初中数学专题辅导二

2014年4月18日星期五

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 与整式乘法是相反方向的变形.在分式运算、解方 程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要 的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的 提取公因式法和公式法 ( 平方差公式和完全平方公 式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相 乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等.

2014年4月18日星期五

一、公式法(立方和、立方差公式)

a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )

两个数的立方和 ( 差 ) ,等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和).【例1】因式分解：(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).

( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).

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一、公式法(立方和、立方差公式)

【例2】因式分解：(1) 3a 3b 81b4 (2) a 7 ab6

解 : (1) 3a 3b 81b4 3b(a 3 27b 3 ) 3b(a 3b)(a 2 3ab 9b 2 ).

(2) a 7 ab6 a(a 6 b6 ) a(a 3 b 3 )(a 3 b 3 ) a(a b)(a 2 ab b 2 )(a b)(a 2 ab b 2 ) a(a b)(a b)(a 2 ab b 2 )(a 2 ab b 2 ). 或a 7 ab6 a(a 6 b6 ) a(a 2 b 2 )(a 4 a 2b 2 b 4 ) a(a 2 b 2 )[(a 2 b 2 )2 a 2b 2 ] a(a b)(a b)(a 2 ab b 2 )(a 2 ab b 2 ).

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二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的 多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上 的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也 没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组 处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分 解法.分组分解法的关键在于如何分组.2ax 10ay 5by bx 【例3】因式分解： 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续 完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也 可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不 妨一试.

解 : 2ax 10ay 5by bx 2a( x 5 y ) b( x 5 y ) ( x 5 y )(2a b).2014年4月18日星期五

二、分组分解法

2ax 10ay 5by bx 【例4】因式分解：解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).

2ax 10ay 5by bx 【例5】因式分解：解 : 2 x 2 4 xy 2 y 2 8z 2 2( x 2 2 xy y 2 4 z 2 ) 2[( x y )2 ( 2 z )2 ] 2( x y 2 z )( x y 2 z ).

2

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三、十字相乘法1. x2 ( p q) x pq 型的因式分解x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q )x 2 ( p q ) x pq ( x p )( x q )

【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).

(2)x 2 13 x 36

解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).

(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解： 解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).2014年4月18日星期五

三、十字相乘法2.一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 . 反过来，就得到： a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c 分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2c1 ,这里按 c 2

2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ,那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) .

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).2

(2)5x 2 6 xy 8 y 23 4 1 5

2 1 2 42014年4月18日星期五

( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).

三、十字相乘法 【例9】因式分解：(1)( x 2 2 x ) 7( x 2 2 x ) 8 (2)x 2 2 x 15 ax 5a

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有 时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的 多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项 可以三、二组合.解 : (1)原式 ( x 2 2 x 1)( x 2 2 x 8).

(2)原式 ( x 2 2 x 15) ( ax 5a ) ( x 3)( x 5) a( x 5) ( x 5)( x 3 a ).2014年4月18日星期五

四、配方法(1) x 2 6 x 16 【例10】因式分解： (2)x 2 4 xy 4 y 2

解 : (1)x 2 6 x 16 ( x 3)2 52 ( x 8)( x 2). (2)x 2 4 xy 4 y 2 ( x 2 4 xy 4 y 2 ) 8 y 2

( x 2 y )2 8 y 2 ( x 2 y 2 2 y )( x 2 y 2 2 y ).

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差 公式分解.2014年4月18日星期五

五、拆(添)项法 【例11】因式分解： x3 3 x 2 4解 : x 3 3 x 2 4 ( x 3 1) (3 x 2 3) ( x 1)( x 2

x 1) 3( x 1)( x 1) ( x 1)[( x 2 x 1) 3( x 1)]

( x 1)( x 2 4 x 4) ( x 1)( x 2)2 .

说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组 分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分 解为止.2014年4月18日星期五

2014年4月18日星期五

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一 次不等式组的解法.高中阶段将进一步学习一元二 次不等式和分式不等式等知识.本讲先介绍一些高 中新课标中关于不等式的必备知识.

2014年4月18日星期五

一元二次不等式的定义和 解法 定义：含有一个未知数并且未知数最高次数是 二次的不等式叫一元二次不等式. 。

首先，我们可以把任何一个一元 二次

y

不等式转化为下列四种形式中的 2 ( 1 ) ax bx c 0(a 0) 一种：

o

x

(2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0)

(4)ax2 bx c 0(a 0)2014年4月18日星期五

方程组的定义和解 法

开始 判断 =b2 4ac>0ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) (x1 < x2)

求解一元二次不等式ax2+bx+c>0或

ax2+bx+c<0(a >0, =b2 4ac>0)的步

写出两个等价的不等式组

骤:分别解出两个不等式组的解集 否

是

(x-x1)(x-x2)>0

{x | x < x 1 或 x > x 2 }

{x | x 1 < x < x 2 }2014年4月18日星期五

可把ax2+bx+c分解因式的一元二次不等 设ax2 bx c (式的解法 x x1 )(x x2 ), 则解不等式 ax2 bx c 0,

即解不等式 ( x x1 )(x x2 ) 0,根据同号得正，异号得 负， x1 0 x x x1 0 ,或 ( x x1 )(x x2 ) 0可变形为， x x 0 x x 0 2

2

两个一元一次不等式组，从而得到其解集； x x1 0 x x1 0 ,或 若( x x1 )(x x2 ) 0,则可变形为 x x2 0 x x2 0

两个一元一次不等式组，从而解之。 y P36 【例2】 P36 【例3】

x1 O

x2

x

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一元二次不等式的解的 情况 2△=b -4ac

△>0

△=0

△<0

yy=f(x)的图象

yx1 x2

yx b 2a

Of(x)>0的解集f(x)<0的解集 f(x)≥0的解集 f(x)≤0的解集

x1

O

x OR

x

x x x 或x x 2

x x x x

1

x x2 2 1

b x R x 2 a

x x x 或x x 1 x x2

R b x x 2 a

R 2014年4月18日星期五

一、一元二次不等式及其解 法【例 1】解不等式 x 2 x 6 0 .

分析：不等式左边可以因式分解，根据“正正(负负)得 正、正负得负”的原则，将其转化

为一元一次不等式 组. 解：原不等式可化为： ( x 3)( x 2) 0 , x 3 0 x 3 0 x 3 x 3 于是： 或 或 x 3或x 2 . x 2 0 x 2 0 x 2 x 2所以，原不等式的解是 x 3或x 2 .2 ax bx c 等 0(或式 0) 化 为 说 明 ： 当 把 一 元 二 次 不

的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可 运用本题的解法.2014年4月18日星期五

一、一元二次不等式及其 解法 【例 2】解下列不等式：(1) ( x 2)( x 3) 6 (2) ( x 1)( x 2) ( x 2)(2 x 1)

解：(1) 原不等式可化为： x2 x 12 0 ,即 ( x 3)( x 4) 0 .

x 3 0 x 3 0 于是： 或 3 x 4 . x 4 0 x 4 0 所以原不等式的解是 3 x 4 .2 (2) 原不等式可化为： x 4 x 0 ,即 x2 4 x 0 x( x 4) 0 .

x 0 x 0 或 x 0或x 4 . 于是： x 4 0 x 4 0所以原不等式的解是 x 0或x 4 .2014年4月18日星期五

一、一元二次不等式及其 解法

以二次函数 y x 2 x 6 为例： (1) 作出图象 . (2)图象与 x 轴的交点是 ( 3, 0), (2, 0) ,即当 x 3或2 时，

y 0 .就是说对应的一元二次方程 x 2 x 6 0 的两实根是 x 3或2 . (3) 当 x 3或x 2 时， y 0 ,对应图像位于 x 轴的上方. 就是说 x 2 x 6 0 的解是 x 3或x 2 . 当 3 x 2 时， y 0 ,对应图像位于 x 轴的下方.就是说 x 2 x 6 0 的 解是 3 x 2 .

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一、一元二次不等式及其 解法

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h5r1.html