《岩土塑性理论》习题

《岩土塑性理论》习题

1. 证明： (1) (4)

?????J2??ijmnij???imnj (2)

?p??ij?13?ij (3)

23J2?ij?Smn??ij???imnj?13?ij?mn

?Sij (5)

?J3??ij?SikSkj? (6) J3?13SijSjkSki?S1S2S3

(7) J2?12SijSij??(S1S2?S2S3?S3S1)

2. 利用以下关系 ?k?p?23J2sin(????k) sin3????(33/2)J3/??ijJ23 ?k?2?(2?k)/3

计算一般应力?ij对主应力?k的导数??k3. 设

p0??ij0?ij/3?。

j0,

si32j0??i??i?j0?p0?ij,?ij0j0?si/p0均为常值,

p??ij?ij/3,

sij??ij?p?ij,

?ij?sij/p,????ijj0???2?ij??i?。试证明

skl0?skl?skl?????p?p0??p?????i????i?j1????3p??sij0?sij???pp0???j???

4. 设 I1(1) J2??1??2??32，I2??(?1?2??2?3??3?1)，I3??1?2?33。试证明：

(?ij??ij??o?ij??o?ij?(I1?3I2)/3 (2) J3?(2I1?9I1I2?27I3)/275. 证明：如果?ij(或?ij)的主应力(变)是?i(?i)，则当?ij??ij)时,?ij(?ij)

的主应力(变)为?i??i??o(?i??i??o)。

6. 证明：球应力(变)的增减不影响主应力(变)的方向。

7. 证明：偏应力(变)张量的主方向与一般应力(变)张量的主方向相同。

8. 对线弹性材料，试证明：(1) ?ij与?ij主方向相同；(2) 主应力与主应变、主应力增量与主应变增量同向。

9. 试证明：线弹性材料的Hook定律可以表示为?ijDijkl?(K?23G)?ij?kl?G(?ik?jl?Dijkl?kl或?ij?Cijkl?kl。其中

)?ij?kl?12G??il?jk) Cijkl?(19K?16G?li?kj

10．利用叠加原理推出轴对称条件下的Hook定律。

11．设主应力空间中直角坐标系?1??2??3投影到方向余弦为(l,m,n)?(l1,l2,l3)(li?0)平面上的非

???3?。试推导?i与?i?之间的关系。 直角坐标系为?1???212．某各向同性材料在双向主应力状态?1??2条件下进行周期为T的循环试验，峰值应力为

100kPa，初始屈服应力为10kPa。假定该材料的屈服遵从机动硬化模型，在?1～?2坐标系中屈服面为圆形。

(1)试确定初始屈服面以及T/4、3T/4、T时刻的后继屈服面的方程。 (2)绘出第一个周期T内?1随?1变化的示意图。

13．对于无粘性土，三维应力(?1??2??3)条件下的M-C破坏准则就是如下的松岗元(Mtsuoka.H)破坏准则： (I1I2?9I3)/(9I3)??f （I1??1??2??3，I2??1?2??2?3??3?1，I3??1?2?3）

（1）近似认为三轴压缩与挤长条件下土的有效内摩擦角相同，试确定上式中的破坏参数?f； （2）在规一化应力空间中的?平面上，绘出??300时的M-C及松岗元破坏准则，并比较之。

14．已知受力体内某点的应力状态为：?x?50Mpa,?y?0,?z?110Mpa,?xy?50Mpa,?yz??30Mpa,

?zx??80Mpa。试求：

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（1）过此点的平面x+3y+z=1上的法向应力?N、切向应力?N以及沿x、y、z轴方向的应力XN、

YN和ZN； （2）该点的主应力?i及应力不变量Ii、偏应力不变量Ji； （3）求该点的主方向，并作图示之；

（4）验证偏应力张量的主方向与主应力同向。

15．已知某变形体内的位移分布为：Ux?(2x?y)a,Uy?(2y?x)a,UZ??az。其中,a为保证物体

变形为小变形的微量。

（1） 试求变形体内任意点的?ij、?i及主方向、eij、?max、?s、??和??； （2） 根据以上计算结果对该变形体的变形状态进行说明。 16．基本资料见教材P88题3—12。

（1）确定Duncan—Chang模型中Et公式中的参数c?、??、Rf、k和n；

（2）假若用同种土做排水直剪试验(圆柱样)，作用在试样上的竖向起始应力?zo?200Kpa，侧向起

始应力?xo??yo?K0?z0，K0由Jaky公式K0?1?sin??确定，剪切过程中的泊松比按Daniel

?0.49公式计算???0?(?0??f)SL(?f，SL为应力水平)，试作出剪应力、侧向应力、竖向应

变与剪应变之间的关系曲线。

17．试简述岩土材料的变形、屈服和强度特性。 18．试简述屈服、加载和破坏的相互关系。 19．试简述?平面上屈服曲线的特点。 20．试简述增量塑性理论的主要内容。

21．试简述硬化规律的三种形式及各自的特点、适用范围。

22．什么是临界状态和临界状态线？试简述临界状态线的主要性质。 23．什么是Roscoe面？试简述Roscoe面的主要性质。 24．如何理解Roscoe面的以下两种说法：

（1）Roscoe面也称为材料的状态边界面；（2）Roscoe面是一个不完全屈服面。 25．试简述剑桥模型的主要内容，并做出评价。

26．设???(I1,J2,J3,H?)和Q?Q(I1,J2,J3,H?)分别为屈服函数和塑性势函数，并且令

??

??????I1ijij?I1???Q?I1????e????J2ij?J2???Q?J2??????J3ij?J3???Q?J3???QDijkle?A?I1??ij?B?J2??ij?C?J3??ij

?A?H?Qkl?Q??ij??I1ij??J2ij??J3ij?L?I1??ij?M?J2??????ijij?Nejkl?J3??ij Hkl DPijkl???Dijklkl Hk?l?ij?? H?A?Di?Q??klij??

klH ??K?2G/3 ??G?H?ijH Deijkl

（K、G分别为弹性体变模量和弹性剪切模量）

?Dijkld?kl?(Dijkl?Dijkl)d?klePeP???ij?kl??(?ik?jl??il?jk)tij?SimSmj?23J2?ij式中A为硬化模量，则增量形式的弹塑性本构关系可以用如下统一形式表示：

d?ij

43试证明：Hij H

?A(3??2?)?ij?2?BSij?2?Ctij??L(3??2?)?kl?2?MSkl?2?Ntkl Hkl?3AL(3??2?)?2B?(2MJ2?3NJ3)?2C?(3MJ3?NSikSkjSilSlj?NJ2)?A2

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