基本积分方法

§2 基本积分方法

一、换元积分法

?第一类换元积分法 换元积分法?第二类换元积分法?◆ 1．第一类换元积分法：

设f(u)，?(x)为连续函数，?(x)可导，且

?①

u??(x)f[?(x)]?'(x)dx?????????f(u)du?F(u)?C，则

?f(u)du?F(u)?C?F[?(x)]?C

常见的凑微分形式：

1f(ax?b)d(ax?b) a1② f(axn?b)dx?f(axn?b)d(axn?b)

na③ ?f(ex)exdx??f(ex)d(ex)

??f(ax?b)dx???1f(lnx)dx?f(lnx)d(lnx)

x⑤?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx)

④

???f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx) ⑦?f(tanx)secxdx??f(tanx)d(tanx)

⑥

2⑧

?f(arcsinx)1?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)

例2.1计算

?arctanxdx

x2(1?x2)解:令arctanx?t，dx?sec2tdt，则

?arctanxtsec2tt22dx?dt?t(csct?1)dt??tdcott? 22222x(1?x)tantsect???t2t2 =?tcott?cottdt?=?tcott?ln|sint|??C

22arctanx|x|1?ln?(arctanx)2?C。 =?x1?x22例2.2计算下列积分：

1?cosx（1）exln(1?ex)； （2）dx

1?cosx解：（1）exln(1?ex)?ln(1?ex)d(ex?1)

?????exxxx?ln(1?e)?(e?1)?(e?1)?dx?(e?1)ln(1?e)?e?C x1?e(1?cosx)21?cosx2?sin2x?2cosx（2）dx?dx?dx 21?cosx(1?cosx)(1?cosx)sinxdsinx2??2cotx?x??C ?2csc2xdx?dx?22sinxsinx

◆ 2．第二类换元积分法：

xx?x???????(t)单调、可导且??(t)?0，又f[?(t)]??(t)有原函数G(t)。则

?

f(x)dx???f[?(t)]?'(t)dt?G(t)?C?G[??1(x)]?C

第二类换元法中常用的变量代换：

① 三角代换：变根式积分 ? 三角有理式积分

注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。 ② 倒数代换x?：可消去分母中的变量x。

③ 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。

dx例2.3计算积分 xxx

1?e2?e3?e6

1t?解：令

xe6?t?x?6lnt,dx?6dtt

16633t?1??dt?(??)dtt1?t1?t21?t3?t2?tt3?6lnt?3ln|1?t|?ln(1?t2)?3arctant?C2xxx3?x?3ln|1?e6|?ln(1?e3)?3arctane6?C2dx例2.4计算积分。

2x?1?x原式????解：?dxx?1?x2x?sint?cost1sint?cost?cost?sintdt=?dt

sint?cost2sint?cost?11?t?ln|sint?cost|?C 2211?arcsinx?ln|x?1?x2|?C 22x?1例2.5计算积分dx

22xx?11解：令x?，则

t1?1x?111?ttdx?(?2dt)??dt??222t11xx?11?tt2t2?1?????11?t2dt??2d(1?t2)1?t2

=?arcsint?1?t?C?

2x2?11?arcsin?C xx二、分部积分法

分部积分公式：

◆分部积分法条件： u，v 具有连续导数。

??v要易于求出选取u，v 的原则：?

vdu比udv容易求出???udv?uv??vdu

??◆ 可用分部积分法求积分的类型：

?

?sinax?Pn(x)?cosaxdx,?eax?u(x)

dv

??lnx?Pn(x)?arctanxdx,?arccosx?dv

u(x)

??sinaxeax?dx

cosax?u，v 可任选

例2.6 计算积分xlnxdx。

?x2x21x2x2?lnx??xdx?lnx??C 解：原式=?lnxd22224arctanexdx 例2.7 计算积分

e2x??arctanex11??2xdexx?2xx解：dx??arctaned(e)??earctane???

22?e2xe2x(1?e2x)?1 ??(e?2xarctanex?ex?arctanex)?C。

2ln(1?x)例2.7设f(lnx)?，计算f(x)dx。

xln(1?et)t解：，设t?lnx，则x?e，f(t)?。 teln(1?ex)1x?x?xxf(x)dx=dx??ln(1?e)d(e)??eln(1?e)?dx xxe1?eex?xx)dx?x?(1?e?x)ln(1?ex)?C。 ??eln(1?e)?(1?x1?e

三、几种特殊类型的积分：

?????????

1．有理函数的积分 ? 部分分式之和的积分

对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：

Adx?Aln|x?a|?C x?aAd(x?a)?Adx?A?(2) ??(x?a)k(x?a)k?1?C (x?a)kPx?QP2q?pP2x?p2(3) dx?ln(x?px?q)?arctan?C

222x2?px?q4q?p4q?p(1)

??(4)

?(xPx?Q2Pt?(Q?k?px?q)dx??Pp)PpPt12dt?Pdt?(Q?)dt22k22k22k2(t?a)2(t?a)(t?a)??

p2p其中t?x?；dt=dx；a?q?。

42可以很容易地求出（4）中的第一个积分为

2t1。 dt??22k22k?1(t(t?a)(k?1)(t?a)而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式

?In?1?dt1t1t2n?11I??arctan?C。 ，其中：????I122n222n2aat?a2na2na(t?a)?

【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。

x?5dx。 2x?6x?13x?51(2x?6)?1612x?61dx?dx?dx?8dx 解：

2x2?6x?132x2?6x?13x2?6x?13(x?3)2?221x?3 =ln(x2?6x?13)?4arctan?C

22例2.9 计算下列积分

dx2x3?1（1）； （2） dx102100x(x?1)(x?1)11解：（1）令x?1?，则dx??2dx，于是

uu2x3?1u?131100原式=dx?u[2()?1](?)du??u95(3u3?6u2?6u?2)du 1002u(x?1)u例2.8 计算积分

??????????199398697196u?u?u?u?C 334997481361????C =?9998979633(x?1)49(x?1)97(x?1)48(x?1) =?（2）令x10?u，则du?10x9dx，于是 1du1u?1?u111?du?[?]du 原式=

10u(u?1)210u(u?1)210u(u?1)(1?u)2111111[??]du?(ln|u|?ln|u?1|?)?C =

10uu?1(1?u)210u?1????

2．三角函数有理式的积分 ?有理函数的积分

由sinx，cosx及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：

R(sinx,cosx)，积分R(sinx,cosx)dx称为三角函数有理式积分。

【解题方法】

① 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。

② 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。 常用积化和差公式：

?1sin?xcos?x?[sin(???)x?sin(???)x]

21sin?xsin?x?[cos(???)x?cos(???)x]

21cos?xcos?x?[cos(???)x?cos(???)x]

2倍角公式：

111sinxcosx?sin2x，sin2x?(1?cos2x)，cos2x?(1?cos2x)

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