2013届中考数学知识点检测试题13

初三专题复习：相似形

考点一、比例线段

1、比例线段的相关概念 2、比例的性质 （1）基本性质

①a：b=c：d?ad=bc ②a：b=b：c?b2?ac

（2）更比性质（交换比例的内项或外项） ab?cd?acca??bd（交换内项）

db?dc（交换外项）

ba （同时交换内项和外项）

ab?cd?ba?dc（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（

ab?cd?efab?cd?a?bb?c?dd

比

性

?ab5

???mn）等质

：

(b?d?f???n?0)?a?c?e???mb?d?f???n3、黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5?12AB?0.618AB

考点二、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念：

2、相似三角形的基本定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

用数学语言表述如下：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比

等于相似比的平方。

5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方 6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 中考链接： 一、选择题：

1、（2010 福建德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的

是（ ）

A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3

2．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）

A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 3．（2010吉林）如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则

AD的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．（2010河南）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③

ADAE?ABAC.其中正确的

有（ ） (A)3个 (B)2个 (C)1个 （D）0个

5．（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、

36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下

两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种

6．（2010 四川绵阳）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．

若AD = 3，BC = 9，则GO : BG =（ ）．

A．1 : 2 B．1 : 3 C．2 : 3 D．11 : 20 A O G B

7．（2010内蒙赤峰C）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则FC的值是 （ ）

CDD C

BC边上的点，8．（2010百色）如图，△ABC中，D、E分别为AC、AB∥DE，

CCF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF D的长为E（ ）

3333A. 32 B. 16 C. 10 D. 8

9、(2010年嘉兴) 10．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点

AF第8题

B

除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：

10、（2010江苏南通）若△ABC∽△DEF， △ABC与△DEF的相似比为

1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为 ． 【答案】1∶2

11、（2010云南昭通）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm和5cm。且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为______cm． 【答案】25

12、（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为 m． 【答案】9

13．（2010山东临沂） 如图，?1??2，添加一个条件使得?ADE∽

（第10题）

1MN＝

1AC＋

1BC；③MN≤1AB，其中

4

?ACB .

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【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,

ADAB?AEACAD12ECB（第17题等

14．（2010福建南平）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的1

点，DE∥BC，且AD=AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为

3__________.

A D B

E C

第17题

1

【答案】:

3

15．（2010四川达州） 如图7，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）.

①∠A+∠B=90° ②AB2③

ACAB?CDBD?AC?BC?AD?BD

22

④CD2图

【答案】①②④

16、（2010宜宾）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D.则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）

DB

17、（2010茂名）14．如图，已知△OAB与△OA1B1是相似比为1∶2的位似图形，

点O是位似中心，若△OAB内的点P(x，y)与△OA1B1内的 点P1是一对对应点，则点P1的坐标是 ．

CAy A O B1 B x A1

答案：（-2x,-2y）

18．（2010陕西西安）如图，在?ABC中，D是AB边上一点，连接CD，

要使?ADC与

?ABC相似，应添加的条件是 。

（只需写出一个条件即可）

AD【答案】∠ACD=∠B（∠ADC=∠ACB或

AC?ACAB）

三、解答题：

19、1．（2010江苏南京）（8分）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。

（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足

的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。 已知：如图， 。

试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.

【答案】

25．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的

边长为1，△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2) P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在

这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

B

P1 A

P2 P3 C

E

D P5

F

P4

【答案】解：(1) △ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得

DE?42AB?25，AC?5，BC=5 ；

，DF?ACDF??22BCEF?，EF?252210．

∵

ABDE，

∴ △ABC∽△DEF． (2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．

B

D

P1 P5

A

P2 F

P3 P4

C

E

(第22题)

△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．

20．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD中，过点BC，垂足为E，

连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC (2)

若AB＝4,AD＝3

3,AE＝3,求AF的长.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC AB∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形

A作AE⊥

∴AD∥BC CD=AB=4

又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD 在Rt△ADE中，DE= ∵△ADF∽△DEC ∴

ADDE?AFCDAD2?AE2?(33)?322?6

∴

336?AF4 AF=23

21．（2010四川攀枝花）如图9，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连结EF．（1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；（2）若△ABD的面积是6．求四边形BDFE的面积

A E B D F 图C （1）证明： ∵DC=AC ∴△ACD为等腰三角形

∵CF平分∠ACD ∴F为AD的中点? ∵E为AB的中点 ∴EF为△ABD的中位线 ∴EF∥BC?????3分 （2）由（1）得EF∥BC ∴EF=1

BD2 ∴Ｓ△AEF：Ｓ△ABD＝１：４

∴Ｓ四边形BDEF：Ｓ△ABD = 3：4

∵Ｓ△ABD＝６ ∴Ｓ四边形BDEF＝9?

2由于∠BAC是锐角，则∠BAC＜90°＜∠CAD， 不可能有△ACD∽△ABC. 因此，这样的点D不存在。 综上所述，这样的点D有一个。

22．（2010 四川南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED．

（2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

A A M D F B C

E F

D B

C

E

【答案】（1）证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°． ∵ CE是外角平分线， ∴ ∠ACE＝60°． ∴ ∠BAC＝∠ACE． 又∵ ∠ADB＝∠CDE， ∴ △ABD∽△CED．

（2）解：作BM⊥AC于点M，AC＝AB＝6． ∴ AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝33．

∵ AD＝2CD，∴ CD＝2，AD＝4，MD＝1． 在Rt△BDM中，BD＝BM2?MD2＝27．

由（1）△ABD∽△CED得，BDAD27ED?CD，ED?2，

∴ ED＝7，∴ BE＝BD＋ED＝37．

23．（2010 山东滨州）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．

【答案】解： (1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE

(2)①证△ABC∽△ADE． ∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC， 即∠BAC=∠DAE． 又∵∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE ②证△ABD∽△ACE．

AB∵△ABC∽△ADE，∴AD?ACAE

又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE

24．（2010湖北武汉）已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．

（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求（2）如图2，当OA=OB，

ADAO14APPC的值；

=时，求tan∠BPC；

n（3）如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶2值．

时，直接写出tan∠BPC的

AAADPPDPDBCOBCOBCO图 1

图 2

图

【答案】（1）过C作CE∥OA交BD于E，证△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再证△ECP∽△DAP得

2211APPC?ADCE?2； （2）过C作CE

∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x，证△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再证△ECP∽△DAP得

2213PDPE?ADCE?23；由勾股定理可知

BD=5x，DE=x，则

25PDDE?PDCOAO?12?23，可得PD=AD=x，则∠BPC=∠DPA=∠A，

nntan∠BPC=tan∠A=

； (3)．

26．（2010黑龙江绥化）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°.

当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证△PME∽△PNF，得出PN=3PM.（不需证明）

2当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、

图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选其一给予证明.

【答案】解：如图2，如图3中都有结论：PN＝6PM???????????2分

选如图2： 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点

F

∴四边形BFPE是矩形 ∴∠EPF＝90o， ∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90o 可

知

∠EPM＝

∠FPN ∴△PFN∽△PEM ????????2分

∴

PF PE＝

PN ??????????????????????1分 PM又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30o，∠C＝60o ∴PF＝

3 2

PC，PE＝

1 2

PA?????????????????1分 ∴

PN PM＝

PF PE＝

PA3PC ?????????????????1分

∵PC＝

PN2PA ∴ ＝

PM6 即：PN＝6

PM ??????1分

若选如图3，其证明过程同上（其他方法如果正确，可参照给分）

27．（盐城）图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O

点都在正方形的顶点上．

（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；

（2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90?，画出旋转后得到的△

A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．

A O B

C

△ABC与△A?B?C?是位似图形，28． 如图，且位似比是1:2，若AB=2cm，

则A?B?? cm，

并在图中画出位似中心O．

BAC′ C ′ A ′ B 第11题图

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