4.1平面向量的概念及其线性运算(人教A版数学理2013高中复习方略

第四章一第一节

处世

?原文?一目之罗,不可以得鸟三 汉四刘安‘淮南子四说林训“

?微言大义?一个网眼的罗网是捕不到鸟的三比喻对贤人无礼,得不到贤者的支持,个人再能干也将一事无成三71一

第四章一平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节一平面向量的概念及其线性运算

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考纲点击 三年3考一高考指数:

内一容

知识要求

了解

(A)理解(B)掌握(C)

平面向量的相关概念?

平面向量的线性运算及其几何意义?

平面向量的线性运算的性质及其几何

意义?

考点梳理

1.向量的有关概念

(1)定义:既有一一一一一一又有一一一一一一的量叫做向量.

(2)表示方法:用一一一一一来表示向量.有向线段的长度表示

向量的一一一一,用箭头所指的方向表示向量的一一一一一.

用a,b,或用A B?,C D?来表示.

(3)模:向量的一一一叫做向量的模,记作|a|,|b|或|A B?|,|C D?|.

(1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写 真 或 假 )

①向量的大小是实数(一一)

②向量可以用有向线段表示(一一)

③向量就是有向线段(一一)

④向量A B?的长度和向量B A?的长度相等(一一)

(2)请写出物理中的三个向量.

2.特殊向量

(1)零向量:长度为一一一一一一的向量叫做零向量,记作0;零

向量的方向一一一一一一.

(2)单位向量:长度为一一一一一一的向量叫做单位向量.

(3)共线向量:方向相同或一一一一一的向量叫做共线向量,共

线向量也叫做一一一一一向量;规定:零向量与任何向量共线.

(4)相等向量:长度一一一且方向一一一的向量叫做相等向量.

(5)相反向量:长度一一一且方向一一一的向量叫做相反向量.

一(1)判断下列命题的真假:(请在括号中填写 真 或 假 )

①若a与b平行,则b与a方向相同或相反(一一)

②若a

与b平行同向,且|a|>|b|,则a>b(一一)

③|a|

=|b|与a二b的方向没有关系(一一)

(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向

量的终点所构成的图形是.

3.向量的加法与减法

向量

运算

定一义法则(或几何意义)运算律

加法

求两个向

量和的运

算

一一一一一一法则

一一一一一一法则

(1)交换律:

a+b=一一一一一一.

(2)结合律:

(a+b)+c

=一一一一一一.

减法

求a与b的

相反向量

-b的和的

运算叫做a

与b的差一一一一一一法则

一

(1)下列命题是否正确(请在括号中填 ? 或 ? )

①O A?-O B?=A B?(一一)

②A B?+B A?=0(一一)

③A C?-B D?+C D?-A B?=0(一一)

(2)若菱形A B C D的边长为2,则|A B?-C B?+C D?|=.

高中全程复习方略四数学(R J A 版四理科)

72

一向量进入数学的始端:向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起三18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a +b i ,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算三把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题三

4.

向量的数乘与共线向量定理(1

)向量的数乘①长度:|λa |=一一一一一一一

②方向

当λ>0时,λa 的方向与a 的方向一一一一一;当λ<0时,λa 的方向与a 的方向一一一一一,

当λ=0时,λa =一一一一一,

其方向是任意的.(2

)向量的数乘的运算律设λ,μ为实数,则①λ(μ

a )=一一一一一一一一一;②(λ+μ)

a =一一一一一一一;③λ(a +

b )=一一一一一一.(3

)共线向量定理向量a (a ?0

)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得一一一一一一一一一一一

.

(1)思考:在共线向量定理中,当a =0时,λ还唯一吗?

(2

)填空①8(a +c )+7(a -c )-c =

.

②

13[12

(2a )+8b -(4b +2b )]=.

③设两非零向量e 1,e 2不共线,且k (e 1+e 2)?(e 1+k e 2),则实数k 的值为

.

④点C 在线段A B 上,且A C ?

=35

A B ?

,则A C ?

=

C B ?

.

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平面向量的有关概念一

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1.

平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量二零向量等概念的理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.

2.

几个重要结论(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行具有传递性;(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量;(3

)平行向量与起点无关.?例1?已知下列命题:

①单位向量都相等②若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量

③两个有共同起点而长度相等的非零向量,

它们的终点必相同④由于0方向不确定,

故0不能与任意向量平行⑤如果a =b ,b =c ,则a =c

⑥如果|a |=|b |,则a 与b 的方向相同.其中不正确的命题是(请把不正确的命题的序号都填上).

?变式训练?给出下列命题:

(1

)两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.(2

)两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.(3)λa =0(λ为实数),则λ必为零.(4)λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线.其中错误命题的个数为

(一一)

(A )1一一一一(B )2一一一一(C )3一一一一(D )4

平面向量的线性运算一

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1.

平面向量的线性运算法则的应用三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则.

2.

两个重要结论(1)向量的中线公式:若P 为线段A B 中点,则O P ?

=12(O A

?

+O B ?

)(2

)向量加法的多边形法则A 1A 2?

+A 2A 3?

+A 3A 4?

+ +A n -1A n ?=A 1A n

?

当两个向量共线(平行)时,三角形法则同样适用.向量

加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的,但当两个向量共线(平行)时,平行四边形法则就不适用了.

?例2?在?A B C 中,(1)若D 是A B 边上一点,且A D ?=2D B ?,C D

?

=

13

C A ?

+λC B ?,

则λ=(一一)

(A )23一一一一一一一一一(B )

13(C )-13

(D )-23

(2)若O 是?A B C 所在平面内一点,D 为B C 边中点,且2O A ?

+O B ?

+O C ?

=0,

那么(一一)

(A )A O ?

=O D

?(B )A O ?=2O D

?

(C )A O ?

=3O D

?

(D )2A O ?

=O D

?

第四章一第一节

修身

?原文?居必择乡,游必就士三 ‘荀子四劝学“

?微言大义?居住要选择合适的地方,交友要接近贤德之人三73一

(3)若|A B?|=|A C?|=|A B?-A C?|=2,则|A B?+A C?|=

.

若(1)中的条件作如下

改变:若点D是A B边

延长线上一点且|B D?|

=|B A?|,若C D?=λC B?

+μC A?,则λ-μ的值

为.

共线向量定理的应用一

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1.共线向量定理及其应用

(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共

线求参数的值.

(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这

一结论结合待定系数法应用非常广泛.

2.证明三点共线的方法

若A B?=λA C?,则A二B二C三点共线.

?例3?已知a,b不共线,O A?=a,O B?=b,O C?=c,O D?=d,O E?=e,

设t?R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,

D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存

在,请说明理由.

?变式训练?(2012四武汉模拟)设e1与e2是两个不共线的非

零向量,若向量A B?=3e1-2e2,B C?=-2e1+4e2,C D?=-2e1

-4e2,试证明:A二C二D三点共线

.

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考题研析

以向量为背景的新定义问题

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?典例?(2011四山东高考)设A1二A2二A3二A4是平面直角坐标系中

两两不同的四点,若A1A3?=λA1A2?(λ?R),A1A4?=μA1A2?(μ

?R),且1λ+1μ=2,则称A3,A4调和分割点A1,A2,已知平

面上的点C,D调和分割点A,B则下面说法正确的是(一一)

(A)C可能是线段A B的中点

(B)D可能是线段A B的中点

(C)C,D可能同时在线段A B上

(D)C,D不可能同时在线段A B的延长线上

?解题指南?本题为信息题,由A1A3?=λA1A2?(λ?R),A1A4?=

μA1A2?(μ?R)知:A1,A2,A3,A4四点共线,且不重合.因为C,

D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,设A C?

=c A B?,A D?=dA B?,则1c+1d=2,然后逐项代入验证.

?规范解答?选D.由A1A3?=λA1A2?(λ?R),A1A4?=

μA1A2?(μ?R)知:四点A1,A2,A3,A4在同一条直线上,且不

重合.

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线

上,设A C?=cA B?,A D?=dA B?,则1c+1d=2,选项A中c=

1

2,此时d不存在,故选项A不正确;同理选项B也不正确;

选项C中,02,也不正确,故选D.

?阅卷人点拨?通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创

新点拨和备考建议:

创

新

点

拨

本题有以下创新点:

(1)命题背景新颖,本题为新定义题目,用新定义考查

阅读能力与知识迁移能力;

(2)考查内容创新:以共线向量为背景,结合不等式,

通过创新情境,考查化归与转化的数学思想方法和分

析问题二解决问题的能力.

备

考

建

议

(1)可通过特例二验证等方法理解新定义问题;

(2)化生为熟二化新为旧,设法把新定义问题转化为熟

悉的问题来解决;

(3) 按规则办事 ,新定义问题怎么规定,就怎么办.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h75l.html