=

a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它

3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为

p(x)?求?+?的密度函数。

1?x/a?e,(a?0) 2a解： p?(x)?p?(x)?1?x/a?e， 2a

p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy，

???当x?0时，

p???(x)??1?|x?y|?|y|?exp???dy??4a2a???x?y?yx?y?yax?10?a?2[?edy??e04a??1x?xa?(1?)e4aady??ex??y?x?yady]

当x?0时，

x?1p???(x)?2[?e4a??x?y?yady??ex0?y?x?yady??e0??y?x?yady]?1xx(1?)ea 4aa所以

1?|x|p???(x)?2(a?|x|)ea

4a3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为

p(x)?证明：??证：

1 2?(1?x)1(???)也服从同一分布。 211dx???21?x21?(y?x)2?2x?y12(x?y)?y?2[?]dx222????y(y?4)x?1(x?y)?1

122??2[ln(x?1)?yarctgx?ln((x?y)?1)?yarctg(x?y)]|???y(y2?4)2??(y2?4)p???(y)???1所以

p12(???)(z)?212? 22?[(2z)?4]?(1?z)即??1(???)也服从相同的柯西分布。 23.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数

??e??xp?(x)???0??e??xp?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。

x?0 x?0x?0 x?0

解：x?0时，

p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x???e??x?e?(???)ydy0x

????x??x??(???)[ee],?????2??x??????xe,x?0时，

p???(x)?0

3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。 解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，

?x?1?1?x?0 p???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]??0?x?1?1?x在0?x?1时，|???|的分布函数

F(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)??(t?1)dt??(1?t)dt?2x?x?x00x2

所以|???|的分布密度为

?2(1?x)0?x?1 p|???|(x)??0其它?3.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。 解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以

p???(x)??p?(y)p??(x?y)dy

???在x?0时，

p???(x)???e0???y?e?(x?y)?x??edy?(???)

在x?0时，

p???(x)???ex?????e?(x?y)??x??edy?(???)

所以

???e?xx?0?(???)p???(x)?? ??x??e?x?0(???)?3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为

1??p?(x)???1?x2??0x??xe?p?(y)????02|x|?1|x|?1

2x?0

x?0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?(x)?xe?x22,x?0得p1(x)?xe??3?12x2,x?0。故

?p??(y)?p令12y?u???1(y)??|x|p?(yx)p?(x)dx

??2x22，则

p??(y)?所以??服从N(0,1)分布。

12?e?y22??0uedu??12?u12?e?y22

3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。

1?解：p?(x)??p?(xz)p?(z)|z|dz??zp?(xz)dz

??a0??当0?x?1时，

p?(x)??1a2?axa0zdz?1 2当x?1时

1p?(x)?2a?所以??0zdz?1 22x?的密度函数为

?0x?0??p?(x)??10?x?1

2??1x?1??2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求?解：在x?0时，

?的密度函数。

p?(x)??p?(xy)p?(y)|y|dy???????e0?2??xy??ye1ydy?(x?1)2

???证：E??k?E?E(??k?)?

k?1?k?1??s? ??E???k??P(??s)

s?1?k?1??s? ????E?k??P(??s)

s?1?k?1???? ??E?k???P(??s)?

k?1?s?k? ??????E?k?1?k?P(??k)

3.91 求下列连续型分布的特征函数： （1）(?a,a)上的均匀分布(a?0)， （2）柯西分布，其密度函数为

p(x)?（3）T?分布，其密度函数为

1,(a?0)

?(x?b)2?a2?a?????x??1?e??xp(x)??T(?)??0解：（1）?(t)?ax?0x?0 (??0,??0)

?a?aeitx?1sinat ?dx?2aat1aitb?eitu2aitb?costu（2）?(t)??e??dx??e?du??e?2du 22222??a??0?(x?b)?a??u?au?aitxa由拉普拉斯积分

??0cos?x????ibt?at得 dx?e,(?,??0),?(t)?e2??2?x2?itx（3）

?(t)??e??/?(?)?x?edx??/?(?)??e00???1??1??(it??)xit???xdx??/?(?)??(?)/(??it)?(1?)?(1?it)??

????1??3.93 若?(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）

?(?t);(2)?(t);(3)??(t)?2（n为正整数）

2证：（1）若?(t)是随机变量?的特征函数，则?(?t)是随机变量????的特征函数； （2）若?与?独立同分布，其特征函数为?(t)。则?(t)数；

（3）若?1,?,?n独立分布，其特征函数为?(t)。则??(t)?是随机变量??n2??(t)??(?t)是随机变量?????的特征函

n?i?1?i的特

征函数。

3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：

11?sint?2（1）cost；（2）cost；（3）；（4）?（5）?it。 ?；

1?it2e?1t??证：（1）cost?21it1?it?e??e，所以cost是两点分布 22? P 的特征函数。 （2）cost?2-1 1 12 12 112it1?2it??e??e，所以cos2t是三点分布 244? P 的特征函数。

?2 14 0 12 2 14 （3）密度函数为p(x)?e,x?0;p(x)?0,x?0的指数分布的特征函数为为p(x)?e,x?0;p(x)?0,x?0的分布的特征函数。 （4）[?1,1]上均匀分布的特征函数为函数为(x?x11，所以是密度函数1?it1?itsint，所以互相独立且同为[?1,1]上均匀分布的两个随机变量和的特征tsint2sint2)，即()是密度函数为 tt?(2?x)?2?x?04??p(x)??(2?x)0?x?2

4?0其它??的分布的特征函数。 （5）

12e?it?1??1ikt1e，所以是几何分布 k?it22e?1k?1?P(??k)?的特征函数。

1,k?1,2,3,? 2k3.95 试举一个满足（1）?(?t)??(t)，（2）|?(t)|??(0)?1，但是?(t)不是特征函数的例子。 解：令

?(t)???1t?0

?0t?0则?(t)满足（1），（2），但?(t)在t?0点不连续，故?(t)不是特征函数。 3.96 证明函数

?|t|?1?|t|?a?(t)??(a?0) a?|t|?a?0

是特征函数，并求出它的分布函数。 解：由于

?t??1??????(t)dt???a??dt?a?? a???a故欲证?(t)是特征函数，仅须验证

p(x)?12?????e?itx??(t)dt?12??t?1?itx??e?1?dt???a????a?at?11?cosax?是密度函数由于1?costxdt???2?0???a?axap(x)?0，

a?2ax?ax?2?sin2ydy?1， ?dx??02???p(x)dx?x?0sin2?2?y???2所以?(t)为特征函数，其分布函数为

F(x)??3.97 设?(t)是一个特征函数。h?0，证明：

11?cosat?dt。 2???atx?h(t)?p(t)?也是特征函数。

sinth thsinthsinth

，则thth

证：设?与?相互独立，?的特征函数为?(t)，?服从??h,h?上的均匀分布，?的特征函数为是???的特征函数。

1n3.98 设?1,?2,?,?n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明??i与?1有相同的分布。

ni?111nibt?at证：柯西分布p(x)??的特征函数?(t)?e.故???i的特征函数为22?(x?b)?ani?1a??t??1nibt?at.所以???i与同分布。 ???n???eni?1????3.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求

n??i?1ni的分布。

??n?it?????1??xxe，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数?(t)??解：T?分布p(x)??1????。故??i的T(?)i?1??特征函数为

??(t)?nn?it????1???????n?，

?n??xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，x?0。 所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)?T(n?)i?1

3.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为

?1?1?xy(x2?y2)p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它

证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与?并不相互独立。 证：p???(z)?????p(x,z?x)dx

?(2?x)4?2?x?0?0?x?2 ??(2?x)4?0其它。??sint????的特征函数为??。

t??2p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。

故?与?的特征函数皆为

sint，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由tp(x,y)?p?(x)?p?(y)，故?与?不互相独立。

3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e?t，又令??a?(a?0)，证明???的特征函数等于?、

?的特征函数的乘积，但?与?不独立。

证：由?的特征函数??(t)?e故????(t)???(t)???(t)。 倘

若

?t??a?与???的特征函数分别为??(t)?e推得，

?at与????(t)?e?(a?1)t，

?与

?相互独立，令

?的分布函

2数为

F(x)，则

F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，

故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）： （1）sint；（2）

11?t1；（3）；（4）；（5）ln(e?t)1?it1?t21?t2??2。

解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时，

1?t?1。 21?t （3）不是，因为ln(e?t)?1不成立 （4）不是，因为?(t)?1??(?t)。 1?it

（5）是的，拉普拉斯分布p(x)?1?x11，所以?e的特征函数为

21?t21?t2??2也是特征函数。

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设D(x)为退化分布：

?1x?0 D(x)???0x?0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

11(1){D(x?n)};(2){D(x?)};(3){D(x?0},其中n?1,2,?

nn解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数Fn(x)如下定义：

?0?x?nFn(x)???2n?1问F(x)?limFn(x)是分布函数吗？

n??x??n?n?x?n

x?n解：不是。

4.3设分布函数列{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的??0，取M充分大，使有

1?F(x)??,?x?M;F(x)??,?x??M

对上述取定的M，因为F(x)在[?M,M]上一致连续，故可取它的k分点：

x1??M?x2???xk?1?xk?M，使有F(xi?1)?F(xi)??,1?i?k，再令x0???,xk?1??，则

有

F(xi?1)?F(xi)??,0?i?k?1 （1） 这时存在N，使得当n?N时有

|Fn(xi)?F(xi)|??,0?i?k?1 （2）

成立，对任意的x?(??,?)，必存在某个i(0?i?k)，使得x?(xi,xi?1)，由（2）知当n?N时有

Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?? （3） Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?? （4）

由（1），（3），（4）可得

Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)???F(xi?1)?F(xi)???2?，

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