2017-2018学年人教A版数学必修五课时达标检测八 等差数列的性质

课时达标检测（八） 等差数列的性质

一、选择题

1．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10等于( ) A．3 C．5

B．4 D．12

解析：选B 在等差数列中，a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10， ∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6(a4＋a10)＝24， ∴a4＋a10＝4.

2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9等于( ) A．39 C．19.5

B．20 D．33

解析：选D 由等差数列的性质，得

a1＋a4＋a7＝3a4＝45， a2＋a5＋a8＝3a5＝39， a3＋a6＋a9＝3a6.

又3a5×2＝3a4＋3a6，

解得3a6＝33，即a3＋a6＋a9＝33.

3．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( ) A．0 C．100

B．37 D．－37

解析：选C 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1

＝a1＋b1＝25＋75＝100，

c2＝a2＋b2＝100，

∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100.

4．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x＋(a4＋a6)x＋10＝0( ) A．无实根

C．有两个不等实根

B．有两个相等实根 D．不能确定有无实根

2

解析：选A 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5， 即3a5＝9，

∴a5＝3，方程为x＋6x＋10＝0， 无实数解．

5．下列命题中正确的是( )

A．若a，b，c成等差数列，则a，b，c成等差数列

2

2

2

2

B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则222成等差数列 解析：选C ∵a，b，c成等差数列， ∴2b＝a＋c，

∴2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， ∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列． 二、填空题

6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．

解析：不妨设角A＝120°，c

a,b,cb2＋b－2－b＋

于是cos 120°＝

2bb－

解得b＝10，c＝6，

1

所以S＝bcsin 120°＝153.

2答案：153

2

1＝－，

2

?7．已知数列{an}满足a1＝1，若点?，解析：由题设可得－＋1＝0，

n n＋1即

anan＋1?

?在直线x－y＋1＝0上，则an＝________.

?nn＋1?

anan＋1

an＋1an－＝1， n＋1n?an??n?

所以数列??是以1为公差的等差数列，且首项为1， 故通项公式＝n，所以an＝n. 答案：n

8．某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．

解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4千米时，每增加1 千米，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4千米处的车费，公差d＝1.2.那么当出租车行至14千米处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．

2

ann2

答案：23.2 三、解答题

9．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数． 解：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由题意可得

???a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝25，??

a－2d2

＋a－d2

＋a2

＋

a＋d2

＋a＋2d2

＝165，

解得?

??

a＝5，?

?d＝±2.

所以这5个数为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.

10．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．?b－a＝c－b＝d－c，解：法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得?

?a＋b＋c＋d＝26，

??bc＝40，

?a＝?解之得?2，

?b＝5，

c＝8，

或?

??b＝8，?d＝11，

a＝11，

?c＝5，?d＝2，

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，???

a1＋a1＋d＋a1＋2d＋

a1＋3d＝26，

?a

?

1＋da1＋2d＝40，

化简，得???4a1＋6d＝26，

??a23a2

1＋1d＋2d＝40，

解得???

a1＝2，

?或??

a1＝11，

?

d＝3，

???

d＝－3，

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，

得???a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，??

a－da＋d＝40，

?化简，得???4a＝26，?a＝13

，?a2－d2

＝

?

40，

?2解得??d＝±3

2.

∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

得

11．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为

85

，求这5个数． 9

解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有

a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，???8522222

a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝，?9?

5a＝5，??∴?2852

5a＋10d＝.?9?

2∴a＝1，d＝±. 3

d＝时，这5个数分别是－，，1，，； d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.

11577511

综上，5个数分别为－，，1，，或，，1，，－.

33333333

12．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．

(1)求b1和b2； (2)求{bn}的通项公式；

(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？

解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．

(1)∵a1＝3，d＝－5，

∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.

数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…， ∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.

(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am， 则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，

∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n， 即{bn}的通项公式为bn＝13－20n. (3)b503＝13－20×503＝－10 047，

2

31373

1353

573313

2313

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