动量守恒定律应用(三)

定律内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为 零，这个系统的总动量保持不变。这个 结论叫做动量守恒定律。

动量守恒定律的表达式：

动量守恒定律的条件：(1)系统的合外力为零 (2)当内力远大于外力，作用 时间非常短时。如碰撞、爆炸、 反冲等。 (3)当某一方向合外力为零时， 这一方向的动量守恒。

动量守恒定律的典型应用1.子弹打木块类模型：子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作 为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射 向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同 运动。下面从动量、能量和牛顿运动定律等多 个角度来分析这一过程。

摩擦力(阻力)与相对位移的乘积等于系统 机械能(动能)的减少。

例1 设质量为m的子弹以初速度v0射向静止 在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在 木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。 求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中 木块前进的距离。v0 v

S

S+d

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。 从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大 小为f,设子弹、木块的位移大小分别为s1、s2,如图所示，显然有s1-s2=d

mv0 M m v

1 1 2 2 对子弹用动能定理： f s1 mv 0 mv ……① 2 2 1 ……② 对木块用动能定理： f s 2 Mv 2 2 1 2 1 Mm 2 2 v0 ……③ ①、②相减得： f d m v0 M m v 2 2 2 M m

点评：这个式子的物理意义是：f d恰好等于系统动能的损失； 根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加； 可见，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为 内能),等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由 于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路 程，而不是用位移)。

由上式不难求得平均阻力的大小：

2 Mm v0 f 2 M m d

m d 至于木块前进的距离s2,可以由以上②、③相比得出： s2 M m从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都 在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：

v0 v / 2 v0 v d v0 M m s2 d m , , s2 d s2 v/2 v s2 v m M m一般情况下M m ,所以s2<<d。这说明，在子弹射入木块过程中，木块的 位移很小，可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与 静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公 Mm 式： 2

E k

2

M m

v0

…④

当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相 等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔEK= f d(这里 的d为木块的厚度),但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④ 式计算ΔEK的大小。

2.人船模型 例2.质量为m的人站在质量为M,长为L的静止小 船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到 船的左端时，船左端离岸多远？

解析：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始 终为零，所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看 出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小 分别为l1、l2,则 ：

mv1=Mv2,两边同乘时间t,ml1=Ml2,而l1+l2=L,∴

m l2 L M m

点评：应该注意到：此结论与人在船上行走的速度大小 无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只 要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。做这类题 目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面 的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。 以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如 果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再 用m1v1=m2v2这种形式列方程，而要利用(m1+m2)v0= m1v1+ m2v2列式。

(二)、人船模型

例3:静止在水面上的小船长为L,质 量为M,在船的最右端站有一质量为 m的人，不计水的阻力，当人从最右 端走到最左端的过程中，小船移动的 距离是多大？

S

L-S

0=MS – m(L-S)

例4:载人气球原静止在高度为H的高空，气 球的质量为M,人的质量为m,现人要沿气球 上的软绳梯滑至地面，则绳梯至少要多长？

S

H

H

例5如图所示,物体A和B质量分别为m1和m2,其图示直角边长分别为a和b.设B与水平地面无摩擦,

当A由顶端O从静止开始滑到B的底端时,B的水平位移是多少?

【标准解答】由A、B组成的系统,在相互作用过程中水平方向动量守恒,则

m2s-m1(b-a-s)=0 解得: s m1 b a m1 m 2

3.多物体系统模型 例1:在光滑水平面上有一质量m1=20kg的小车， 通过一根不可伸长的轻绳与另一质量为m2=5kg的 拖车相连接，拖车的平板上放一质量为m3=15kg 的物体，物体与平板间的动摩擦因数为μ=0.2.开 始时拖车静止，绳没有拉紧，如图所示，当小车 以v0=3m/s的速度前进后，带动拖车运动，且物 体不会滑下拖车，求： (1)m1、m2、m3最终的运动速度； (2)物体在拖车的平板上滑动的距离。 m3 m2 v0

m1

m3

解析：在水平方 m2 向上，由于整个 系统在运动过程 中不受外力作用， 故m1、m2、m3所组成的系统动量守 恒，最终三者的速度相同(设为v) 则

v0

m1

欲

求m3在m2上的位移，需知m1与m2 作用后m2的速度，当m1与m2作用时， m3通过摩擦力与m2作用，只有m2获得 速度后m3才与m2作用，因此在m1与 m2作用时，可以不考虑m3的作用，故 m1和m2组成的系统动量也守恒。

m3在m2上移动的距离为L,以三物 体为系统，由功能关系可得

例题2、如图在光滑的水平面上，有两个 并列放置的木块A和B,已知mA=500g, mB=300g,有一质量为80 g的铜块C以 25m/s水平初速度开始在A表面上滑行，由 于C与A和B之间有摩擦，铜块C最终停在 B上，与B一起以2.5m/s 的速度共同前进, 求: (1)木块A的最后速度 C V0 (2)C离开A时的速度A B

解：画出示意图如图示：对ABC三个物体组成的系 统，由动量守恒定律，从开始到最后的整个过程， mC v0 = mA vA' + (mB + mC) vBC 80×25 =500× vA' + 380×2.5 vA' = 2.1m/s从开始到C刚离开A的过程， C v0

A

B

mC v0 = mC vC' + (mA + mB) vA'

80×25 = 80× vC' + 800×2.1vC' = 4 m/s

A A

v A'C

C B

vBC

v C′B

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