江苏省南通市2013届高三第一次调研考试数学试题

南通市2013届高三第一次调研测试数学I

参考答案与评分标准

（考试时间：120分钟 满分：160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位

置上．

1．已知全集U=R，集合A??xx?1?0?，则eUA? ▲ ． 答案：(??,?1]．

2．已知复数z=3?2i(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．

i 答案：三．

3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． 答案：48.

4．定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R都有f(x?2)?f(x)，当x?(?2,0) 时，f(x)?4x， 则f(2013)? ▲ ． 答案：

1． 45．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”， 则p是q的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空） 答案：否命题．

开始 输入x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出x （第8题） y2x6．已知双曲线2?2?1的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合， ab2且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．

2y2x答案：??1． 5207．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104， 则a5与a7的等比中项为 ▲ ． 答案：?42．

8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．

Y 结束 3答案：．

8[来源学科网]

9．在△ABC中，若AB=1，AC=3，|AB?AC|?|BC|，则BA?BC= ▲ ．

|BC| 1

答案：

1． 210．已知0?a?1，若loga(2x?y?1)?loga(3y?x?2)，且??x?y，则?的最大值为

▲ ． 答案：－2． 11．曲线f(x)?f?(1)x1e?f(0)x?x2在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ． e21． 2O (第12题)

答案：y?ex?12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅

为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为 ▲ cm． 答案：－1.5．

13．已知直线y=ax+3与圆x2?y2?2x?8?0相交于A，B两点，点P(x0,y0)在直线y=2x上，

且PA=PB,则x0的取值范围为 ▲ ． 答案：(?1,0)(0,2)．

14．设P(x，y)为函数y?x2?1(x?3)图象上一动点，记m?m最小时，点 P的坐标为 ▲ ． 答案：(2，3)．

3x?y?5x?3y?7，则当?x?1y?2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应

写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证： （1）EF//平面ABC； （2）平面AEF⊥平面A1AD．

解：（1）连结A1B和A1C．

因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点， 所以E、F分别是A1B和A1C的中点．

所以EF//BC． ?????????????????????3分 又BC?平面ABC中，EF?平面ABC中，

2

A1

B1 E F A B

C A1

C1

E F A B C C1

D

(第15题)

B1 D

(第15题)

故EF//平面ABC． ??????????????????6分 （2）因为三棱柱ABC?A1B1C1为正三棱柱， 所以A1A?平面ABC，所以BC?A1A．

故由EF//BC，得EF?A1A． ???????????????8分 又因为D是棱BC的中点，且?ABC为正三角形，所以BC?AD． 故

由

EF//BC，得

EF?AD． ?????????????????????????10分

而A1A1AAD?A，

A1A,AD?平面

A1A，D所以EF?平面

12分 A．?????????????D又

EF?平面AEF，故平面AEF?平面

A1．?????????????????????14分 AD

16.（本题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?sinA?sinB．

cosA?cosB（1）求角C的大小；

（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a2?b2的取值范围． 解：(1)因为tanC?sinA?sinB，即sinC?sinA?sinB，

cosA?cosBcosCcosA?cosB所以sinCcosA?sinCcosB?cosCsinA?cosCsinB， 即 sinCcosA?cosCsinA?cosCsinB?sinCcosB，

得 sin(C?A)?sin(B?C)． ????????????????????4分 所以C?A?B?C，或C?A???(B?C)(不成立)．

即 2C?A?B, 得 C??． ????????????7分

3(2)由C?π,设A?π??,B?π??,0?A,B?2π,知-π???π．

333333因a?2RsinA?sinA,b?2RsinB?sinB， ???????????????8分 故a2?b2?sin2A?sin2B?1?cos2A?1?cos2B

22=1?1?cos(2π?2?)?cos(2π?2?)??1?1cos2?． ??????11分

?2?332??由-π???π,知-2π?2??2π,3333?1?cos2?≤12，故

3?a2?b2≤3．???????????14分 4217.（本题满分14分）

3

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB?AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB?交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB?PD的面积最大时制冷效果最好．

B?

D P C

（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

解：（1）由题意，AB?x，BC?2?x．因x?2?x，故1?x?2． ???2分

设DP?y，则PC?x?y．

因△ADP≌△CB?P，故PA?PC?x?y．

22?AD?由 PA22D，得P (x?y)?(2?x2)?y2?y?2(11?，1)?x?2．??5分

xA

（第17题）

B

（2）记△ADP的面积为S1，则

S1?(1?1)(2?x) ?????????????????????6分

x?3?(x?2)?2?22，

x当且仅当x?2∈(1，2)时，S1取得最大值．?????????8分

故当薄板长为2米，宽为2?2米时，节能效果最好． ?????????9分 （3）记△ADP的面积为S2，则

S2?1x(2?x)?(1?1)(2?x)?3?1(x2?4)，1?x?2．?????????10分

2x2x?x3?2?0?x?32．??????????11分 于是，S2???1(2x?4)?2x2x2关于x的函数S2在(1,32)上递增，在(32,2)上递减．

所以当x?32时，S2取得最大值． ???????????13分

[来源学科网ZXXK]

故当薄板长为32米，宽为2?32米时，制冷效果最好． ????????14分 18.（本题满分16分）

已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1；

（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； （3）设lgbn?n(an?a1)． 2an?1，试问是否存在正整数p，q(其中1

4

解：(1)令n=1，则a1=S1=

(2)由Sn?1(a1?a1)=0． ???????????3分 2n(an?a1)na，即Sn?n， 22(n?1a)n?1． 2① ② ③ ④

得 Sn?1?②－①，得 (n?1a)n?1?nan． 于是，nan?2?(n?1)an?1．

③+④，得nan?2?nan?2nan?1，即an?2?an?2an?1． ????????7分 又a1=0，a2=1，a2－a1=1，

所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，an=n－1． ???????????????????9分

(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，

于是，

2p1q??． ???????????????????11分 3p33q2p1?)(☆)． 3p3所以，q?3q(易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． ???????????13分 当p≥3，且p∈N*时，于是

2(p?1)2p2?4p2p<0，故数列{}(p≥3)为递减数列， ??3p?13p3p?13p2p12?31?≤3?<0，所以此时方程(☆)无正整数解．

333p3综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． ????16分

注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分． 19.（本题满分16分）

已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，23)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的

3椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． （1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标． 解：依题设c=1，且右焦点F?(1，0)．

??所以，2a=EF?EF?=(1?1)??23??23?23，b2=a2－c2=2，

3?3?22 5

2y2x故所求的椭圆的标准方程为??1． ?????????????4分 3222x12y12x2y2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则??1①，??1②．

3232②－①，得 所以，k1=

(x2?x1)x(2?x1)y(?2yy(y)1)?2??10．

32y2?y12(x2?x1)4x????P??2． ??????????????9分 x2?x13(y2?y1)6yP3(3)依题设，k1≠k2．

设M(xM,yM)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，

2代入椭圆方程并化简得 (2?k312x)2?6k?3k?6?． 01k2x2于是，xM?同理，xN??3k1k22k2y?，． ???????????????11分 M2?3k122?3k12?3k1k22k1y?，． N222?3k22?3k2当k1k2≠0时， 直

线

MN

的

斜

率

yM?yN4?6(k22?k2k1?k12)10?6k2k1k==．??????????????13分 ??9k2k1(k2?k1)?9k2k1xM?xN直线MN的方程为y?即 y?2k210?6k2k1?3k1k2?(x?)， ?9k2k12?3k122?3k1210?6k2k110?6kk2k213kk12x?(??)2， 22?9k2k1?9k2k12?3k12?3k1亦即 y?10?6k2k1x?2．

?9k2k13此时直线过定点(0,?2)． ???????????????????15分

3当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0,?2)．

3综上，直线MN恒过定点，且坐标为(0,?2)． ?????????????16分

320.（本题满分16分）

已知函数f(x)?x?ax(x?0且x≠1)．

lnx（1）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若?x1,x2?[e,e2]，使f(x1)≤f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围．

1?a?0在(1,??)上恒成解：（1）因f(x)在(1,??)上为减函数，故f?(x)?lnx?2(lnx)

6

立． ??????2分

所以当x?(1,??)时，f?(x)max?0． 1?a??1又f?(x)?lnx?2lnx(lnx)??2?1?a??1?1lnxlnx2??a， ??142故当1?1，即x?e2时，f?(x)max?1?a．

4lnx2所以1?a?0,于是a≥1，故a的最小值为1． ????????????6分

444（2）命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)?f??x2??a成立”等价于

“当x?[e,e2]时，有f(x)min?f??x?max?a”． ?????????????7分 由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)max?1?a，?f??x?max?a?1．

44问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f(x)min?1”． ?????????????8分

410当a?1时，由（1），f(x)在[e,e2]上为减函数，

42e则f(x)min=f(e)??ae2?1，故a?1?12． ??????????10分 2424e22当a?1时，由于f?(x)??1?14lnx20??a在[e,e]上为增函数， ??1422故f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)]，即[?a,1?a]．

4(i)若?a?0，即a?0，f?(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min=f(e)?e?ae?e>1，不合． ????????????12分

4(ii)若?a?0，即0?a?1，由f?(x)的单调性和值域知，

4?唯一x0?(e,e2)，使f?(x0)?0，且满足：

当x?(e,x0)时，f?(x)?0，f(x)为减函数；当x?(x0,e2)时，f?(x)?0，f(x)为增函数；

所以，f(x)min=f(x0)?x0?ax0?1，x0?(e,e2)． lnx04所以，a?1?1?12?1?1?1?1，与0?a?1矛盾，不合． ???15分

4lnx04x0lne4e244综上，得a?1?12． ????????????????16分

24e

[来源:Z.xx.k.Com]

7

南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题

参考答案与评分标准

（考试时间：30分钟 满分：40分）

21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，

共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1：几何证明选讲

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是BC的中点．求证：

（1）AB?AC?AE?AD； （2）?FAE??FAD．

证明：（1）连BE，则?E??C，又?ABE??ADC?Rt?，

所以△ABE∽△ADC，所以AB?AE．

ADACB E F

D (第21A题)

A O C ∴AB?AC?AE?AD． ???????????????????????5分 （2）连OF，∵F是BC的中点，∴?BAF??CAF． 由

(1)

，

得

?BA?，?∴

?FAE??FAD． ???????????????????10分

B．选修4－2：矩阵与变换

?10?已知曲线C: y2?2x，在矩阵M???对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵02???0?1?N???对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程． 10??解：设A=NM，则

?0?1??10??0?2?A????02???10?， ?????????????????????3分 10??????设P?x', y'?是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P?x, y?， 则

?x??0???x2???y'??y???10??y'???x'?????????8

， 即

?x??2y',??y?x',∴

?x'?y,? ???????????7分 ?1y'??x.??2又点

P?' x,?曲线y在'C: y2?2x上，∴

(?1x)2?2y2，即

y?1x2．????????????10分

8

C．选修4－4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐

??x??3t,标方程为?2cos2??3?2sin2??3，直线l的参数方程为?(t为参数，t∈R)．试

y?1?t??在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

x2解：曲线C的普通方程是?y2?1． ????????

3?????????????????2分

直

线

l

的

普

通

方

程

是

x?3y? ????????????????????????4分 ?． 30设点M的直角坐标是(3cos?,sin?)，则点M到直线l的距离是

π32sin(??)?13cos??3sin??34． ???????????????22d??????7分

因为?2?2sin(??)?2，所以

4?πππ3π当sin(??)??1，即???2kπ?(k?Z)，即??2kπ?(k?Z)时，d取得最大值．

4424此时3cos???62,sin???． 22综上，点M的极坐标为(2,7π)时，该点到直线l的距离最6大． ?????????10分

62,?)，不扣分． 注 凡给出点M的直角坐标为(?22

D．选修4－5：不等式选讲

已知a?0,b?0,且2a?b?1，求S?2ab?4a2?b2的最大值． 解：a?0,b?0,2a?b?1,

9

∴

4a2?b2?(2a?b)2?4ab?1?4ab, ??????????????????????

??2分

且

1?2a?b?22ab，即

ab?24，

ab?1, ????????????????????5分

8∴S?2ab?4a2?b2?2ab?(1?4ab)?2ab?4ab?1?2?1,

2当

且

仅

当

a?1,b?142时，等号成

立． ?????????????????????????10分

22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使PQ?1QM，且PR?PM?0．

2（1）求动点M的轨迹C1；

（2）圆C2： x2?(y?1)2?1，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点

（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：AB?CD为定值．

O R Q x P M y （第22题）

1解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由PR?PM?0,PQ?QM及R(0，－

23)，得

???x1(x?x1)?(?3)y?0,?1???x1?x,2?11?y2?y?y2.??22化简，得

x2?4y． ???????????????????????4分

所以，动点M的轨迹

C1是顶点在原点，开口向上的抛物

线． ???????????????5分

法二：设M(x，y)．

1x由PQ?QM，得 P(?,0Q),22y(0．, )3x3x所以，PR?(,?3),PM?(,y)．

22 10

由PRPM?0，得 x2?4y． ???????4分

(x3?,?3x)y?(22，,即)32x0?3y?0．化简得 4所以，动点M的轨迹

C1是顶点在原点，开口向上的抛物

线． ???????????????5分

?AB?CDC2的圆心即为抛物线C1的焦点F． （2）证明：由题意，得 AB?CD，⊙

设

A(x1,y1)，

D(x2,y2)，则

AB?FA?FB?y1?1?1?y1． ??????????????7分

同理 CD?2y．

设直线l的方程为 x?k(y?1)．

?x?k(y?1),12?由?得y?k(y?1)2，即k2y2?(2k2?4)y?k2?0． 124y?x,??4所

以

，

AB?CD?AB?CD?y1y2?1． ????????????????????????10分

23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知数列{an}满足：a1?2a?2,an?1?aan?1?1(n?N*)． （1）若a??1，求数列{an}的通项公式；

（2）若a?3，试证明：对?n?N*，an是4的倍数． 解：(1)当a??1时，a1??4,an?1?(?1)an?1?1．

令bn?an?1，则b1??5,bn?1?(?1)bn． 因b1??5为奇数，bn也是奇数且只能为?1， 所

以

，

??5bn????1n?n?,即

2??4,n?1,an?? ?????????????????????3分

0,n?2.? (2)当a?3时，

a1?4,an?1?3an?1?1． ????????????????????????4分

下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数． 当n?1时，a1?4?4?1，命题成立；

设当n?k(k?N*)时，命题成立，则存在t?N*，使得ak?4t，

11

?ak?1?3ak?1?1?34t?1?1?27?(4?1)4(t?1)?1?27?(4m?1)?1?4(27m?7)，

4t?5其中，4m?44(t?1)?C1?4(t?1)?4r4t?4?r?(?1)rC4(?t?1)?4t?3?C44(t?1)?4，

?m?Z，?当n?k?1时，命题成立．

?由数学归纳法原理知命题对?n?N*成

立． ???????????????????10分

南通市2013届高三第一次调研测试

数学Ⅰ讲评建议

第1题 考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．

第2题 考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点． 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，

灵活应用等体积法计算点面距．

第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．

第5题 本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题

的转换．

第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分

引申．

第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．

法一 用性质．S9=9a5= -36，S13= 13a7= -104，于是a5= -4，a7= -8，等比中项为

?42．

法二 用基本量．S9=9a1+36d= -36，S13=13a1+78d= -104，解得a1=4，d= -2．下同

法一．

第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识．

法一 当输入x=1时，可输出x=15；当输入x=9时，可输出y=79．于是当输入x

的取值范围为[1，9]时，输出x的取值范围为[15，79]，所求概率为

法二 输出值为8x?7．由题意：8x?7≥55，故6≤x≤9． 第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识．

满足|AB?AC|?|BC|的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于

是BA?BC=BA=1．

279?553?．

79?158 12

第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数

应大于0．强调对数函数的单调性与底数a之间的关系．

[来源学科网]

第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义． f?(x)?f?(1)xf?(1)1e?f(0)?x?f?(1)?e?f(0)?1?f(0)?1． eef?(1)x1e?f(0)x?x2中，令x=0，则得f?(1)?e． e2 在方程f(x)? 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别． 第12题 本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及

有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．

10? S(t)=3sin(?t?)，求S(5)= -1.5即可．

32第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识． 圆心C(-1，0)到直线l：y=ax+3的距离为d?|3?a|1?a2?3，解得a>0或a

a第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问

题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．

3x?x2?6x?3x2?10x2?3x?1 法一 m?． ??6??x?1x2?3x?1x2?3x2?3x?1当且仅当，即x?2时m取得最小，此时点P的坐标为(2,3)． ?2x?1x?33x?3?y?2x??1y3?6y?2x?1??6??法二 m?．

x?1y?2x?1y?2当且仅当

y?2x?1?时m取得最小值．下略． x?1y?2第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲

评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．

第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正

余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin(A+B)=sinC，面积公式及等积变换等．

(2)法一：由C?π,设A?π??,B?π??,0?A,B?2π,知-π???π．

333333因a?2RsinA?sinA,b?2RsinB?sinB，

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故a2?b2?sin2A?sin2B?1?cos2A?1?cos2B

22=1?1?cos(2π?2?)?cos(2π?2?)??1?1cos2?．

?2?332??由-π???π,知-2π?2??2π,?1?cos2?≤1，故3?a2?b2≤3． 2423333法二：由正弦定理得：c?2RsinC?3．

2由余弦定理得：c2?a2?b2?2abcosC，故a2?b2?3?ab．

第17题 第18题 第19题

4因为a?0,b?0，所以a2?b2?34．

又ab≤a2?b2，故a2?b2≤3?a2?b2，得a2?b2≤32422．

因此，3?a2?b2≤342．

本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形

为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．

在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值

情况．

本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个

基本数列属C能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．

第(3)问中，若数列{an}为等差数列，则数列{kan}(k>0且k≠1)为等比数列；反之

若数列{an}为等比数列，则数列{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．

第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，q(其中m

bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m，p，q)；若不存在，说明理由．”那么，答案仍然只有唯一组解．此时，在解题时，只须添加当m≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同．

对于第(2)问，在得到关系式：(n?1)aan?1n?1?nan后，亦可将其变形为

a?n，nn?1并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{an}的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可．但需要说明n≥2．

考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的

第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分．

本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题

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的能力．讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养．

第（2）问，亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1)，与椭圆方程联立，消去一个变

量或x或y，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k1的关系，进而求出k1的值．

第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则

两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．

第20题

近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”． 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的

能力．

第（2）可另解为：

命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)≤f??x2??a成立”等价于

[来源学科网]

“?x1?[e,e2]，使f(x1)≤f??x?max?a”．

由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)1max?4?a，于是f??x?max?a?14．

故?x2x11?[e,e]，使f(x1)?lnx?ax1≤14，即?x1?[e,e2]，使a≥1?11lnx4x．

11所以当x?[e,e2]时，a≥?1lnx?14x?．

min记g(x)?1lnx?14x,x?[e,e]，则g?(x)??1x(lnx)2?1?4x?(lnx)224x2?4x2?(lnx)2．

因x?[e,e2]，故4x?[4e,4e2],(lnx)2?[1,4]，于是g?(x)?0,?x?[e,e2]恒成立． 所以，g(x)?1lnx?14x在[e,e2]上为减函数，

所以，g(x)min?111lne2?4e2?12?4e2．

所以，a≥12?14e2．

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