2018年秋高中数学 章末综合测评2 推理与证明 新人教A版选修1-2

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊章末综合测评(二) 推理与证明

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x在R上是偶函数”的推理过程是( ) A．归纳推理 C．演绎推理

B．类比推理 D．非以上答案

2

C [根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]

2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )

【导学号：48662104】

A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF为中位线 D．EF∥BC

A [这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]

3．在△ABC中，tan A·tanB＞1，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不确定

A [∵tan A·tanB＞1，∴A，B只能都是锐角， ∴tan A＞0，tanB＞0,1－tan A·tanB＜0. tan A＋tan B∴tan (A＋B)＝＜0.

1－tan A·tan B∴A＋B是钝角．∴角C为锐角．故选A.] 4．下列推理正确的是( )

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝a＋a

xyD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz) D [(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．] 5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )

【导学号：48662105】

A．大于0 C．不小于0

B．小于0 D．不大于0

1

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊D [因为a＋b＋c＝0，

所以a＋b＋c＋2ab＋2ac＋2bc＝0， 所以ab＋bc＋ca＝－

2

2

2

a2＋b2＋c2

2

≤0.故选D.]

6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0； ②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A．0个 C．2个

2

2

2

2

2

2

B．1个 D．3个

B [若(a－b)＋(b－c)＋(c－a)＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，

c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]

7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )

【导学号：48662106】

①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A．4个 C．2个

B．3个 D．1个

C [类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]

8．观察下列各式：a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4，a＋b＝7，a＋b＝11，…，则a＋b＝( )

A．28 C．123

2

2

3

10

2

2

3

3

4

4

5

5

10

B．76 D．199

3

4

4

5

5

C [利用归纳法，a＋b＝1，a＋b＝3，a＋b＝4＝3＋1，a＋b＝4＋3＝7，a＋b＝7＋4＝11，a＋b＝11＋7＝18，a＋b＝18＋11＝29，a＋b＝29＋18＝47，a＋b＝47＋29＝76，a＋b＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]

9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )

【导学号：48662107】

A．sin (α＋β)＞sin α＋sin β B．sin (α＋β)＞cos α＋cos β C．cos (α＋β)＞sin α＋sin β D．cos (α＋β)＜cos α＋cos β

10

106

6

7

7

8

8

9

9

2

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊D [因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]

10．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )

A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n B [令n＝10时，验证即知选B.]

11．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差，即a2 018－5＝( )

*

图1

A．2023×2018 C．1012×2016

B．2023×2017 D．1012×2017

D [an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个． ∴an－5＝

n－

2

n＋

2 017×2 024

，∴a2 018－5＝＝2 017×1 012.]

2

2

12．如图2中(1)，在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D，则有AB＝BD·BC，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则

S2△ABC＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题( )

【导学号：48662108】

图2

A．是真命题

B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题 C．是假命题

D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题

A [由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连

3

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊结AE(图略)，则DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又因为AO⊥DE，所以AE11122

＝EO·ED，所以S△ABC＝(BC·EA)＝(BC·EO)·(BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选A.]

222

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

2

13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1) [“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即

“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．]

14．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a－b，当n＝2时，有(a－b)(a＋ab＋b)＝a－b，当n＝3时，有(a－b)(a＋ab＋ab＋b)＝a－b，当n∈N时，你能得到的结论是________.

【导学号：48662109】

(a－b)(a＋a2

2

3

2

2

3

4

4

*

2

2

2

2

3

3

nn－1

b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1 [根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a2

2

3

3

3

2

＋b)＝a－b，当n＝2时，有(a－b)(a＋ab＋b)＝a－b，当n＝3时，有(a－b)(a＋ab＋ab＋b)＝a－b，当n∈N时，左边第二个因式可知为a＋a应的表达式为(a－b)·(a＋ann－1

2

3

4

4

*

nn－1

b＋…＋abn－1＋bn，那么对

b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.]

15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．

故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]

16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱

4长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.

【导学号：48662110】

a2

4

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊a3

8

[解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.]

8

a3

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a，b>0，则lg (2)6＋10>23＋2. [证明] (1)当a，b>0时，有∴lg ∴lg a＋blg a＋lg b2≥2

；

a＋b2

≥ab，

a＋b2

≥lg ab，

a＋b1

lg a＋lg b≥lg ab＝. 222

(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)>(23＋2)， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．

18．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.

证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.

(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．

证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．

(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x＋2x＋5－m＝0无实根．

证明：假设方程x＋2x＋5－m＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，11222

解得－2＜m＜－，而关于x的方程x＋2x＋5－m＝0的判别式Δ＝4(m－4)，∵－2

221222

∴＜m＜4，∴Δ<0，即关于x的方程x＋2x＋5－m＝0无实根． 4

[解] (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．

(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程

2

2

2

2

2

2

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h6dh.html