角平分线的判定课堂实录与点评

《角平分线的判定》课堂实录

【教学目标】：

1. 知识与技能

● 掌握关于角平分线的两个重要结论。 2. 过程与方法

● 让学生通过自主探索、实验领会和感悟关于角平分线判定的重要定理，并体会感性认知与理性认识之间的联系与区别。 3. 情感、态度与价值观

● 通过认识的升华。使学生进一步理解数学，也使数学进一步走向学生，使学生关注数学，热爱数学。 【教学重难点】

● 重点：理解并会证明角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ● 难点：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上这一结论的证明以及关于角平分线的两个重要结论的应用。 【教学用具】

三角尺 课件 导学案 【教学设计思路】

1．本节课采用“成功教育＋先学后交（教）当堂测评”的课堂模式，指导学生

归纳和总结解决几何问题的一般规律和方法。

2.本节课主要是证明角平分线的判定定理，并熟练运用角平分线的性质和判定综合来解决几何问题。 【教学过程】

一．复习导入，引入新知： 师：上课！ 生：老师好！

师：同学们好，上一课，我们学习了角平分线的性质，让我们先复习一下。请

同学们告诉我“角平分线的性质”是怎样的？ 生：（全班同学齐刷刷举起手。） 师：请李某回答。

生: 角平分线上的点到角的两边的距离相等。

师：回答得非常准确。那么它用数学符号语言怎样表示呢？ （出示课件中角平分线的性质所构造的图形） 生：（学生积极举手） 师: 请张某回答。

生：因为OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,所以PE＝PF （教师立即在黑板上板书过程）

师：请问各位同学，张某的叙述有问题吗？ 生：没有。（学生异口同声地回答）

师: 在这个叙述中，应格外注意条件部分要满足角平分线，垂直，结论部分才

会有两条垂线段相等。

【点评】：通过复习，帮助学生回顾角平分线性质，为本节学习角平分线的判定

做好铺垫，并从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。

二．自学交流，归纳探究 师：大家对角平分线的性质掌握的非常好。请问如果角的内部有一点到角的两边的距离相等，那么这一点在这个角的平分线上？这个问题就是今天这节课我们要探讨的，首先我们一起来看一下这节课的学习目标。（课件出示学习目标，教师解读）

【点评】运用“成功教育”，感染学生学习的欲望，而且扣合本节课的内容，自

然引入，激励学生，师生互动，营造良好的学习氛围，教师解读目标，使学生 能一下子把握住本节课的主要学习任务和学习流程，做到心中

有数。

师：对于刚才提出的问题，你们是怎么想的?同学们可以互相交流 （学生分组讨论，交流想法） 生：在这个角的平分线上。（三十多个同学举手齐声回答）

师：为什么？可不可以用我们的数学方式来解答？（用鼓励的目光看着学生）师:（及时提示）如果要证明此命题，要分几个步骤完成？ 生：根据题意，画出图形，写好已知，求证，最后进行证明。 师：（面带微笑）已知，求证是如何得到的？ 生：由命题中的题设写已知，由结论写求证。 师：（露出赞许的目光）那么如何得到命题的题设和结论？ 生1：把这个命题写成如果?那么?的形式！ 生2：（自告奋勇站起来）如果角的内部有一点到角的两边的距离相等，那么

这个点在这个角的平分线上。

生3：已知就是：角内部有一点，且这点到角两边的距离相等。结论就是证明

这点在这个角的平分线上。

师：非常棒！那谁能帮我们画图，写已知，求证？ 生4：（自信地走上来，完成画图，已知，求证） 师：大家看他写的这三步有没有问题？

生5：OP应画成为一条虚线，应为证明过程中的辅助线。 师:不错。（出示课件上的步骤）

师:又怎么说明点P在∠AOB的平分线上？ （生跃跃欲试）

生：因为在直角三角形POE和直角三角形POF中，PE＝PF,OP﹦OP,由HL可得

这两个三角形全等，所以∠POE﹦∠POF.即OP平分∠AOB,点P在∠AOB的平分 线上。

师：很好，请坐。请同学们认真将证明过程写在导学案上。（2分钟后，出示

课件上证明过程）

（师及时板书角平分线的判定） 师：这就是角平分线的判定，在解题过程中只要满足一点到角的两边距离相等，

就可以直接得出这一点在这个角的平分线上。那么用数学符号语言怎样表示呢？（小组内交流） 师：（在黑板上板书数学符号语言表示）在此过程中应注意，条件部分应有垂

直，距离相等，结论部分才能判断这一点在这个角的平分线上。

【点评】：这个环节能充分的体现本节课的重点，教师的教与学生的学的双边、

双向活动，老师能采取“疑点启发”的方式创造条件让学生多动口、多动手、多动脑，激发学生全方位“参与”问题的解决，提高了课堂教学的效率和质量，极大地激发学生学习热情。 三．典例解析 师：（出示课件上例2）请大家看一下例2，在此题中，要证明AE为∠DAB的

平分线，你能想到什么方法？

生7：证明两个三角形全等，就可以得出两个角相等。 生8：利用角平分线的判定证明。

师：这两种方法能直接从图中证明出来吗？请大家先在小组内交流。 生：（学生展开激烈地讨论，3分钟后） 师：有没有同学起来说一说，应该怎么做? 生9：要作辅助线，过点E作EF⊥AD。

师：这种辅助线的作法能用我们刚才说的两种方法来证明吗？ 生：（齐声回答）能。

师：请大家尝试着证明一下，哪一种方法更简单？ 生：（大声回答）利用角平分线的判定作证明简单。 师：有请一个同学上台来讲一下思路。

生10：首先，过点E作EF⊥AD。要证明AE是∠DAB的平分线，就需要证EF﹦BE,又因为DE是∠ADC的平分线，且CE⊥CD,EF⊥AD,所以EF﹦CE,又有CE﹦ BE，从而得到EF﹦BE,利用角平分线的判定就可以得AE是∠DAB的平分线。 师：思路非常清晰。我们都应向他学习！在做此类题，作辅助线有什么方法吗？ 生11：遇到有角平分线上的一点向一边作垂线，很容易想到向另外一边作垂

线。

师：归纳的非常好。请记住这一点。然后写好例2的证明步骤。 （学生认真写证明过程，教师巡视，3分钟后）

【点评】：这例题的设置，使刚刚学到的新知识及时得到巩固，特别是方老师让

学生比较证明角角相等的两种方法：（1）证它们所在的三角形全等,(2)用角平分线的判定，体会运用新知识的优点，打破学生的固定的思维方式，能够进一步的突破本节课的难点，老师的及时追问，对角平分线的判定做了更深刻的诠释。 师：（出示课件上的例3）我们先看一下题目，题中仍然要证明OP平分∠AOB,

需要作辅助线吗？ 生：要。（学生齐声回答） 师：你们有什么办法？

生12：过点P作PC⊥OA,PD⊥OB 师：你是怎样想到的？

生12：利用角平分线的判定定理想到的。

师：说的非常棒！接下来怎样证明呢？哪个同学上来讲一下。 生：（四十多个同学举手，都跃跃欲试，刘某主动走上来）要证OP平分∠AOB,

需要证PC﹦PD,那就需证三角形ACP全等于三角形BDP.由∠2＋∠3﹦180°又∠1＋∠2﹦180°，由同角的补角相等，得到∠1﹦∠3，还有PA﹦PB，∠PCA﹦∠PDB﹦90°,由AAS就可得到这两个三角形全等。 师：（竖大拇指）很好。大家觉得他说得好不好？

生：（齐声回答）好！ 师：先请写好证明过程，然后思考通过这两个例题你学会了怎样作辅助线的办

法？

生13：在题目中谈到角平分线上的点到两边的距离和一点到两边的距离相等，判断是角的平分线时，往往要想到作垂线。

【点评】老师能以“角平分线的判定”思想为指导，让学生通过类比、猜想、验

证、说理等活动，经历一个完整的数学探索过程．最精彩的是学生能根据证明的结论，分析出证明的思路与方法，并加以证明．这种在合情推理的基础上，经过严格证明，肯定结论的思维方式，正是数学学科要重点培养的思维方式。并且老师能及时引导学生归纳证明角平分线中常见的辅助线的作法，为今后此类题目的学习，起了很好的铺垫作用。

二．课堂小结（2分钟） 师：同学们，本节课你学了哪些数学知识？有哪些收获？同桌之间可以交流一下! （学生讨论热烈!）

生1：我今天学习了判定角平分线的又一种方法：角内部的一点，只要这点到角

两边的距离相等，这点就在这个角的平分线上。

生2：在这个判定中，点必须满足三个条件：两个垂直，距离相等。

生3：遇到有角平分线上的一点向一边作垂线，很容易想到向另外一边作垂线。 生4，我知道了几何文字命题的基本过程与方法。

师: 同学们收获不少!能将基础知识得到升华,概括解决几何问题的一般规律和方法!老师很佩服!其他同学今天表现得也很不错,学习也积极!现在我想检测同学们掌握知识的情况.完成当堂训练,时间:10分种

（点评：小结是知识的梳理与回顾，在这个环节中方老师充分做到了这一点，让学生通过自己交流回顾不仅加深了对这一节知识的理解和掌握，而且也充分体现了老师有意识的锻炼了学生的分析归纳能力。）

三．当堂检测（10分钟）

（学生完成检测题，教师巡视，关注每一名学生的解题情况） 师：时间到，请小组长迅速将导学案收齐！ 生：（迅速交导学案）

师：今天的课就学到这儿，同学们再见！ 生：老师再见！ 【总评】 ［优点：

(1)这一节课从整体模式上看,各环节设置科学合理, “成功教育＋先学后交（教）当堂测评”与“三自”整合的教学模式。

(2)教学目标明确，很好的突破了难点，在此过程中，老师注重了知识本身的内在规律和课堂自身的特点，重点的知识重点学全面学，难点的知识在导中学，在交中学，能很好的完成了本节课的教学任务。

（3）方老师的备课非常充分且有个性化，备知识，备课件，备规律，备预见性问题，备学生，分层互促，做到了全面关注学生，重视学生的思维规律，导学案设计用心精到科学合理，知识和难点循序渐进。

（4）整个课堂多次生生互动，师生互动，小组交流，兵教兵思考，重视了培养学生的合作探究精神，符合新时期新课标理念。

不足之处：本节课展示了3个例题，容量过大，导致当堂检测反馈不够及时。］

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