江苏省泰州中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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江苏省泰州中学2019-2020学年度第二学期期中考试

高一数学试题

一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）

1.在ABC

?中，若30

B，23

AB=，2

AC=，则满足条件

的三角形有（）个A. B. 1 C. 2 D. 不确定【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用sin

AB AC AB B

>>来判断三角形解得情况.

【详解】在ABC

?中，30

B，23

AB=，2

AC=，则sin

AB AC AB B

>>，

所以，ABC

?有两解.

故选：C.

【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．

2.正方体被平面所截得的图形不可能是（）

A. 正三角形

B. 正方形

C. 正五边形

D. 正六边形【答案】C

【解析】

【分析】

平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形

【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C项

【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.

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x y +-=的倾斜角为（） A. 30°

B. 60° C . 120° D. 150°

【答案】C

【解析】

【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk

求解倾斜角. 310x y +-=的斜率=3k tan 3,[0,180)o o k θθ∴==∈，

∴120θ?=.

故选：C

【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.

4.以()3,1A -，()2,2B

-为直径的圆的方程是 A. 2280x y x y +---= B. 22

90x y x y +---= C. 2280x y x y +++-=

D. 2290x y x y +++-=

【答案】A

【解析】

【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.

【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，

由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点，

根据中点坐标公式可得32122a -==，12122

b -+==，又22(32)(12)||342AB r ++--===，所以圆的标准方程为： 221117()()222

x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A.

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5.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（）

A. 310x y -+=

B. 370x y ++=

C. 3110x y --=

D. 3130x y ++=

【答案】D

【解析】

【分析】

求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程. 【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=??++=?

解得41

x y =-??=-?，即()4,1--；设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=

则3(4)(1)0m ?-+-+=

解得13m =

所求的直线方程为3130x y ++=.

故选：D

【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.

6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）

3 2 C. 43π D. 6

π 【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，

该球为正方体的内切球，其半径为

12，所以球的体积为341()326ππ?=

故选：D.

【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.

7.在ABC 中，2cos

22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC 的形状为（） A. 等边三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形【答案】B

【解析】

【分析】

由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得．

【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c

+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形．

故选：B ．

【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键．

8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，蚂蚁爬行的最短路径为23m ，则圆锥的底面圆半径为（）

A. 1m

B. 2m 3

C. 43m

D. 3m 2 【答案】B

【解析】

【分析】

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【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：

由最短路径为3m ，即123,2PP OP ==，

由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23

π，则圆锥底面圆的周长为24233

l ππ=?=，则底面圆的半径为423223l r π

ππ===，故选：B.

【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.

9.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（）

A. 5

B. 2

C. 4

D. 16 【答案】C

【解析】

【分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=

,再根据面积公式可求得6(22)bc =,再代入余弦定理求解即可.

【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,

=.∵12sin 3(21)24ABC S bc A ===-, ∴bc =6(22)-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,

∴2()4(22)b c bc +=++

4(22)6(22)16=++?-=,可得4b c +=.

故选：C

【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.

10.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】A

【解析】

【分析】

由MA MB ⊥得0MA MB ?=，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案．

【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，

由MA MB ⊥得0MA MB ?=，即1212121x x y y x x +=+-，

由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以1

2MN AB =,

则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+

222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=-

又由1

2MN AB =，则224AB MN =，

可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24

x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1

(,0)2为圆心、半径等于32

的圆C 3，

即min 31122

MN r d =-=-=，故选A ．【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）

11.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（）

A. 若m α⊥，//m n ，n β?，则αβ⊥

B. 若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m n

C. 若//αβ，m α?，n β?，则//m n

D. 若αβ⊥，m α?，n α

β=，m n ⊥，则m β⊥

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据线面的位置关系对每个选项进行判断．

【详解】由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β?，得αβ⊥，A 正确；

由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确；

若//αβ，m α?，n β?，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误；

由面面垂直的性质定理知D 正确．

故选：ABD ．

【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．

12.设有一组圆k C ：()()224132x k y k k -++-=（*k N ∈）.下列四个命题中真命题的是（）

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B. 存在一条定直线与所有的圆均相交

C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交

D. 所有的圆均不经过原点

【答案】BD 【解析】

【分析】

由圆与圆的位置关系判断A ．由圆心所在直线判断B ，由圆半径可能无穷大，判断C ，代入原点坐标确定方程是否有整数解判断D ．【详解】圆心为(1,3)k C k k -，半径为22k r k ，

1(0,3)C ，12r ，2(1,6)C ，242r =，2212131042232C C =+==圆1C 与圆2C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A 错误；

易知圆心在直线3(1)y x =+上，此直线与所有圆都相交，B 正确；

若k 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C 错；

将(0,0)代入圆方程得224(1)92k k k -+=，即2410212k k k -+=，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D 正确．

故选：BD ．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第15题第一空2分，第二空3分；共20分）

13.若直线()2540a x y +-+=与()2210x a y +--=互相垂直，则a 的值是__________.

【答案】4-.

【解析】

【分析】

由垂直的条件求解．

【详解】∵已知两直线垂直，∴2(25)(2)0a a +--=，解得4a =-．

故答案为：－4．

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【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．

14.在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且

BD AC

==，则EF的长为__________.

【答案】

或

【解析】

【分析】

取BC中点G，可证EGF

∠（或其补角）是BD，AC所成的角，分类计算．

【详解】取BC中点G．连接,

GE GF，∵E，F分别是AB，CD的中点，∴//,//

EG AC GF BD，

GE BD

==，

GF BD

==，

∴BD，AC所成的角是EGF

∠（或其补角），

若60

EGF

∠=?，则

EF GE

==，

若120

EGF

∠=?，则

133

2sin602

222

EF GF

=?=??=，

故答案为：

或

．

【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．

15.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：()

0,3

Q-

是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切.已知直线l过点O.

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（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；

（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________.

【答案】 (1). 3 (2).

125 【解析】【分析】

圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长．（2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >22323a +=+，4a =，即(4,0)S ，∴(4,0)L -．

（1）设l 方程为y kx =，即0kx y ，24021

k k -=+得3k =±，由对称性不妨取3k =l 方程为33y x =，30x -=，圆心Q 到l 0333313

+=+，∴弦长为223323()32

-=；（2）同（1）设直线l 方程为0kx y ，点Q 到直线l 21k +，直线截圆Q 得弦

长为22692911k d k k

=-=++，点S 到直线l 241k k +，直线截圆S 得弦长为2222161324411k k d k k -=-=++222613411k k k k

-=++2421k =，

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d -?

==+．故答案为：3；

125．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．

16.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________.

【答案】133,2?

【解析】

【分析】

由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出b 的范围，结合二次函数性质得bc 的范围，从而得中线取值范围．

【详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，又2a =，所以4b c +=，由余弦定理得

2222cos b AD CD AD CD ADC =+-?∠，2222cos c AD BD AD BD ADB =+-?∠，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，12

BD CD a ==，所以222

2122b c AD a +=+，所以22221()222722b c a b c bc AD bc +-+--===-，又4b c +=，即4c b =-，因为ABC 是锐角三角形，

∴222222222b c a b a c a c b ?+>?+>??+>?，所以222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ?+->?+>-??-+>?

，解得3522b <<， ∴2215(4)4(2)4(,4]4

bc b b b b b =-=-=--+∈， 133AD ≤<．

高考资源网（cf074b28b04e852458fb770bf78a6529657d3580 ）您身边的高考专家 cf074b28b04e852458fb770bf78a6529657d3580 版权所有@高考资源网 - 12 - 故答案为：1313,)．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出b 的取值范围是解题关键．

四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –

17．（Ⅰ）求∠A ；

（Ⅱ）求AC 边上的高．

【答案】(1) ∠A =

π3 (2) AC 33【解析】

分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程

11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．

详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 2431cos B -=由正弦定理得sin sin a b A B = ? 7sin A 43∴sin A 3∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727??-+? ???=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ?=33337=，∴AC 边上的高为33．

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点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

18.在如图所示的五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且

60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=?====为BC 中点.

(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;

(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离.

【答案】(1)见解析15【解析】

【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,

因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且1

OM CD =, 因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ?又平面,ABFE AB ?平面ABFE , 所以//CD 平面ABFE .

因为平面ABFE

平面,CDEF EF CD =?平面CDEF ,

所以CD EF ∕∕.

又2AB CD ==,所以12EF CD =. 所以四边形OMFE 为平行四边形，所以//MF OE .

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(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,

因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====,

所以,EH AD BH AD ⊥⊥,

因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面

,ABCD EH BH ⊥,

因为3EH BH ==,所以6BE =所以2

216156222BDE S ??=-= ? ???

, 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为1133422BDM BCD S S ==?=, 所以由E BDM M BDE V V --=,得1

3115333h =?解得15h =即F 到平面BDE 15． 19.已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410（1）求直线CD 的方程；

（2）求圆P 的方程.

【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40

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- 15 -

【解析】

【分析】

（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出,a b 的值，即得圆P的方程.

【详解】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.

所以1

k=-.

则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），

所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.

（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210，

所以（a＋1）2＋b2＝40.②

由①②解得

或

所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.

所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.

【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

（1）证明：PBC是直角三角形；

（2）若2

PA AB

==，且当直线PC与平面ABC2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

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- 16 -

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）由PA ABC

⊥平面，得BC PA

⊥，再有BC AC

⊥，这样可由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得证线线垂直，即得证结论；

（2）过A作AH PC

⊥于H，由（1）可证AH PBC

⊥平面，从而有ABH

∠是直线AB与平面PBC所成的角，求出此角正弦值即可．

【详解】（1）证明∵AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC AC

⊥，∵PA ABC

⊥平面，∴BC PA

⊥，

又PA AC A

=，PA，AC PAC

?平面，

∴BC PAC

⊥平面，∴BC PC

⊥，

∴BPC

△是直角三角形.

（2）如图，过A作AH PC

⊥于H，

∵BC PAC

⊥平面，

∴BC AH

⊥，

又PC BC C

?=，PC，BC PBC

?平面，

∴AH PBC

⊥平面，

∴ABH

∠是直线AB与平面PBC所成的角，

∵PA ABC

⊥平面，

∠== 又2PA =，∴2AC =

， ∴在Rt PAC △中，22233

AH PA AC ==+， ∴在Rt ABH △中，23

33sin 2AH ABH AB ∠=== 即直线AB 与平面PBC 3【点睛】本题考查证明线线垂直，考查直线与平面所成的角，求线面角时一般可作出平面的垂直，得出直线与平面所成的角，在三角形中计算即可，即通常所说的作证算三步．

21.已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.

（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于2.

【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M （2，－2）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）变形得到2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，得到方程26040x y x y --=??--=?

计算得到答案. （2）易知d ≤|PM |=42PM 与直线垂直时，直线方程为x －y －4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.

【详解】（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.

∵方程可变形为2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，∴26040x y x y --=??--=? 解得22x y =??=-?

故直线经过的定点为M （2，－2）.

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此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴d <42.

【点睛】本题考查了直线过定点，点到直线的距离范围，确定直线系不能表示x －y －4＝0是解题的关键. 22.已知直线22

0x y 与圆C ：2240x y y m +-+=25. （1）求圆C 的方程；

（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与函数2y

x 的图象相交于M 、N 两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C 相切；

（3）若函数2y x 图象上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明.

【答案】（1）()2221x y +-=（2）证明见解析；（3）直线QR 与圆C 相切；证明见解析；

【解析】【分析】

（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得m ，得圆方程；

（2）求出过原点的圆C 的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证；

（3）设()2,P a a ，()2,Q b b ，()2

,R c c ，由此写出直线,,PQ PR QR 的方程，由直线,PQ PR 与圆相切得出,,a b c 的关系，可得221a b c a +=-；2231a bc a

-=-，然后可证直线QR 也与圆相切．

【详解】（1）解：圆C ：2240x y y m +-+=，可化为圆()2

224x y m +-=-+，圆心到直线的距离5

d = 25，

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- 19 -

∴2

5455m ?+=-+ ??， ∴3m =，

∴圆C 的方程为()2

221x y +-=；

（2）证明：设过原点O 的切线方程为y kx =，即0kx

y ，

k =+，∴3k =

∴设过原点O 的切线方程为3y x =，与函数2y

x ，联立可得3,3x y =±=，∴3y =与圆C 相切；

（3）解：设(

,P a a

，()2

,Q b b ，()2

,R c c ，可得22

b a k

a b b a

-==+-，直线PQ 的方程为()()2

y a a b x a -=+-，即为()y a b x ab =+-，

同理可得，直线PR 的方程为()y a c x ac =+-，直线QR 的方程为()y b c x bc =+-， ∵直线PQ 和PR 都与圆C 相切，

()2

211

a b +=++()2

211

a c +=++，即为()

2221230b a ab a --+-=，

()2221230c a ac a --+-=，即有b ，c 为方程()2221230x a ax a --+-=的两根，可得221a b c a +=-；22

1a bc a

-=-，由圆心到直线QR ()

222222

122111112111a a bc a a a b c a a a ---+

+--=

=+++??+ ?--??

，

则直线QR 与圆C 相切.

【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，考查直线与圆的位置关系，掌握用几何方法求弦长和判断直线与圆的位置关系是解题基础．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h5ye.html

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