初中中考数学压轴题及答案(精品)

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中考数学专题复习——压轴题

1.

已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

（1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

b4ac b2

（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 2a,4a ）

2

2. 如图，在Rt△ABC中， A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的

中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交

AC于

R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

H Q

C

3在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

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（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

P 图 3

B

D 图 2

B

图 1

4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积

等于

3

，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

. 4

5如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围

.

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6如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由

.

7.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

C A E F B

8.如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y

k

的图象上． x

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（1）求m，k的值；

（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

试求直线MN的函数表达式．

友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对

完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做

题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）

小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．

（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标

为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平 移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1， 则点P1的坐标为 ，点Q1的坐标为

．

9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax

2

x c(a 0)经过A，B，C三点． 3

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y

轴的正半轴上，且AB 1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到

矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物

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线y ax2 bx c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11.已知：如图14，抛物线y 交于点B，点C，直线y

323

x 3与x轴交于点A，点B，与直线y x b相44

3

x b与y轴交于点E． 4

（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

12.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C若

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C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:

(1) 求m，n的值

(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则

是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

`

11 的值CMCN

L`

13.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.

b4ac b2

（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 2a,4a ）

2

14.已知抛物线y 3ax2 2bx c，

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（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若a b 1，且当 1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1

时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

2

图①

P

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k1

与直线y x相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点x4k

左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双

x

k

曲线y 于点E，交BD于点C.

x

16.已知双曲线y

（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值

.

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压轴题答案

1. 解：（ 1）由已知得：c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y x2 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以

设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S c 3

解得

1 b c 0

111

AO BO (BO DF) OF EF DF222111

= 1 3 (3 4) 1 2 4 222

=

=9

（3）相似

如图， 222

所以BD BE 20, DE 20即： BD BE DE,所以 BDE是直角三角形

222

所以 AOB DBE 90 ,且

AOBO , BDBE2

所以 AOB DBE.

2 解：（1） A Rt ，AB 6，AC 8， BC 10．

点D为AB中点， BD

1

AB 3． 2

DHB A 90 ， B B．

△BHD∽△BAC， DHBDBD312 AC 8 ． ， DH ACBCBC105

（2） QR∥AB， QRC A 90．

C C， △RQC∽△ABC，

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RQQCy10 x

， ， ABBC610

3

x 6． 5

即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：

①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．

1 2 90 ， C 2 90 ， 1 C．

H Q

C

84QM4

cos 1 cosC ， ，

105QP5

1 3

x 6 42 5 ， x 18．

555

312

②当PQ RQ时， x 6 ，

55

x 6．

③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，

H

H

Q

C

Q

11

CR CE AC 2．

24QRBA

tanC ，

CRCA3

x 6156 ， x ．

228

1815

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

523解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

于是点R为EC的中点，

xAN∴ AM AN，即 ．

43ABAC

∴ AN＝

B

图 1

3

x． ……………2分 4

∴ S=S MNP S AMN

133

x x x2．（0＜x＜4） ……………3分 248

1

MN． 2

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ．

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由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

xMN

∴ AM MN，即 ．

45ABBC

5

x， 45

∴ OD x． …………………5分

8

∴ MN

过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD

5

x． 8

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BM QM．

BCAC

5

5 x

25x，AB BM MA 25x x 4． ∴ BM

24324

96

． 49

96

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

49

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC

∴ △AMO ∽ △ABP．

∴ AM AO 1． AM＝MB＝2． ABAP2∴ x＝

故以下分两种情况讨论：

B

3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．

8∴ 当x＝2时，y最大

P

图 3

323

2 . ……………………………………8分 82

P

② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

∴ PF x 4 x 2x 4． 又△PEF ∽ △ACB．

图 4

S PEF PF ∴ ．

S ABC AB

∴ S PEF

2

32

x 2 ． ……………………………………………… 9分 2

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y S MNP S PEF＝

32392

x x 2 x2 6x 6．……………………10分 828

2

929 8

当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．

88 3

8

时，满足2＜x＜4，y最大 2． ……………………11分 3

8

综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2． …………………………12分

3

∴ 当x

4 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60o

=

B(∵A(0,4),设AB的解析式为y kx 4,

所以 4 2,

解得k , 以直线AB

的解析式为y x 4 o

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60, ∴ΔAPD是等边三角形，

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°

1∴GD=BD=

2

,

337∴

,OH=OE+HE=OE+BG=2

2227

∴

,)

2(3)设OP=x,则由（2）可得

D(x,2

1x)若ΔOPD

x (2 x)

2224

解得：x

5

所以

P(

33

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6

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7解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H． ……………1分 ∵ AB∥CD， ∴ DG＝CH，DG∥CH．

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1．

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．

AB GH7 1

∴ AG＝BH＝＝3． ………2分

22

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， ∴ DG＝4．

A B E G H

F

1 7 4 ∴ S梯形ABCD 16． ………………………………………………3分 2

（2）∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

∴ ME＝NF，ME∥NF．

∴ 四边形MEFN为矩形．

∵ AB∥CD，AD＝BC， ∴ ∠A＝∠B．

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°， A B E G H F ∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF． ……………………4分 设AE＝x，则EF＝7－2x． ……………5分 ∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°， ∴ △MEA∽△DGA．

AEME∴ ．

AGDG

4

∴ ME＝x． …………………………………………………………6分

3∴ S矩形MEFN

48 7 49

ME EF x(7 2x) x ． ……………………8分

33 4 6

2

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77

时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为49．……………9分 436

（3）能． ……………………………………………………………………10分

4

由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝x．

3

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF．

4x21

即 7－2x．解，得 x ． ……………………………………………11分

310

2114

∴ EF＝7 2x 7 2 ＜4．

105

当x＝

∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN

14 196

．

525

2

8解：（1）由题意可知，m m 1 m 3 m 1 ．

解，得 m＝3． ………………………………3分

∴ A（3，4），B（6，2）；

∴ k＝4×3=12． ……………………………4分

（2）存在两种情况，如图：

①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1）．

∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，

∴ 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位， 再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2

由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2），

∴ N1点坐标为（0，4－2），即N1（0，2）； ………………………………5分 M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）． ………………………………6分

2

设直线M1N1的函数表达式为y k1x 2，把x＝3，y＝0代入，解得k1 ．

3

2

∴ 直线M1N1的函数表达式为y x 2． ……………………………………8分

3

②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2）．

∵ AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2， ∴ N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．

∴ 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．

∴ M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）． ………………………9分

2

设直线M2N2的函数表达式为y k2x 2，把x＝-3，y＝0代入，解得k2 ，

3

2

∴ 直线M2N2的函数表达式为y x 2．

3

22

所以，直线MN的函数表达式为y x 2或y x 2． ………………11分

33

（3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 9解：（1） 直线y x轴交于点A，与y轴交于点C．

A( 1，0)，C(0······································································································ 1分 ·

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点A，C都在抛物线上，

0 a ca

c c

抛物线的解析式为y

2··································································· 3分 x x ·

33

1， ·············································································································· 4分

顶点F 3

（2）存在 ································································································································ 5分

···························································································································· 7分

P ·1(0

···························································································································· 9分 P ·2(2

（3）存在 ······························································································································ 10分

理由： 解法一：

延长BC到点B ，使B C BC，连接B F交直线AC于点M，则点M就是所求的点． ··································································································· 11分 过点B 作B H AB于点H．

B点在抛物线y

20) xx B(3，

x

在Rt△

BOC中，tan OBC ，

3 OBC 30

，BC

在Rt△

BB H中，B H

1

BB

2

························································· 12分 BH H 6， OH

3， B ( 3， ·设直线B F的解析式为y kx

b

3k bk

解得

k b b

y

x·············································································································· 13分

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3 y x 37

M，

解得

7x y y

3M········· 14分 在直线AC上存在点，使得△

MBF的周长最小，此时M 7，． ·

解法二：

过点F作AC的垂线交y轴于点H，则点H为点F关于直线AC的对称点．连接BH交

AC于点M，则点M即为所求． ········································· 11分

过点F作FG y轴于点G，则OB∥FG，BC∥FH．

BOC FGH 90 ， BCO FHG HFG CBO

0)． 同方法一可求得B(3，

在Rt△

BOC中，tan OBC

x

， OBC 30，可求得GH GC GF为线段CH的垂直平分线，可证得△CFH为等边三角形，

AC垂直平分FH．

即点H为点F关于AC

的对称点． H 0，······················································ 12分

·

设直线BH的解析式为y kx b，由题意得

k 0 3k b

解得

b b

y

··············································································································· 13分

3 x 37 y

解得

M ， 7 y y 7

3 ． 1

在直线AC上存在点M，使得△

MBF的周长最小，此时M 7，7

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10解：（1）点E在y轴上 ··································································································· 1分 理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，

AB 1，BO， AO 2

sin AOB

1

， AOB 30 2

由题意可知： AOE 60

BOE AOB AOE 30 60 90

··················································································· 3分 点B在x轴上， 点E在y轴上． （2）过点D作DM x轴于点M

OD 1， DOM 30

在Rt△DOM中，DM

点D在第一象限，

1，OM 21 ····································································································· 5分 点D

的坐标为 2

由（1）知EO AO 2，点E在y轴的正半轴上

2) 点E的坐标为(0，

······································································································ 6分 点A

的坐标为( ·

抛物线y ax2 bx c经过点E，

c 2

1 2

由题意，将A(代入y ax bx 2中得

，D 2

8 3a 2 1a 9

解得 3 1

2 a b 42

8x 2 ································································ 9分

所求抛物线表达式为：y x2

99

（3）存在符合条件的点P，点Q． ··················································································· 10分

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理由如下： 矩形ABOC的面积 AB BO 以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为

由题意可知OB为此平行四边形一边， 又 OB

OB边上的高为2··············································································································· 11分

2) 依题意设点P的坐标为(m，

8x 2上 点P在抛物线y x2

998 m2 2 2

99

解得，m1 0，m2 P2 P2)，2 1(0，

以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

PQ∥OB，PQ OB ， 2)时， 当点P1的坐标为(0，

点Q的坐标分别为Q1(2)，Q2；

2 当点P2的坐标为 时，

点Q的坐标分别为Q3

2Q2 ，． ······················································· 14分 4 8 8 32

x 3中，令y 0 4

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 11解：（1）在y

3

x2 3 0

4

x1 2，x2 2

A( 2，0)，B(2，0) ·························································· 1

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又 点B在y

3

x b上 4

3

0 b

23b

2

33

BC的解析式为y x ··························································································· 2分

42

32

y x 3 x1 1 4

（2）由 ，得 9

33y1 y x 4 42

x2 2

································································ 4分

y2 0

9

0) C 1 ，B(2，

4

9

·············································································································· 5分 4

199

S△ABC 4 ······································································································· 6分

242

（3）过点N作NP MB于点P EO MB NP∥EO

△BNP∽△BEO ·············································································································· 7分 BNNP ·························································································································· 8分 BEEO AB 4，CD

由直线y

33 3 x 可得：E 0 42 2

35

，则BE 22

在△BEO中，BO 2，EO

62tNP

， NP t ····································································································· 9分

52216

S t (4 t)

25312

S t2 t(0 t 4) ·································································································· 10分

55312S (t 2)2 ············································································································ 11分

55

12

此抛物线开口向下， 当t 2时，S最大

5

12

当点M运动2秒时，△MNB的面积达到最大，最大为．

5

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12解：

(1)m=-5,n=-3 (2)y=

4

x+2 3

(3)是定值.

因为点D为∠ACB的平分线，所以可设点D到边AC,BC的距离均为h， 设△ABC AB边上的高为H, 则利用面积法可得：

CM hCN hMN H

222

（CM+CN）h=MN﹒H

CM CNMN

HhCM CN又 H=

MN

化简可得 (CM+CN)﹒故

MN1

CM CNh

111 CMCNh

c 3

13解：（ 1）由已知得： 解得

1 b c 0

c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0) 设对称轴与x轴的交点为F

所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S DFE

2

111

AO BO (BO DF) OF EF DF 222111

= 1 3 (3 4) 1 2 4 222

=

=9

（3）相似

如图，

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