福建省福州市2015届高三一模试卷数学（理科）（解析版）

2015年福建省福州市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．（5分）（2015?福州一模）已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x＜2}，P={x|y=}，则M∩（?UP）等于（ ）

A． [﹣2，0） B． [﹣2，0] C． [0，2） D． （0，2）

【考点】： 交、并、补集的混合运算． 【专题】： 集合． 【分析】： 先求出P在U的补集，从而求出M∩（?UP）即可． 【解析】： 解：∵p={x|x≥0}，∴CUP={x|x＜0}， ∴M∩（?UP）={x|﹣2≤x＜0}， 故选：A． 【点评】： 本题考查了集合的混合运算，是一道基础题． 2．（5分）（2015?福州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为（

，1），则cos（α+

）的值是（ ）

A． ﹣0.5 B． 0 C． 0.5 D． 1

【考点】： 两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义． 【专题】： 三角函数的求值． 【分析】： 由三角函数的定义可得sinα=，cosα=计算可得． 【解析】： 解：∵角α终边上一点M的坐标为（∴sinα=，cosα=∴cos（α+=

﹣

，

sinα

，代入cos（α+

）=cosα﹣

sinα

，1），

）=cosα﹣

=0，

故选：B． 【点评】： 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的定义，属基础题．

3．（5分）（2015?福州一模）在等差数列{an}中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（ ） A． ﹣5 B．

C． D．

【考点】： 等差数列的通项公式． 【专题】： 等差数列与等比数列．

【分析】： 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求． 【解析】： 解：设等差数列{an}的公差为d， ∵a2=1，a8=2a6+a4，

∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d 联立解得a1=，d=﹣， ∴a5=a1+4d=+4（﹣）=

故选：B 【点评】： 本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．

4．（5分）（2015?福州一模）若a=

xdx，b=

dx，c=

2dx，则a，b，c的大小关

系为（ ）

A． a＜b＜c B． b＜a＜c C． b＜c＜a D． c＜b＜a

【考点】： 定积分． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： 分别求出被积函数的原函数，然后代入积分的上限和下限． 【解析】： 解：a=

xdx=

|

=6，b=

dx=4lnx|

=4ln2，c=

2dx=2x|

=4；

所以b＜c＜a； 故选：C． 【点评】： 本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数． 5．（5分）（2015?福州一模）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）

A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． ﹣2014

【考点】： 程序框图． 【专题】： 图表型；算法和程序框图． 【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=2015时，满足条件n≥2015，退出循环，输出S的值为0．

【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=1 S=﹣1，n=2

不满足条件n≥2015，S=0，n=3 不满足条件n≥2015，S=﹣1，n=4 不满足条件n≥2015，S=0，n=5 …

n=2015时，满足条件n≥2015，退出循环，输出S的值为0． 故选：C． 【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，n的值，寻找规律可得S的取值以2为周期是解题的关键，属于基本知识的考查． 6．（5分）（2015?福州一模）在棱长为3的正方体内任取一点P，则点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】： 几何概型． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： 由题意，符合点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的区域是以正方体的中心为中心棱长为1的正方体外部，根据几何概型公式可得． 【解析】： 解：由题意，符合点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的区域是以正方体的中心为中心棱长为1的正方体外部，根据几何概型公式可得点P到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为1﹣

；

故选：D． 【点评】： 本题主要考查几何概型中的体积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即为概率． 7．（5分）（2015?福州一模）“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是（ ） A． 直线l与平面α内的任意一条直线垂直 B． 过直线l的任意一个平面与平面α垂直 C． 存在平行于直线l的直线与平面α垂直 D． 经过直线l的某一个平面与平面α垂直

【考点】： 直线与平面垂直的性质． 【专题】： 证明题；空间位置关系与距离． 【分析】： 根据面面垂直的判定以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解析】： 解：根据面面垂直的判定可知，直线l垂直于平面α，则经过直线l的某一个平面与平面α垂直，

当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时，直线l垂直于平面α不一定成立，

∴“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件． 故选：D

【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用面面垂直的判定是解决本题的关键． 8．（5分）（2015?福州一模）已知△EFH是边长为1的正三角形，动点G在平面EFH内．若?则

?＜0，|

|=1，

的取值范围为（ ）

A． [﹣1，﹣） B． [﹣1，﹣] C． （﹣，﹣

] D． （﹣，﹣）

【考点】： 平面向量数量积的运算． 【专题】： 计算题；平面向量及应用． 【分析】： 以EF的中点为坐标原点，EF所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系，设出E，F，H，G的坐标，以及相应向量的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，结合圆的性质，可得x的范围为﹣1≤x≤1，再由条件即可得到计算得到． 【解析】： 解：以EF的中点为坐标原点，EF所在直线为x轴，建立如图的直角坐标系， 则E（﹣，0），F（，0），H（0，由|

|=1，可得x+（y﹣

2

），设G（x，y），

）=1，

2

即有﹣1≤x≤1① 又由

=（x+，y），?

=（1，0），

=（x，y﹣

）．

＜0，可得x+＜0，

即有x＜﹣② 由①②可得﹣1≤x＜﹣． 则

?

=x×1+（y﹣

）×0=x，

则所求范围为[﹣1，﹣）． 故选A．

【点评】： 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量模的公式，同时考查圆的性质和不等式的性质，属于中档题．

9．（5分）（2015?福州一模）若函数f（x）满足：?x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，则称f（x）∈Ψ．对于函数g（x）=x﹣x，h（x）=

3

，有（ ）

A． g（x）∈Ψ且h（x）∈Ψ B． g（x）∈Ψ且h（x）?Ψ C． g（x）?Ψ且h（x）∈Ψ D． g（x）?Ψ且h（x）?Ψ

【考点】： 全称命题． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 先求出g（x1）﹣g（x2）|≤2|x1﹣x2|，故g（x）?Ψ；再分类讨论，对h（x）进行判断，问题得以解决．

3322

【解析】： 解：|g（x1）﹣g（x2）|=|x1﹣x1﹣x2+x2|=|（x1﹣x2）?（x1+x1x2+x2）﹣（x1

22

﹣x2）|=|（x1﹣x2）||x1+x1x2+x2﹣1|， 因为x1，x2∈[﹣1，1]，

2222

所以|x1+x1x2+x2|≤x1+|x1x2|+x2≤3

222222

所以|x1+x1x2+x2﹣1|≤|x1+x1x2+x2﹣1|≤|x1+|x1x2|+x2﹣1|≤|3﹣1|≤2 所以有|g（x1）﹣g（x2）|≤2|x1﹣x2|， 所以g（x）?Ψ；

当﹣1≤x＜0时，|h（x1）﹣h（x2）|=|x1﹣x2|≤|x1﹣x2|， 当0≤x≤1时，|h（x1）﹣h（x2）|=|cosx1﹣cosx2|≤|x1﹣x2|， 所述h（x）∈Ψ， 故选：C． 【点评】： 本题属于新概念的问题，题中考查了绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题． 10．（5分）（2015?福州一模）某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是（ ）

A． 男医生 B． 男护士 C． 女医生 D． 女护士

【考点】： 进行简单的合情推理． 【专题】： 推理和证明． 【分析】： 设男护士人数为a，女护士人数为b，男医生人数为c，女医生人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论． 【解析】： 解：设男护士人数为a，女护士人数为b，男医生人数为c，女医生人数为d

则有：

（一）a+b＞c+d （二）c＞a （三）a＞b （四）d≥1

得出：c＞a＞b＞d≥1 假设：d=1

仅有：a=5，b=4，c=6，d=1时符合条件，

又因为使abcd中一个数减一任符合条件，只有d，即女医生 假设：d＞1

则没有能满足条件的情况

综上，这位说话的人是女医生， 故选：C 【点评】： 本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．）

2

11．（4分）（2015?福州一模）已知a，b∈R，i为虚数单位，若a﹣i=2+bi，则（a+bi）= 3﹣4i ．

【考点】： 复数代数形式的乘除运算． 【专题】： 数系的扩充和复数．

2

【分析】： 由复数相等的条件求得a，b的值，代入（a+bi）后得答案． 【解析】： 解：由a﹣i=2+bi，得a=2，b=﹣1．

22

∴（a+bi）=（2﹣i）=3﹣4i． 故答案为：3﹣4i． 【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

12．（4分）（2015?福州一模）（x+

【考点】： 二项式系数的性质． 【专题】： 二项式定理． 【分析】： 化简（x+即得a的值．

【解析】： 解：∵（x+

22

2

+2a）展开式的常数项为280，则正数a=

4

．

+2a）=

4

，利用二项式的展开式通项Tr+1，求出常数项，

+2a）=

8﹣r

4

，

8﹣2r

r

展开式的通项为Tr+1=令8﹣2r=0，解得r=4； ∴常数项T5=

?x?=?x?a；

?a=70a=280，

44

∴a=4， 又a＞0， ∴a=．

故答案为：． 【点评】： 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题目．

13．（4分）（2015?福州一模）已知抛物线Γ：y=4x的焦点为F，P是Γ的准线上一点，Q是直线PF与Γ的一个交点．若

=

，则直线PF的方程为 x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0 ．

2

4

【考点】： 抛物线的简单性质． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： 利用抛物线的定义，结合

=

，求出直线的斜率，即可求出直线PF的方

程．

2

【解析】： 解：抛物线Γ：y=4x的焦点F（1，0），设Q到l的距离为d，则|QF|=d ∵∴|

=|=

|， |=

d，

∴直线的倾斜角为45°或135°， ∴直线的斜率为±1，

∴直线的方程为x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0． 故答案为：x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0． 【点评】： 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．

14．（4分）（2015?福州一模）已知一组正数x1，x2，x3的方差s=（x1+x2+x3﹣12），则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为 3 ．

【考点】： 众数、中位数、平均数． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： 根据方差的公式求得原数据的平均数后，求得新数据的平均数即可． 【解析】： 解：由方差的计算公式可得： S=[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）] =[x1+x2+…+xn﹣2（x1+x2+…+xn）?+n=[x1+x2+…+xn﹣2n=[x1+x2+…+xn]﹣=（x1+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

]

+n

2

]

+x3﹣12）

可得平均数=2．

对于数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1=3， 故答案为：3． 【点评】： 此题主要考查了方差和平均数的性质，一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍． 15．（4分）（2015?福州一模）已知函数f（x）=x?sinx，有下列四个结论： ①函数f（x）的图象关于y轴对称； ②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立； ③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M； ④函数f（x）的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合． 其中正确结论的序号是 ①③④ （请把所有正确结论的序号都填上）．

【考点】： 函数的图象． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： ①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之； ②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立； ③找出一个常数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M成立即可； ④根据切线的几何意义，先求导，在找到特殊点，求出切线方程即可． 【解析】： 解：对于①，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=xsinx=f（x）， ∴函数为偶函数，∴函数f（x）的图象关于y轴对称，故①正确； 对于②∵当x=2kπ+故②错；

对于③取M=1，当x0=

时，|f（

）|=

≥1；故③正确；

时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，

对于④∵f′（x）=sinx+xcosx， 当x=2kπ+f（2kπ+

，f′（2kπ+）=2kπ+

=x﹣2kπ﹣

）=1=k，

∴切线方程为y﹣2kπ﹣

即切线方程为y=x，

∴函数f（x）的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合，故④正确 （为了让学生更加理解，特画图） 故答案为：①③④

【点评】： 本题考点是函数的单调性判断与证明，函数的奇偶性，函数的中心对称的判断及函数的周期性，涉及到的性质比较多，且都是定义型，本题知识性较强，做题时要注意准确运用相应的知识准确解题．

三、解答题（本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（13分）（2015?福州一模）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若f（A）=2，a=b，求角B的大小．

【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理． 【专题】： 三角函数的图像与性质；解三角形． 【分析】： （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）=2sin（ωx﹣

）由

题意函数f（x）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π，可得T，从而求出ω，即可得f（x）的解析式，令2k单调递增区间．

（Ⅱ）由f（A）=2，可得sin（2A﹣正弦定理有sinA=

）=1，又0＜A＜π，求得A=

，a=

b，根据据

2x﹣

≤2k

，k∈Z，可解得函数f（x）的

sinB，可求sinB=，由大边对大角即可求B．

sinωx﹣cosωx（ω＞0），

【解析】： 解：（Ⅰ）∵f（x）=∴f（x）=2sin（ωx﹣

）．

∴函数f（x）的最大值为2．

∵函数f（x）的图象与直线y=2的相邻两个交点之间的距离为π， ∴T=π， ∴

=π，解得ω=2，

∴f（x）=2sin（2x﹣令2k解得k

2x﹣≤x≤k

）． ≤2k

，k∈Z，

，k∈Z．

，k）．

]，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间是[k（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2sin（2x﹣在△ABC中，∵f（A）=2， ∴2sin（2A﹣∴sin（2A﹣∵0＜A＜π， ∴A=∵a=∴sin

．

b，根据据正弦定理，有sinA==

sinB，

）=2， ）=1，

sinB，

∴sinB=， ∵a＞b，

∴A＞B， ∴0∴B=

．

，

【点评】： 本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想． 17．（13分）（2015?福州一模）调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现

将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标w=x+y+z的值评定中年人的成就感等级：若w≥4，则成就感为一级；若2≤w≤3，则成就感为二级；若0≤w≤1，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果： 人员编号 A1 A2 A3 A4 A5

（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （0，1，1） （1，2，1） 人员编号 A6 A7 A8 A9 A10

（x，y，z） （1，2，2） （1，1，1） （1，2，2） （1，0，0） （1，1，1） （Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标相同的概率；

（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为a，从成就感等级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及其数学期望．

【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： （Ⅰ）设事件A为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为同的所有可能结果数为

=45，职业满意度指标相

，由此能求出他们的职业满意度指标相同的概率．

（Ⅱ）由已知得随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望． 【解析】： 解：（Ⅰ）设事件A为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．

职业满意度指标为0的有：A9；

职业满意度指标为1的有：A2，A4，A5，A7，A10， 职业满意度指标为2的有：A1，A3，A6，A8． 从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为职业满意度指标相同的所有可能结果数为所以他们的职业满意度指标相同的概率P（A）=

=45，（2分） ，（4分）

．（5分）

（Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：

人员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

综合指标 4 4 6 2 4 5 3 5 1 3

其中成就感是一级的（w≥4）有：A1、A2、A3、A5、A6、A8，共6名， 成就感不是一级的（w＜4）有A4、A7、A9、A10，共4名． 随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．（6分） P（X=1）=

=，（7分）

P（X=2）==，（8分）

P（X=3）==，（9分）

P（X=4）==，（10分）

P（X=5）==，（11分）

所以X的分布列为

X 1 2 3 4 5 P

（12分） 所以E（X）=

+

=

．（13分）

【点评】： 本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数

据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等． 18．（13分）（2015?福州一模）已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．

（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

【考点】： 直线与平面平行的判定． 【专题】： 空间位置关系与距离；空间角． 【分析】： （Ⅰ）以B为原点，

，

，

分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所

示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，由此能证明EM∥平面ABCD． （Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PCD的一个法向量，由此利用向量法能求出线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于． 【解析】： 解：（Ⅰ）证明：由三视图知，BA，BP，BC两两垂直，故以B为原点， ，

，

分别为x轴，y轴，z轴正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系．…（1分）

则P（0，2，0），D（2，0，1），M（1，1，），E（2，1，0），C（0，0，1），

所以=（﹣1，0，），

平面ABCD的一个法向量等于=（0，1，0），…（3分） 所以

，所以

，（4分）

又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．（5分）

（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．（6分） 理由如下： 因为

，

=（2，0，0），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），

由，（7分）

取y=1，得平面PCD的一个法向量=（0，1，2）．（8分）

假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于． 设则

=

（0≤λ≤1），

，

=（2λ，2﹣2λ，λ）．（9分）

所以sinα=|cos＜＞|=（10分）

=

==．（12分）

所以9λ﹣8λ﹣1=0，解得λ=1，或

2

．（舍去）．

因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时， 直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于． （13分）

【点评】： 本题考查考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．

19．（13分）（2015?福州一模）如图，已知椭圆Γ：

=1（a＞b＞0）的离心率e=．点

F，A分别为

椭圆Γ的左焦点和右顶点，且|AF|=3． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

（Ⅱ）过点F作一条直线l交椭圆Γ于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q'． 若PF∥AQ′，求证：|PF|=

|．

【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】： （Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c，则

，又b=a﹣c=3，解出即可．

2

2

2

（Ⅱ）方法一：依题意得，PQ与坐标轴不垂直．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意的对称性可得Q′（x2，﹣y2）．由PF∥AQ'，利用斜率相等可得

．由点Q（x2，y2）在椭圆Γ上，不妨取

，可得直线PQ的直线PQ方程为

．与椭圆的方程联立解出P的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．

方法二：依题意得，PQ与坐标轴不垂直．设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，

2222

y2）．可得Q′（x2，﹣y2）．与椭圆的方程联立可得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0．可得根与系数的关系．由于PF∥AQ'，可得直线AQ'的方程为y=k（x﹣2）．与椭圆的方程联立可得

（3+4k）x﹣16kx+16k﹣12=0．可得根与系数的关系，解出k及其点P，Q的坐标即可得出；

方法三：依题意，得PQ与坐标轴不垂直．设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q

222

（x2，y2）．可得Q′（x2，﹣y2）．与椭圆方程联立可得（3+4k）y﹣6ky﹣9k=0．得到根与系数的关系．由于PF∥AQ'，可得直线AQ'的方程为y=k（x﹣2）．与椭圆的方程联立可得（3+4k）y+12ky=0．可得

2

2

2222

，设（λ＞0），解得，即可．

方法四：依题意，得PQ与坐标轴不垂直．设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．可得Q′（x2，﹣y2）．由于P，F，Q三点共线， 可得∥AQ'，可设

与

共线，（x1+1）y2﹣（x2+1）y1=0．由PF

（λ＞0），利用向量坐标运算可得λy2（2x2﹣1）=0． 在椭圆

上，不妨取

，可得

坐标，代入椭圆

．点

方程，解出λ即可．

方法五：依题意，得PQ与坐标轴不垂直．设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．可得Q′（x2，﹣y2）．直线PQ'过定点M（﹣4，0），理由如下：与椭圆方程联立可得：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0.

利用根与系数的关系可得（x2+4）y1+（x1+4）y2=0，可得即可证明．

【解析】： 解：（Ⅰ）设椭圆Γ的半焦距为c，则解得a=2，c=1， 222

∴b=a﹣c=3， ∴椭圆Γ的方程为

．

，

2

2

2

2

，

，F为线段AM中点，

（Ⅱ）方法一：依题意得，PQ与坐标轴不垂直．设P（x1，y1），Q（x2，y2）． ∵点Q与点Q′关于x轴对称，∴Q′（x2，﹣y2）． 由（Ⅰ）讨论可知，A（2，0），F（﹣1，0）． ∵PF∥AQ'，

∴直线FQ与直线AQ'的斜率相等， 故

，

解得．

又∵点Q（x2，y2）在椭圆Γ上，

∴，或．

，

由椭圆对称性，不妨取

则直线PQ的斜率．

∴直线PQ方程为．

联立，解得点P．

∴

，

． ∴

．

方法二：依题意得，PQ与坐标轴不垂直．

设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）． ∵点Q与点Q′关于x轴对称，∴Q′（x2，﹣y2）． 又∵椭圆关于x轴对称，∴点Q′也在椭圆Γ上． 由

，消去y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0．

2

2

2

2

∴

∵PF∥AQ'，∴直线AQ'的方程为y=k（x﹣2）． 由

．

，消去y得（3+4k）x﹣16kx+16k﹣12=0．

2222

∵直线AQ'交椭圆于A（2，0），Q'（x2，﹣y2）两点， ∴

，

故．

∴，

解得．

∴∴

．

，

． ∴

．

方法三：依题意，得PQ与坐标轴不垂直．

设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）． ∵点Q与点Q′关于x轴对称，∴Q′（x2，﹣y2）． 又∵椭圆关于x轴对称，∴点Q′也在椭圆Γ上． 由，消去x得（3+4k2

）y2

﹣6ky﹣9k2

=0．

∴

．

∵PF∥AQ'，∴直线AQ'的方程为y=k（x﹣2）． 由

，消去x得，（3+4k2

）y2

+12ky=0．

∵直线AQ'交椭圆于A（2，0），Q'（x2，﹣y2）两点， ∴

，即

．

设（λ＞0），则（x1+1，y1）=λ（x2﹣2，﹣y2），

∴

．

∴，解得，

∴，即．

方法四：依题意，得PQ与坐标轴不垂直． 设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）． ∵点Q与点Q′关于x轴对称，∴Q′（x2，﹣y2）． ∵P，F，Q三点共线，

∴与共线，

∴（x1+1）y2﹣（x2+1）y1=0． ∵PF∥AQ'，∴可设

（λ＞0），即（x1+1，y1）=λ（x2﹣2，﹣y2），

∴x1+1=λ（x2﹣2），y1=﹣λy2．

∴λ（x2﹣2）y2+λ（x2+1）y2=0，即λy2（2x2﹣1）=0． 依题意，y1?y2≠0，∴

．

∵点解得

或

在椭圆

．）

，

上，∴，

由椭圆对称性，不妨取则

=，

∵点在椭圆上，

∴∴

，即

．

，解得 或λ=﹣1（舍去）．

方法五：依题意，得PQ与坐标轴不垂直．

设l方程为y=k（x+1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）． ∵点Q与点Q′关于x轴对称，∴Q′（x2，﹣y2）． 直线PQ'过定点M（﹣4，0），理由如下： 由

，消去y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0．

2

2

2

2

∴．

∴，

．

∵

，

∴

，

∴，

∴M，P，Q'三点共线，即直线PQ'过定点M（﹣4，0）． ∵F为线段AM中点，PF∥AQ'，∴

．

【点评】： 本小题主要考查直线、椭圆等基础知识、向量共线定理，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，属于难题．

20．（14分）（2015?福州一模）已知函数f（x）=a﹣a?x，a≥e，e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）设n∈N，比较

*

x

lna与ln（a﹣1）+ln（2a﹣1）+ln（3a﹣1）+…+ln（na﹣1）

的大小，并加以证明．

【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】： 综合题；导数的综合应用． 【分析】： （Ⅰ）当a=e时，求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）

lna＞ln（a﹣1）+ln（2a﹣1）+ln（3a﹣1）+…+ln（na﹣1），利用分析法进

n

行证明，关键证明a＞na﹣1．

x

【解析】： 解：（Ⅰ）∵a=e时，f（x）=e﹣ex，

x

∴f′（x）=e﹣e， ∴f′（1）=0，f（1）=0， 于是f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=0． （Ⅱ）

lna＞ln（a﹣1）+ln（2a﹣1）+ln（3a﹣1）+…+ln（na﹣1），

理由如下：因为a≥e， 欲证

lna＞ln（a﹣1）+ln（2a﹣1）+ln（3a﹣1）+…+ln（na﹣1）成立，

只需证

n

＞（a﹣1）（2a﹣1）（3a﹣1）…（na﹣1），

只需证a＞na﹣1． 构造函数

，则g′（x）=

．

因为a≥e，所以lna≥1．

令g′（x）＞0，得x＜；g′（x）＜0，得x＞

）单调递增；在（

．所以

．

，+∞）上单调递减． ≤

，

所以函数g（x）在（﹣∞，所以函数g（x）的最大值为

x﹣1

所以

x

≤

x﹣1

，即a

≥e（x﹣1）lna，则

a﹣ax+1=a[a﹣（x﹣1）]+1﹣a≥a[e（x﹣1）lna﹣（x﹣1）]+1﹣a ＞a[2（x﹣1）﹣（x﹣1）]+1﹣a=a（x﹣2）+1＞0， 所以a＞ax﹣1．

n

取x=n，得a＞na﹣1成立． 所以当a≥e时，

lna＞ln（a﹣1）+ln（2a﹣1）+ln（3a﹣1）+…+ln（na﹣1）成立．

x

【点评】： 本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调性、最值）、用点斜式求直

线方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等．

四、选做题（本题有21、22、23三个选考题，请考生任选2题作答．若多做，则按所做的前两题计分）【选修4-2：矩阵与变换】

﹣1

21．（7分）（2015?福州一模）已知矩阵A的逆矩阵A=．

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）求曲线xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．

【考点】： 逆变换与逆矩阵；几种特殊的矩阵变换；逆矩阵与投影变换． 【专题】： 矩阵和变换． 【分析】： （Ⅰ）直接计算即可； （Ⅱ）先设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点（x′，y′），然后计算即可．

【解析】： 解：（Ⅰ）因为矩阵A是矩阵A且

﹣1

的逆矩阵， ，

所以．

（Ⅱ）设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点（x′，y′），

则，

由此得

2

2

，

代入方程xy=1，得y′﹣x′=2．

22

所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y﹣x=2． 【点评】： 本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22．（7分）（2015?福州一模）已知曲线C1的参数方程为面直角坐标系中，以坐

标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+=2．

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

【考点】： 简单曲线的极坐标方程． 【专题】： 坐标系和参数方程．

【分析】： （Ⅰ）利用cosα+sinα=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将

代入上述方程即可得出极坐标方程．

）=2

，展开为

2

2

（α为参数）．在平

）

（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+

=2

坐标．

【解析】： 解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程﹣2）+y=4，

22

∴C1的普通方程为：x+y﹣4x=0． 将

2

2

，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点

（α为参数）．消去参数α，得（x

代入上述方程可得ρ﹣4ρcosθ=0，

2

∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ． （Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+

=2

）=2

，展开为

，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．

由，

解得或．

∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）． 可得极坐标分别为（4，0）或

．

【点评】： 本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．

【选修4-5：不等式选讲】

23．（2015?福州一模）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）=x+（a＞0）的最小值为3． （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求不等式|x﹣a|+|x+1|≤4的解集．

【考点】： 绝对值不等式的解法；基本不等式． 【专题】： 不等式． 【分析】： （Ⅰ）因为a＞0，x＞0，得到x+≥3即x=

时等号成立，从而求出a的值；

2

2

=3，当且仅当x=

2

，

（Ⅱ）原不等式等价于或或，解出即可．

【解析】： 解：（Ⅰ）因为a＞0，x＞0，根据三个正数的算术﹣几何平均不等式，得 f（x）=x+=x+

2

2

+≥3=3，当且仅当x=

2

，即x=时等号成立，

又因为函数f（x）的最小值为3，所以3=3，（a＞0），

解得：a=2．

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：|x﹣2|+|x+1|≤4． 原不等式等价于

或

或

，

解得﹣≤x≤．所以原不等式解集为{x|﹣≤x≤}． 解法二：由（Ⅰ）得：|x﹣2|+|x+1|≤4．

由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点2和点﹣1的距离之和不大于4的点的集合．

故原不等式解集为{x|﹣≤x≤}．

【点评】： 本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想．

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