第一章 矢量分析

第一章 矢量分析 1.1 标量 具有大小特征的量称为标量 1.2 矢量 A, A 1.2.1 矢量的表示 习惯上用黑体符号或在符号上加单向箭头表 示矢量，如矢量 A可记为 A 或是A。大小(又称 为模值)为1的矢量称为单位矢量，他没有量刚。 矢量的单位矢量用 ea表示，即 A ea A. 在直角坐标系中，矢量 A 可表示为A ex Ax ey Ay ez Az2014-6-20

(1.1)

第一章 矢量分析 矢量的模值为A Ax 2 Ay 2 Az 2

矢量 A 单位矢量 ea为ea A A ex Ax A ey Ay A ez Az A

A ex Ax ey Ay ez Az

ex cos ey cos ez cos (1.2)

Az

zA

Ay

x2014-6-20

Ax

y

图1.1 直角坐标系下的矢量

A

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第一章 矢量分析 1.2.2 矢量的代数运算 1 矢量加法 设矢量 B ex Bx ey By ez Bz ,则 A B为A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )(1.3)

矢量的加法满足交换律和结合律，即 (1.4) (a)交换律： A B B A (b)结合律： ( A B) C A (B C) (1.5)A B2014-6-20

A B

A B B

A B

A B

图1.2 矢量加减

第一章 矢量分析2 矢量减法 矢量 A 与矢量 B相加称为矢量 A与B 的差，记为 A B,即A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )

(1.6)

3 矢量的乘积1)矢量的数乘 设k为任意常数，则kA ea (kA) 2)矢量的标量积(标积或内积)

矢量 A 与矢量B 的标量积记为 A B,其大小等于 A 和 B 的模与它们之间夹角的余弦的乘积，即2014-6-20

A B A B cos AB

(1.7)

第一章 矢量分析0 180 式中 AB 是 A 和 B 之间较小的夹角，即 AB 两矢量的标量积满足交换律和分配律，即

(1 ) A B B A

( 1.8 )

(2) A ( B C) A B A C

( 1.9 )

但结合律不适用于标量积,因为 A B C 这样的表达式无意义。 在直角坐标系下

A B Ax Bx Ay By Az Bz

( 1.10 )

3)矢量的矢量积(矢积) 矢量 A与 B 的矢量积记为 A B,它是一个矢量，即A B en A B sin AB2014-6-20

( 1.11 )

第一章 矢量分析矢量积不满足交换律，即A B B A

1.12

矢量积满足分配律，即A ( B C) A B A C

1.131.14

矢量积不满足结合律，即A ( B C) ( A B) C 在直角坐标系下，ex A B Ax Bx2014-6-20

ey Ay By

ez Az Bz

1.15

第一章 矢量分析3)三个矢量乘积 三个矢量的乘积有两个，即三重标量积和三重矢量积。 (1)三重标量积公式：A (B C) B (C A) C ( A B)

1.16

式中 A , B 和 C 的次序满足循环交换律。

(2)三重矢量积公式：A (B C) B( A C) C( A B)

1.17

此式被称为“back-cab”规则

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Example 2-1 Prove the l

aw of cosines for a triangle Solution:Referring to Fig.2-7,the law of cosines states thatC A2 B 2 2 ABcos Considering the sides as vectors:that isC A B

Taking the dot product of C with itself, we have:

C C C ( A B) ( A B) A A B B 2 A B A B 2 A B cos AB2 2

2

CBB AB

AB 180 C A B 2 A B cos 180 2 2 2

C

OA

A B 2 A B cos 2014-6-20

2

2

A

Fig.2-7 Illustrating Example2-1

C A2 B2 2 AB cos

Review questions R2-1 Which of the following products of vectors do not make sense? Explain.(a)

A B C

(b) A B C

(c ) A B C

(d ) A B

( e) A a A

(f)

A B C

R2-2 Is ( A B)C equal to A( B C) ? R2-3 Does A B A C imply B C ? Explain. R2-4 Does A B A C imply

B C

? Explain.

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第一章 矢量分析1.3 标量场与矢量场 场的定义叙述为，若对于空间域Ω 上每一点都对应着 某个物理量的一个标量(数量)或是一个矢量，则称此空 间域确定了这个物理量的场。若所讨论的物理量是标量， 则称这个场为标量场；若所讨论的物理量是矢量，则称这 个场为矢量场。例如，若所研究的物理量是温度、压力、 密度、电位等时，这些物理量的状态可以用标量函数 A(x,y,z,t)来描绘；反之，当所研究的物理量时力、速度、 电场强度等时,这些物理量的状态可以用矢量函数 A (x,y,z,t) 来描绘。若一个场中的每一个点所对应的量与该点的位置 有关，还与时间有关，则称这种场为动态(时变)场。如 果场中的每一点所对应的量与时间无关，则称这种场为静 态场。 2014-6-20

第一章 矢量分析1.4.1 方向导数lP

方向导数

在实际应用中不仅需 要宏观上了解场在空 间的数值，还需要知 道场在不同方向上场 变化的情况。应用方 向性导数可以描述标 量场在空间某个方向 上变化的情况。2014-6-20

P

图1.4 方向导数

方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。

第一章 矢量分析方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一 方向上的变化率。例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数

定义为 l P

l

limP

( P ) ( P)Δl

Δl 0

(1.18)

1.4.2

梯度: 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯 度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一 个 矢量。

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图 标量场梯度的图示

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第一章 矢量分析在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为

grad ex ey ez x y z式中grad

是英文字母 gradient 的缩写。 若引入算符 ,它在直角坐标系中可表示为

(1.20)

ex ey ez x y z则梯度可表示为

(1.21) (1.22)

grad

1.4.3

方向导数与梯度的关系式： el l

(1.23)

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第一章 矢量分析1.4.4 梯度的基本公式 C 0

(C为常数) (C为常数)

(1.24) (1.25)

(C ) C

( ) ( ) 2

(1.26)(1.27) (1.28)

F ( ) F '( )

(1.29)

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Example Find the gradient of a scalar field f ( x, y, z) 6 x2 y3 e z at the point P(2,1,0). Solution: Since f(x,y,z) is given in rectangular coordinates, then f f f f ax a y az x y z 2 3 z 2 3 z 2 3 z 6 x y e ax 6 x y e a y 6 x y e az x y z 12 xy 3ax 18 x 2 y 2 a y e z az

At the given point P(2,1,0).the gradient of f(x,y,z) is f 24ax 72ay az

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第一章 矢量分析1.5 矢量场的通量、散度与高斯定理 1.5.1矢量场的通量 一个面元除了其大小以外，在空间还有一定的取向。如图1.5 所示，可以用一个矢量来表示面元。取一个与面元垂直的单位矢 量 en ,面元的大小为dS,则面元矢量为dS en dS

(1.30)

其中面元取向有两种情形 (1)对于一个开曲面，设此开曲面由一个 闭曲线围成如图1.5所示，则当开曲面上的 面元选定绕行方向后，沿绕行方向按右手 螺旋的大拇指方向就是 en 的方向；

图1.5 开曲面上的面元

(2)当 dS 是封闭曲面上的面元，则取为封闭面的外法向方向。若 位于矢量场 A 中，A 和dS 的标量积 A dS 便称为 A 穿过dS 的通量。2014-6-20

第一章 矢量分析将曲面S各面元上的通量 A dS 叠加即的穿过整个面元S的通量，记为 ,可见通量是一个标量。 S

A dS

(1.31)

通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量A 通过该有向曲

面 S 的通量。通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为

该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞(或汇)。闭合的有向曲面的方向 通常规定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通

过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。2014-6-20

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