三角函数的诱导公式习题及答案解析

三角函数的诱导公式

1. 任意角 α 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？

2. 2k π ＋ α（ k ∈ Z）与 α的三角函数之间的关系是什么？

3. 你能求 sin750 和 sin930 的值吗？

4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为 00～ 3600 范围内的三角函数值 .其中锐角的三角函数是我们熟悉的， 而对于 900～ 3600 范围内的三角函数值， 能否转化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题 .

同名三角函数的诱导公式

思考：对于任意给定的一个角 α，角 π ＋α 的终边与角 α 的终边有什么关系？ 设角 α 的终边与单位圆交于点

P（ x ， y），则角 π＋ α 的终边与单位圆的交点坐标如何？

根据三角函数定义：

对比 sinα， cosα ， tanα的值， π ＋α 的三角函数与 α的三角函数有什么关系？

思考：对于任意给定的一个角 α，－ α 的终边与 α 的终边有什么关系？ 设角 α 的终边与单位圆交于点

P（ x ，y），则－ α 的终边与单位圆的交点坐标如何？

利用 π － α＝ π ＋ (－ α) ，结合公式二、三，你能得到什么结论？

公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了 的三角函数与 α 的三角函数之间的关系

2kπ ＋ α（ k∈ Z ），π ＋ α ，－ α ，π －α

2kπ ＋ α （k ∈ Z）， π ＋α ，－ α， π －α 的三角函数值，等于 α 的同名函数值，再放上将 α当作锐角时原函数值的符号

.即 函数同名，象限定号 .

利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：

例 3 求下列各三角函数的值：

1例 4 已知 cos(π＋ x) ＝ ，求下列各式的值：

3

（1） cos(2π －

（ 2） cos(π－ 例 5 化

异名三角函数的诱导公式

思考： 若α为一个任意给定的角，那么 的终边与角 α 的终边有什么对称关

2

系？

点 P1（ x ，y）关于直线 y=x 对称的点 P2 的坐标如何？ 设角 α 的终边与单位圆的交点为

P1（ x，y），则

2

的终边与单位圆的交点为

根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？

公式五

思 考 2：

2

与

2

有什么内在联系？

公式六

证明下列等式

P2（ y ，x ）

，

三角形中的三角函数问题

三角函数的化简求值

.

(A) 第一象限

(B) 第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

（A ）f(1)

三角函数的诱导公式练习

一、选择题（本大题共 有一项是符合题目要求的

12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选择中，只 .）

）

B． k 360 ＋ 103 （ k ∈Z） ） 360 － 257 （ k ∈Z） D．k

1 、与－ 463 终边相同的角可表示为（

A ．k 360 ＋ 436 （ k∈ Z） 2．、下列四个命题中可能成立的一个是（ C k 360 ＋ 257 （ k∈ Z）

1 1 2

且 A 、 B、

sin

cos 2

sin

0且 cos 1

sia cos

）

C、 tan 3、若 sin A 、

1 且 cos 4 5

，且

1

D 、

是第二象限时， tan

是第二象限角，则

C、

tan 的值为（

4

D、

3

4 33 B、

4

则 B、 2

3 4

4、若 sin A 、1 1、 tan 300 A 、 1

cos

2 ，

tan

cot 等于（

C、-1 ）

）

D 、-2

sin 450 的值为（

B、 1

3 3

C、

1 3

D 、

1 3

）

5、若 A 、B、 C 为△ ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ A 、 sin( B C ) C、 tan( B C )

sin A tan A

2) cos(

B、 cos(B C ) D、

cos A

cot( B

2) 等于

C ) cot A

（

）

D． sin2+cos2

6、 1 2 sin( A ． sin2－ cos2

B ． cos2－sin2 C． （sin2 － cos2）

， 则 7 、 sin α cos ＝α 1 ， 且 ＜ α ＜

8 4 2 （ ）

cosα － sin α 的 值 为

3

A ．

3

D．

B ．

2

3

2

3 C．

42 2

C、钝角三角形 ，则△ ABC 必是（

4

8、在△ ABC 中，若最大角的正弦值是

）

A、等边三角形

B 、直角三角形

）

D、锐角三角形

9、下列不等式中，不成立的是（ A 、

sin 140

B、

cos140

sin130 cos130

C、 tan130

tan140

D、 cot130

cot140

）

10、已知函数 f (x)

x

cos ，则下列等式成立的是（

2

B 、 f (2 D 、 f ( x)

A 、 f (2

x) f ( x) f ( x)

x) f ( x)

C 、 f ( x)

f ( x)

11、若 sin 、 cos 是关于 x 的方程

4x2 5

2mx m 0 的两个实根，则 m 值为（ ）

C、 m

A、 m

4 3

,0

B 、 m 1 1 5 D、 m 1 5

12

、 已 知 f ( x)

a s i n ( x

） ． 5

) b c o s x(

（) a, b, ,

为 非 零 实 数 ），

f (2011) 5 则 f (2012) （

A ． 1

B ．3 C D ．不能确定

二、填空题（本大题共

13、化简

4 个小题 ,每小题 5 分，共 20 分 .将答案填在题中横线上）

sin2 sin2

3cos

sin2 sin2

0 ，则 cos 2 cos

.

cos2 cos2

2 sin 的值为 3 sin

.

.

14、若 sin

15、 cos( 945 )

16、 tan1

tan 2 tan 3

三、解答题（本大题共 17、求值 sin

2

.

6 道小题，共 70 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤）

2

tan89

120 cos180 tan45 cos( 330 ) sin( 210 )

sin (

18、 化简：

2

) cos(

3

)

)

tan( 2 ) tan( ) cos (

.

19、已知 sin(

)

1 2

， 求 sin( 2

) tan(

) cos 的值 .

20、已知 sin

4

5

. 求 cos 和 tan 的值 .

21、（ 10 分）已知 α是第三角限的角，化简

1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

22、已知 sin(

) 1 ，求证 tan( 2

) tan 0

一、选择题（每小题

题号 答案

二、填空题（每小题

13、1.

4 分，共 48 分） 1 2 3 4 5 6 B

A

参考答案

7

8

9

10 11

B

C B C D

12 总 分

B

C B B A

4 分，共 16 分）

5

14、

11

2 2

(

sin

) 2 ( t an cot

3

15、

16、1

三、解答题（本大题共

17、提示： 原式

5 道小题，共 36 分 .解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤）

cos

cos ) cot (2

)

)

cos 3 (

1

sin 2

t an

( cos ( cos

) cot ) 3

sin

2

t an cos

18、提示：利用诱导公式，原式 19、提示：

sin

（ 1） 当 （ 2） 当

4 5

=2 角

在第三、四象限，

，

在第三象限，则 cos 在第四象限，则

cos

3

, tan 5 3

, tan 5

4

3 4 3

20、提示： 左边

sin cos 1 cos

)

cos sin 1 sin

sin sin

2

cos cos

2

sin

cos

右边

21、提示： 故等式成立

sin(

1 , 2 k

2

( k Z )

2 k

2

( k

Z )

tan( 2 ) tan tan 2( 2k

tan(

tan( 4k

)

2 tan

)

tan tan

2 tan

)

tan )

0,

tan

tan( 4k

tan( 2 ) tan 0

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