2003-2011年数三真题

2003年考研数学（三）真题

一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是_____. x若x?0,??0,（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则

?0,其他，I???f(x)g(y?x)dxdy=_______.

D（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵

T A?E???， B?E?1??T， a其中A的逆矩阵为B，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为________. （6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样

1n2本，则当n??时，Yn??Xi依概率收敛于______.

ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) x(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. [ ] （3）设pn??an?an2，qn?an?an2与

，n?1,2,?，则下列命题正确的是

?(A) 若

?an?1n条件收敛，则

?pn?1?n?qn?1n都收敛.

(B) 若

?an?1??n绝对收敛，则

?pn?1??n与

?qn?1??n都收敛.

(C) 若

?an?1?n条件收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n敛散性都不定.

(D) 若

?an?1n绝对收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n敛散性都不定. [ ]

?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.

(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ ] （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，

则?1,?2,?,?s线性无关.

(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(C) (D)

?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.

(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设

f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)212试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.

四 、（本题满分8分）

?2f?2f12g(x,y)?f[xy,(x?y2)],??1设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又222?u?v?2g?2g求2?. 2?x?y五、（本题满分8分） 计算二重积分 I??(xe??D2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

22其中积分区域D={(x,y)x?y??}.

六、（本题满分9分）

x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.

2nn?1?n七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件： f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；

(2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在

??(0,3)，使f?(?)?0.

九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中

?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型

22f(x1,x2,x3)?XTAX?ax12?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，

中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.

(1) 求a,b的值；

(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为

?1?32,若x?[1,8], f(x)??3x

其他;??0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

2??1 X~??0.30.7??，

??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

2004年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limxx?0sinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______. e?a(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则

?2f??u?v.

11?x2xe,??x??22，则2f(x?1)dx?(3) 设f(x)???121??1,x?2?.

(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 . (5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和

Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3). [ ]

(A) (?1 , 0).

1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则

x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：

(1) 若

n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.

n?1?n?1?? (2) 若

n?1?un收敛，则?un?1000收敛.

?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.

n??unn?1 (4) 若

n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.

n?1n?1???则以上命题中正确的是

(A) (1) (2). (B) (2) (3).

(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]

(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是

(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.

[ D ]

(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有

(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ]

*(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

[ ]

(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,

若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ ]

2三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

1cos2x). 求lim(2?2x?0sinxx

(16) (本题满分8分)

求

222222，其中D是由圆和(x?y?y)d?x?y?4(x?1)?y?1所围成的 ??D平面区域(如图).

(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足

?a证明：

xf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.

aaabxbb?axf(x)dx??xg(x)dx.

ab(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数

x4x6x8????(???x???) 2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：

(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)

设α1?(1,2,0), α2?(1,α?2,?3α), α3?(?1,?b?2,α?2b)T, β?(1,3,?3), 试讨论当a,b为何值时,

(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n阶矩阵

TTT

?1b?b????b1?b? A?? . ???????bb?1???(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得PAP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)

设A，B为两个随机事件,且P(A)??1111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，?1,?1,B发生， Y?? X???0，A不发生，?0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X?Y的概率分布. (23) (本题满分13分)

设随机变量X的分布函数为

22??α?β??,x?α， F(x,α,β)??1??x???0，x?α，?其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

2005年考研数学（三）真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限limxsinx??2x= . 2x?1（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为______. （3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)?________. （4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a=_____.

（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则

P{Y?2}=______.

（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ， b= .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x?9x?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设I1?其中

32??cosDx2?y2d?,I2???cos(x2?y2)d?,I3???cos(x2?y2)2d?,

DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则

(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.

(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ ] （9）设an?0,n?1,2,?,若

??an?1?n发散，

?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是

(A)

?an?1?2n?1收敛，

?an?1?2n发散 . （B）

?an?1?2n收敛，

?an?1?2n?1发散.

(C)

?(an?12n?1?a2n)收敛. (D)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. [ ]

（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是

(A) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.

??22（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.

??22[ ]

（11）以下四个命题中，正确的是

(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.

(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ ] （12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

*T*T(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，

A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

22（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?)，其中?,?均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是

1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ ]

4444(A) (20?三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?).

1?e?xx（16）（本题满分8分）

22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. 22xy?x?y（17）（本题满分9分） 计算二重积分

??xD2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

（18）（本题满分9分） 求幂级数

?(2n?1?1)xn?1?12n在区间(-1,1)内的和函数S(x).

（19）（本题满分8分）

设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01（20）（本题满分13分）

已知齐次线性方程组

?x1?2x2?3x3?0,? （i） ?2x1?3x2?5x3?0,

?x?x?ax?0,23?1和

（ii） ?x1?bx2?cx3?0, 22x?bx?(c?1)x?0,23?1?同解，求a,b, c的值.

（21）（本题满分13分）

设D???AT?CTC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?B??Em(I) 计算PDP，其中P???o?A?1C??； En?T?1（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CAC是否为正定矩阵，并证明你的结论.

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)??

0,其他.?求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

( III ) P{Y?11X?}. 22（23）（本题满分13分）

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（III）若c(Y1?Yn)2是?的无偏估计量，求常数c.

2

2006年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim???1?n?n?1??n???n??______.

fx（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??e??，f?2??1，则f????2??____.（3）设函数f(u)可微,且f??0??122,则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分2dz?1,2??_____.

?21?（4）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? .

?12??（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则

P?max?X,Y??1??_______.

（6）设总体X的概率密度为f?x??21?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X的简2单随机样本，其样本方差为S，则ES2?____.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]

（8）设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0f?h2?h2?1，则

(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在

(C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ ] （9）若级数

?an?1?n收敛，则级数

(A)

?an?1??n收敛 . （B）

?(?1)n?1??nan收敛.

(C)

?anan?1收敛. (D)

n?1an?an?1收敛. [ ] ?2n?1（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常

数，则该方程的通解是

（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.

（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ ] （11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. [ ] （12）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关.

(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. [ ] （13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2

?110???列得C，记P??010?，则

?001????1?1（Ａ）C?PAP. （Ｂ）C?PAP.

TT（Ｃ）C?PAP. （Ｄ）C?PAP. ［ ］

2（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2)，且

P?X??1?1??P?Y??2?1?

则必有 (A) (C)

?1??2 (B) ?1??2

?1??2 (D) ?1??2 [ ]

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

设f?x,y??yy?,x?0,y?0,求 1?xyarctanxy???1?ysin?x(Ⅰ) g?x??limf?x,y?；

g?x?. (Ⅱ) lim?x?0（16）（本题满分7分） 计算二重积分

??Dy2?xydxdy，其中D是由直线y?x,y?1,x?0所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M?1,0?，其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）

8时，确定a的值. 3?1?x2n?1?求幂级数?的收敛域及和函数s(x). n2n?1??n?1?n?1（20）（本题满分13分）

设

4

维向量组?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,

TTTT?4??4,4,4?,4a?，问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求

其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是

TT

线性方程组Ax?0的两个解.

(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??；

3??（Ⅲ）求A及?A?E?，其中E为3阶单位矩阵.

2??（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

6?1?2,?1?x?0??1fX?x???,0?x?2，

?4?0,　其他??令Y?X,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

2(Ⅰ)求Y的概率密度fY?y?； (Ⅱ)Cov(X,Y)；

(Ⅲ)F???1?,4?. ?2?（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

??,0?x?1,?f?x;????1??,1?x?2,

?0,其他,?其中?是未知参数?0???1?，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数. （Ⅰ）求?的矩估计； （Ⅱ）求?的最大似然估计

2007年考研数学（三）真题

一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当x?0?时，与x等价的无穷小量是（ ）

A.1?ex B.ln(1?x ) C.1?x?1 D.1?cosx （2） 设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： ( )

f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 B.若lim存在，则f(0)?0

x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)C..若lim存在，则f'(0)存在 D.若lim存在，则f'(0)存在

x?0x?0xxA.若lim（3） 如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是：（ ）

?x0f(t)dt,53A..F(3)??F(?2) B.F(3)?F(2)

4435C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)??F(?2)

44（4） 设函数f(x,y)连续，则二次积分

???2dx?1sinxf(x,y)dy等于（ ）

?A. C.?1010dy?2???arcsinxf(x,y)dx B.

f(x,y)dx D.??10dy???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx

f(x,y)dx

?dy????arcsiny10dy??2（5） 设某商品的需求函数为Q?160?2?，其中Q，?分别表示需要量和价格，如果该

商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）

A. 10 B. 20 C.30 D.40

（6） 曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（ ） xA. 0 B.1 C.2 D.3

( )

（7）设向量组线性无关

（A）?1??2,?2??1,?3??1 (B)?2??1,?2??3,?3??1 （C）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (D)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1

?2?1?1??100?????（8）设矩阵A???12?1?，B??010?则A与B（ ）

??1?12??000?????

（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2 (C)3p2(1?p)2 (D)6p2(1?p)2

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示X, Y的概率密度，则在Y?y条件下，X的条件概率密度fXY(xy)为( ) （A）fX(x) (B)fy(y) (C)fx(x)fy(y) (D)

fx(x) fy(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上

x3?x2?1(sinx?cosx)?________. （11）limx??2x?x3（12）设函数y?1，则y(n)(0)?_________. 2x?3（13）设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则

yxxy?z?z?y?________. ?x?y（14）微分方程

dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为__________. ?0?0（15）设距阵A???0??0100??010?,则A3的秩为_______.

001??000?1的概率为________. 2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数

?x2.? f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分

Dx?y?1.1?x?y?2.

??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2

?（19）（本题满分11分）

设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，

f(b)＝g(b)，证明：

（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)； （Ⅱ）存在??(a,b),使得f''(?)?g''(?). （20）（本题满分10分）

将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间. 2x?3x?4(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0?2x?4x?ax3?02?1与方程x1?2x2?x3?a?1（22）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征向量.记B?A?4A?E，其中E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B.

（23）（本题满分11分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

53(1)

(2)有公共解，求a的值及所有公共解?2?x?y,0?x?1,0?y?1. f(x,y)???0,其他

2008年考研数学（三）真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

?（1）设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数g(x)?

x0f(t)dtx的（ ）

?A?跳跃间断点. ?C?无穷间断点.

?B?可去间断点. ?D?振荡间断点.

（2）曲线段方程为y?f(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分

?

a0aft(x)dx等于（ ）

?B?梯形ABCD面积.

?A?曲边梯形ABCD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.

x2?y4?D?三角形ACD面积.

（3）已知f(x,y)?e，则

（A）fx?(0,0)，fy?(0,0)都存在 （B）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)存在 （C）fx?(0,0)不存在，fy?(0,0)不存在 （D）fx?(0,0)，fy?(0,0)都不存在 （4）设函数f连续，若f(u,v)?（ ）

（A）vf(u) （B）

2Duv??f(x2?y2)x2?y2dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则

?F??uvvf(u2) （C）vf(u) （D）f(u) uu3（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若A?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

?B?E?A不可逆，E?A可逆.

?D?E?A可逆，E?A不可逆.

（6）设A???12??则在实数域上域与A合同矩阵为（ ） ?21?

??21??A???.

1?2??

?2?1??B???.

?12???1?2??.

??21??21?C????.

?12?

?D??

（7）随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?，则Z?max?X,Y?分布函数为（ ）

?A? F2?x?.

2 .

?B? F?x?F?y?.

?C? 1???1?F?x????D? ??1?F?x?????1?F?y???.

（8）随机变量X~N?0,1?，Y~N?1,4?且相关系数?XY?1，则（ ）

?A? P?Y??2X?1??1. ?C?P?Y??2X?1??1.

?B?P?Y?2X?1??1. ?D?P?Y?2X?1??1.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

?x2?1,x?c?（9）设函数f(x)??2在(??,??)内连续，则c? .

x?c?x,?21x?x3（10）设f(x?)?，则?2x1?x42f(x)dx?______.

2(x???y)dxdy??????????????????. D22（11）设D?{(x,y)x?y?1}，则

（12）微分方程xy??y?0满足条件y(1)?1的解y??????????????????.

?1（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4A?E?_____.

2（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX??????????????????.

??三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）

求极限limx?01sinxln. x2x22(16) （本题满分10分）

设z?z(x,y)是由方程x?y?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时.

（1）求dz （2）记u?x,y???u1??z?z?，求. ????xx?y??x?y?(17) （本题满分11分）

计算

??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}.

D(18) （本题满分10分）

设f?x?是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数t，有（2）证明G?x???t?2tf?x?dx??f?x?dx；

02?x0?2f?t??t?2f?s?ds?dt是周期为2的周期函数．

?t????(19) （本题满分10分）

设银行存款的年利率为r?0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）

?2a1??2?a2a?T?，设矩阵A??现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x1,?,xn?，

???1???2a2a??n?nB??1,0,?,0?，

（1）求证A??n?1?a;

n（2）a为何值，方程组有唯一解;

（3）a为何值，方程组有无穷多解. （21）（本题满分10分）

设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量a3满足

Aa3?a2?a3，

证明（1）a1,a2,a3线性无关；

（2）令P??a1,a2,a3?，求PAP.

?1（22）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P?X?i??1?i??1,0,1?，Y的概率3?10?y?1密度为fY?y???，记Z?X?Y

?0其它（1）求P?Z???1?X?0?； 2?（2）求Z的概率密度．

（23） （本题满分11分）

1nX1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.记X??Xi，

ni?122121n2T?X?S. ，S?(X?X)?inn?1i?12（1）证 T是?2的无偏估计量. （2）当??0,??1时 ，求DT.

2009年考研数学（三）真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为

sin?x(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则

11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?.

66xsintdt?lnx成立的x的范围是 （3）使不等式?1t(A)a?1，b??(A)(0,1).

(B)(1,?). (C)(,?).

22?(D)(?,??).

（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) 1 O -1 x-2 则函数F?x??1 2 3 x

?f?t?dt的图形为

0f(x)1 O -1 f(x)1 -2 (A)

1 2 3 x (B)

-2 -1 O 1 2 3 x

f(x)1 O 1 2 3 f(x)1 -1 (C)

x

(D)

-2 -1 O 1 2 3 x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A?,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A|?2,|B|?3，则分块矩

?OA?阵??的伴随矩阵为

BO???O3B*?(A)?*?.

O??2A?O3A*?(C)?* ?.

O??2B

?O (B)?*?3A?O (D)?*?3B2B*??. O?2A*??. O?

?100???TT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP??010?，

?002???若P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QAQ为

T?210?

??(A)?110?.

?002????200???(C)?010?. ?002???

?110?

??

(B)?120?.

?002????100??? (D)?020?.

?002???

（7）设事件A与事件B互不相容，则

(A)P(AB)?0.

(B)P(AB)?P(A)P(B).

(D)P(A?B)?1.

(C)P(A)?1?P(B).

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为

P{Y?0}?P{Y?1}?1，记Fz(Z)为随机变量Z?XY的分布函数，则函数Fz(Z)2

的间断点个数为 (A) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）lime?ecosx1?x?12x?03? .

（10）设z?(x?ey)x，则

?z? . ?x(1,0)en?(?1)nn（11）幂级数?x的收敛半径为 . 2nn?1?（12）设某产品的需求函数为Q?Q(P),其对应价格P的弹性?p?0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.

?300???（13）设??(1,1,1)T,??(1,0,k)T，若矩阵??T相似于?000?，则k? .

?000??? (14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样

2本均值和样本方差，记统计量T?X?S，则ET? . 2

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)?x2?y?ylny的极值.

??（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1?

（17）（本题满分

?1?x)dx (x?0). x10 分）计算二重积分

??(x?y)dxdyD，其中

D?{(x,y)(x?1)2?(y?1)2?2,y?x}.

（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在?a,b?上连续，在

?a,b?上可导，则???a,b?，得证f(b)?f(a)?f'(?)?b?a?.

（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x?0处连续，在?0,则f?'(0)存在，且f'?(0)?A.

??,(??0)内可导，且limf'(x)?A，

x?0?

（19）（本题满分10 分）设曲线y?f(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)?0.已知曲线

y?f(x)与直线y?0,x?1及x?t(t?1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体

体积值是该曲边梯形面积值的?t倍，求该曲线的方程. （20）（本题满分11 分）

?1?1?1???1?????1?,?1??1?. 设A=??11?0?4?2???2?????（Ⅰ）求满足A?2??1，A2?3??1的所有向量?2，?3. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量?2,?3，证明?1,?2,?3线性无关.

（21）（本题满分11 分）设二次型f(x1,x2,x3)?ax12?ax22?(a?1)x32?2x1x3?2x2x3. （Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y12?y12，求a的值.

?e?x（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)； （Ⅱ）求条件概率P???X?1Y?1??.

0?y?x其他

（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. （Ⅰ）求P??X?1Z?0??；

（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.

2010年考研数学（三）真题

一选择题（）

[?(?a)ex]?1则a= 1.若limx?o1x1xA0 B1 C2 D3

2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则

111122222122C??,?? D??,??

3333A??,?? B???,???

3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g??(x)?0.若g(x0)?a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0取极大值的一个充分条件是 Af?(a)?0 Bf?(a)?0 Cf??(a)?0 Df??(a)?0 4设f(x)?lnx,g(x)?x,h(x)?e则当x充分大时有

10x10Ag(x)

5设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，下列命题正确?，?s线性表示，的是：

A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s 6.设A为4阶实对称矩阵，且A2?A?0，若A的秩为3，则A相似于

?1??1?????11???A? B ????1?1???????0?0????

?1???1??????1?1???C? D ?????1?1???????0?0?????0,x?0?17.设随机变量X的分布函数F(x)??,0?x?1，则P（X=1)=

?2?x?1?e,x?111A0 B C?e?1 D1?e?1

228.设f1(x)为标准正态分布概率密度，f2(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密

?af1(x),x?0度，若f(x)??(a?0,b?0)为概率密度，则a,b满足：

bf(x),x?0?2A2a+3b=4 B3a+2b=4 Ca+b=1 Da+b=2 二填空题

9.设可导函数y=y(x),由方程

dydxx?0?x?y0edt??xsint2dt确定，则

0?t2x?____________

10.设位于曲线y?1x(1?lnx)2(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为

G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为____________ 11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为1?p3，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________

12.若曲线y?x3?ax2?bx?1有拐点(-1,0),则b=_____________

____13.设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?1?B?2，则A?B?1?_

14.设

1n2X1,X2,?X3是来自总体N(?,?)(??0)的简单随机样本。记统计量T??Xi,ni?1 则ET?___________2

三解答题

(x?1) 15.求极限xlim???1x1lnx16.计算二重积分??(x?y)3dxdy，其中D由曲线x?1?y2与直线

Dx?2y?0及x?2y?0围成。

17.求函数u=xy+2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值。 18.

（1）比较?0lnt?ln(1?t)?dt与?0tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由。

un. （2）记un??0lnt?ln(1?t)?ndt(n?1,2,?),求极限limn??11n119.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2f(0)??f(x)dx?f(2)?f(3)

02（1）证明：存在??(0,2),使f(?)?f(0); （2）证明：存在??(0,3),使f??(?)?0 20

11????a?????设A??0??10?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1?1?1??????.1）求?、a. （(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???21.设A???13a?，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第

?4a0???一列为

1(1,2,1)T，求a、Q. 622.设二维随机变量

f(x,y)?Ae?2x2(X,Y)的概率密度为

?2xy?y2,???x???,???y???求常数A及条件概率密度

fYX(yx).

23.箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。

（1）求随机变量（X,Y）的概率分布； （2）求Cov（X,Y）.

答案：CABC ADCA

(p3?1)?22239.-1 10. 11 pe 12.3 13.3 14.???

41

2011年考研数学（三）真题

1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则

1.k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C） k?3,c?4 （D）k?3,c??4

2. 已知f?x?在x?0处可导，且f?0??0，则limx?0x2f?x??2f?x3?x3?

（A）?2f(C) f''?0? （B）?f'?0?

?0? (D)0

3. 设?un?是数列，则下列命题正确的是 （A）若

?un?1?n收敛，则

??un?1?2n?1?u2n?收敛

? （B）若

??un?1??2n?1?u2n?收敛，则?un收敛

n?1 （C）若

?un?1?n收敛，则

??un?1?2n?1?u2n?收敛

? （D）若

??un?12n?1?u2n?收敛，则?un收敛

n?1??0?04. 设I??40lnsinxdx,J??4lncotxdx,K??4lncosxdx，则I,J,K的大小关系是

（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I

5. 设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单

?100??100??10?,P??001?,则A?

位矩阵.记P1??1?2?????001???010???1（A）PP12 （B）P1P2 ?1（C）P2P1 （D）P2P1

6. 设A为4?3矩阵，?1,?2,?3是非齐次线性方程组Ax??的3个线性无关的解，k1,k2为

任意常数，则Ax??的通解为 （A）

?2??322???3???3?k1??3??1??k2??2??1? （D）2?k2??2??1??k3??3??1? （C）2227. 设F1?x?,F2?x?为两个分布函数，其相应的概率密度f1?x?,f2?x?是连续函数，则必为概率密度的是

（A）f1?x?f2?x? （B）2f2?x?F1?x?

（C）f1?x?F2?x? （D）f1?x?F2?x??f2?x?F1?x? 8. 设总体X服从参数为??k1??2??1? （B）

?2??3?k2??2??1?

???0?的泊松分布，X1,X2,?,Xn?n?2?为来自总体的简单

1n?111n随机样本，则对应的统计量T1??Xi，T2?X?Xn ?in?1i?1nni?1（A）ET1?ET2,DT1?DT2 （B）ET1?ET2,DT1?DT2 （C）ET1?ET2,DT1?DT2 （D）ET1?ET2,DT1?DT2

（9）设f(x)?limx(1?3t)，则f?(x)?

t?0xtx（10）设函数z?(1?)y，则dz?

(1,0)y（11）曲线tan(x?y?（12）曲线y?积为

（13）设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下

x?4)?ey在点(0,0)处的切线方程为 x2?1，直线x?2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体

x?Qy的标准为

（14）设二维随机变量(X,Y)服从N(?,?;?,?;0)，则E(XY)?

222

15．求极限limx?01?2sinx?x?1

xln(1?x)16.已知函数f(u,v)具有连续的二阶偏导数，f(1,1)?2是f(u,v)的极值，

?2zz?f?(x?y),f(x,y)?。求

?x?y17、求

(1,1)?arcsinx?lnxdxx

4??3?0恰有2实根. 319. f(x)在[0,1]有连续的导数，f(0)?1，且??f'(x?y)dxdy???f'(x?y)dxdy

18. 证明4arctanx?x?DtDt Dt??(x,y)|0?y?t,0?x?t?(0?t?1),求f(x)的表达式。20.

?1??1,0,1?,?2??0,1,1?,?3??1,3,5?TTT不

T能由

?1??1a性表出。

?T,??2??,?T1??3,?①求a；②将1,?1,?2?32线性表出。线?1,?2,?3由

,3?11???11?????21、A为三阶实矩阵，R(A)?2，且A?00???00?

??11??11?????（1）求A的特征值与特征向量（2）求A

22.

X P

Y P -1 1/3 0 1/3 1 1/3 0 1/3 1 2/3 P?X2?Y2??1

求：（1）?X,Y?的分布； （2）Z?XY的分布； （3）?XY.

23. ?X,Y?在G上服从均匀分布，G由x?y?0,x?y?2与y?0围成。 ①求边缘密度fX(x)；②求fX|Y(x|y)

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