导数的概念及其运算

第三章 导数及其应用

命题探究

解答过程

(解法一)

(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).其中2ex+1>0恒成立.

(i)若a≤0,则f '(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减. (ii)若a>0,则由f '(x)=0得x=-ln a.

当x∈(-∞,-ln a)时, f '(x)<0;当x∈(-ln a,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+∞)上单调递增. (2)(i)若a≤0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.

(ii)若a>0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-+ln a.

①当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;

②当a∈(1,+∞)时,由于1-+ln a>0,即f(-ln a)>0,

故f(x)没有零点;

③当a∈(0,1)时,1-+ln a<0,即f(-ln a)<0.

又f(-2)=ae+(a-2)e+2>-2e+2>0,故f(x)在(-∞,-ln a)有一个零点.

-4

-2

-2

设正整数n0满足n0>ln

- ,则f(n0)= (a +a-2)-n0> -n0> -n0>0. 由于ln

- >-ln a,因此f(x)在(-ln a,+∞)有一个零点.

综上,a的取值范围为(0,1). (解法二)

(1)同解法一(1).

(2)若a≤0,则f(x)在R上单调递减,至多只有一个零点,不符,舍去; 若a>0,当x→+∞时,f(x)→+∞;当x→-∞时,f(x)→+∞,要使f(x)有两个零点,只要fmin(x)=f(-ln a)<0即可,即a·

+(a-2)·-ln <0,即1--ln <0,令t=>0,则g(t)=1-

t-ln t,且g(t)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,∴当t=>1,即0

a)<0.

即f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,1)

§3.1 导数的概念及其运算

考纲解读

考点 其几何意义 内容解读 ②理解导数的几何意义 ①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数; 要求 理解 高考示例 2016课标全国Ⅱ,16; 2014课标Ⅱ,8 2017北京,19; 常考题型 预测热度 选择题 填空题 ★★★ 1.导数的概念及 ①了解导数概念的实际背景; 2.导数的运算 ②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数

掌握 2016北京,18; 2015北京,18; 2013江西,13 填空题 解答题 ★★★

分析解读 1.理解导数概念,会求过曲线上某点的切线的斜率与切线方程,能将平行或垂直直线间的关系转化为导数关系.2.熟记常见基本初等函数的导数公式并结合导数的运算法则求简单函数的导数,会求简单复合函数的导数.3.利用导数的几何意义求曲线的切线斜率是高考热点,分值为5分左右,属于中低档题.

五年高考

考点一 导数的概念及其几何意义

1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )

A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3

答案 A

2.(2014课标Ⅱ,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3

答案 D

3.(2014大纲全国,7,5分)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e 答案 C

C.2

D.1

4.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 答案 1-ln 2

5.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 . 答案 (1,1)

教师用书专用(6—8)

6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 . 答案 (-ln 2,2)

7.(2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.

解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1-. (1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f '(x)=1-(x>0),

因而f(1)=1, f '(1)=-1,

所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. (2)由f '(x)=1-= -

,x>0知:

①当a≤0时, f '(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;

②当a>0时,由f '(x)=0,解得x=a.

又当x∈(0,a)时, f '(x)<0,则f(x)在(0,a)上单调递减;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)在(a,+∞)上单调递增, 从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 8.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=

在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程;

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解析 (1)设f(x)=

,则

f '(x)=

-

. 所以f '(1)=1.所以L的方程为y=x-1.

(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f '(x)=当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).

所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.

-

. 考点二 导数的运算

1.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f '(1)= . 答案 2

2.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.

解析 (1)因为f(x)=excos x-x,所以f '(x)=ex(cos x-sin x)-1, f '(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,

则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x∈ 时,h'(x)<0,

所以h(x)在区间 上单调递减.

所以对任意x∈ 有h(x)

因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =-.

教师用书专用(3—4)

3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值;

(2)求f(x)的单调区间.

解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f '(x)=(1-x)ea-x+b. - 依题设,知 即

- - - - 解得a=2,b=e.

(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.

由f '(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知, f '(x)与1-x+ex-1同号.

令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.

所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值, 从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).

综上可知, f '(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). 4.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln

. -

(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程; (2)求证:当x∈(0,1)时, f(x)>2 (3)设实数k使得f(x)>k

;

对

x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.

解析 (1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 所以f '(x)=

+, f '(0)=2. -

又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x. (2)证明:令g(x)=f(x)-2 则g'(x)=f '(x)-2(1+x2)=因为g'(x)>0(0

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增. 所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1), 即当x∈(0,1)时, f(x)>2

.

对 ,

. - (3)由(2)知,当k≤2时, f(x)>k 当k>2时,令h(x)=f(x)-k 则h'(x)=f '(x)-k(1+x2)=所以当0

x∈(0,1)恒成立.

,

- -

. - -

时,h'(x)<0,因此 h(x)在区间

.

-

上单调递减. -

时,h(x)

f(x)

所以当k>2时, f(x)>k 综上可知,k的最大值为2.

并非对 x∈(0,1)恒成立.

三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 导数的概念及其几何意义

1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f '(x),且f '(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )

A.6x+y-12=0 B.9x+y-16=0 C.6x-y-12=0 答案 D

D.9x-y-16=0

2.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)= A.1 B.-1 C.2 D.-2

,则曲线

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )

答案 A

3.(2017广东惠州第二次调研,14)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 .

答案 2

4.(人教A选2—2,一,1-2A,7,变式)已知函数f(x)=ax+1-ex(a∈R,e为自然对数的底数),若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,则a= . 答案 e

考点二 导数的运算

5.(2018甘肃武威第六中学第二阶段过关考试,4)已知函数f(x)的导函数为f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln x,则f '(1)=( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 答案 B

6.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( ) A.f(x)=3cos x C.f(x)=1+sin 2x

B.f(x)=x3+x2 D.f(x)=ex+x

答案 C

7.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数y=f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M( ) A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上 C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上 答案 B

B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:35分 时间:25分钟)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2018广东阳春第一中学月考,9)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函数的凹凸性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f '(x),f '(x)在(a,b)上的导函数为f ″(x),若在(a,b)上,f ″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是( ) A.[3,+∞) B.(3,+∞) C.

D.

答案 C

2.(2017广东惠州模拟,12)设曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在曲线g(x)=3ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为( ) A.[-1,2] B.(3,+∞) C. - D. - 答案 D

3.(2017江西新余第二次模拟,9)将函数g(x)=2cosx-

·cos 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数

h(x)的图象,设f(x)=x2+h(x),则f '(x)的图象大致为( )

答案 A

4.(2017河南洛阳期中,12)设点P,Q分别是曲线y=xe-x(e是自然对数的底数)和直线y=x+3上的动点,则P,Q两点间距离的最小值为( ) A.C.

-

B.

D.

答案 C

二、填空题(每小题5分,共15分)

5.(2018重庆梁平二调,15)曲线y=a (a>0)与曲线y=ln 有公共点,且在公共点处的切线相同,则a的值为 . 答案

6.(2018河南联考,16)已知过点(0,-1)且与曲线y=f(x)=-x3+x2-6x(x>0)相切的直线有且仅有两条,则实数a的取值范围是 . 答案 (2,+∞)

7.(2017天津红桥期中,16)若在曲线f(x)=ax5+ln x上存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 . 答案 (-∞,0)

C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程

1.(2018江苏丹阳高级中学期中,10)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2,f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导数,则 答案

的值为

.

2.(2017河南百校联盟模拟,16)已知函数f(x)=-f '(0)ex+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=ex上,则|PQ|的最小值为 . 答案 3.(2016江西百所重点高中阶段性诊断,14)若曲线f(x)=答案

-

在点(1,1)处的切线经过点A(a,0),B(0,b),则a与b的等差中项为 .

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