2018高考复习直线与圆总结复习教案
更新时间:2023-11-11 02:01:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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一、
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题以及直线与圆的位置关系?特别是弦长问题?,此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现.
热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程
要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式
(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0, l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A+B
22(A2
+B2≠0).
|Ax0+By0+C|22
(2) 点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A+B≠0).
A2+B2例1 (1)(2017届咸阳二模)已知命题p:“m=-1”,命题q:“直线x-y=0与直线x+m2y=0互相垂直”,则命题p是命题q成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案 A
解析 命题q中,直线x+m2y=0 的斜率是-1, 所以命题q成立的充分不必要条件.故选A.
(2)(2017届南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P,则当实数k变化时,点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为________. 答案 32
解析 由题意,得直线l1:kx-y+2=0的斜率为k,且经过点A(0,2),直线l2:x+ky-21
=0的斜率为-,且经过点B(2,0),且直线l1⊥l2,所以点P落在以AB为直径的圆C上,
k其中圆心坐标为C(1,1),半径为r=2,
-1
=-1,解得m=±1.所以命题p是m2D.既不充分也不必要条件
则圆心到直线x-y-4=0的距离为d=
|1-1-4|
2
=22,
所以点P到直线x-y-4=0的最大距离为 d+r=22+2=32.
思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况. (2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程
当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2. 2.圆的一般方程
DE?D2+E2-4F?x+y+Dx+Ey+F=0,其中D+E-4F>0,表示以?-2,-2?为圆心,为2
2
2
2
2
半径的圆.
例2 (1)(2017届重庆市第八中学月考)若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,则圆C的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2 C.(x-2)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=2 答案 C
解析 设AB的中点为D,则|AD|=|CD|=1, ∴r=|AC|=2,∴C(2,1),故选C.
(2)若圆C过点(0,1),(0,5)且圆心到直线x-y-2=0的距离为22,则圆C的标准方程为______________.
答案 (x-9)2+(y-3)2=85或(x-1)2+(y-3)2=5
a+4=r,??
解析 依题意,设圆C的方程为(x-a) 2+(y-3) 2=r2(r>0),则?|a-5|
=22,??2
2
2
解得a=9,
r2=85或a=1, r2=5,故圆C的方程为(x-9)2+(y-3)2=85或(x-1)2+(y-3)2=5. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法,通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.
(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法. (1)点线距离法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d
(2)判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0,方程组
??Ax+By+C=0,?222消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则直线与??x-a?+?y-b?=r?
圆相离?Δ<0,直线与圆相切?Δ=0,直线与圆相交?Δ>0. 2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.
2设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22,两圆心之间的距离为d,则
圆与圆的五种位置关系的判断方法如下: (1)d>r1+r2?两圆外离. (2)d=r1+r2?两圆外切. (3)|r1-r2| 例三:(1)(2016·山东改编)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是________. 答案 相交 解析 ∵圆M:x2+(y-a)2=a2, ∴圆心坐标为M(0,a),半径r1为a,圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|?2?由几何知识得+(2)2=a2,解得a=2.∴M(0,2),r1=2. ?2? 又圆N的圆心坐标为N(1,1),半径r2=1,∴|MN|=?1-0?2+?1-2?2=2. 又r1+r2=3,r1-r2=1,∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交. (2)(2017·西宁复习检测)如果圆(x-a) 2+(y-a) 2=8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a的取值范围是( ) A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3) C.[-1,1] 答案 D 解析 圆心(a,a)到原点的距离为|2a|,半径r=22,圆上的点到原点的距离为d.因为圆 D.[-3,-1]∪[1,3] |a| , 2 (x-a)2+(y-a)2=8 上总存在点到原点的距离为2,则圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2 =2有公共点,r′=2,∴r-r′≤|2a|≤r+r′,即1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤ -1,所以实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3], 故选D. 思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量. (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题. 二、课堂练习 强化训练 1 1.(2017届洛阳统一考试)“a=”是“直线2ax+(a-1)y+2=0与直线(a+1)x+3ay+3 5=0垂直”的______________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选取一个填入) 2.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为( ) 41413333 A.?x±?2+y2=B.?x±?2+y2=C.x2+?y±?2=D.x2+?y±?2= 3?3?3?3??3?3?3?3 3.设m,n为正实数,若直线(m+1)x+(n+1)y-4=0与圆x2+y2-4x-4y+4=0相切,则mn( ) A.有最小值1+2,无最大值B.有最小值3+22,无最大值 C.有最大值3+22,无最小值D.有最小值3-22,最大值3+22 4. 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ax+2ay-9=0(a>0)相交,公共弦的长为22,则a=________. 5.(2017·湖北省六校联合体联考)过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a的值为( ) 4 A.0 B.- 3 44 C.0或 D. 33 6.(2017届北京市西城区二模)已知圆O:x2+y2=1.圆O′与圆O关于直线x+y-2=0对称,则圆O′的方程是______________. 7. (2016·全国Ⅰ)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为________. 能力提高 1.(2017届哈尔滨市第三中学模拟)若圆(x-1)2+(y+1)2=r2上有且只有两个点到直线x-y+1=0的距离等于2 ,则半径r的取值范围是( ) 2 A.(2,22] B.(2,22)C.[2,22) D.[2,22] 2.(2017届赣州模拟)已知动点A(xA,yA)在直线l:y=6-x上,动点B在圆C:x2+y2-2x-2y-2=0上,若∠CAB=30°,则xA的最大值为( ) A.2 B.4C.5 D.6 3.(2017·长沙市长郡中学模拟)过定点(-2,0)的直线l与曲线C:(x-2)2+y2=4(0≤x≤3)交于不同的两点,则直线l的斜率的取值范围是______________. 4.(2017届南昌模拟)若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y), |3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是( ) A.a≤-4 B.-4≤a≤6C.a≤-4或a≥6 D.a≥6 5.(2017·浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考)已知圆C:x2+(y+1) 2 π=3,设EF为直线l:y=2x+4上的一条线段,若对于圆C上的任意一点Q,∠EQF≥,2 则|EF|的最小值是______________. 6.在平面直角坐标系中,若直线l与圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-52)2+(y-52)2=49都相切,且两个圆的圆心均在直线l的下方,则直线l的斜率为________.
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