2018年秋新课堂高中数学北师大版必修五学案：第1章 §2 2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列

2.1 等差数列

第1课时 等差数列的概念及其通项公式

学习目标：1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的判定方法．(重点)3.会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．等差数列的概念

阅读教材P10～P11例1以上部分，完成下列问题． 文字语言 符号语言 从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示 若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列 思考：(1)数列{an}的各项为：n,2n,3n,4n，…，数列{an}是等差数列吗？ [提示] 不是，该数每一项与其前一项的差都是n，不是常数，所以不是等差数列．

(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数，这个数列一定是等差数列吗？

[提示] 不一定，当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数列才是等差数列．

如数列：1,2,3,5,7,9，就不是等差数列． 2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

思考：(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2，可以求其通项公式吗？ [提示] 可以，可利用a2－a1＝d求出d，即可求出通项公式． (2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？

[提示] 不一定，当公差为0时，等差数列的通项公式不是n的一次函数，而是常数函数．

[基础自测]

1．判断正误

(1)常数列是等差数列．( )

(2)－1，－2，－3，－4，－5不是等差数列．( ) (3)若数列{an}是等差数列，则其公差d＝a7－a8.( )

[解析] (1)正确，(2)不正确，数列－1，－2，－3，－4，－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确，公差d＝a8－a7.

[答案] (1)√ (2)× (3)×

2．等差数列{an}中a1＝2，公差d＝3，则an＝( ) A．2n＋1 C．2n－1

B．3n＋1 D．3n－1

D [an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.]

3．在等差数列{an}中，a1＝0，a3＝4，则公差d＝( )

【导学号：91022022】

A．4 C．－4

B [a3－a1＝4－0＝2d，故d＝2.]

315

4．等差数列2，－2，－2，…的第10项为( )

【导学号：91022023】

37A．－2 33B．－2 B．2 D．－2

37C．2 33D．2 313

B [由a1＝2，d＝－2－2＝－2，得 37an＝2＋(n－1)(－2)＝－2n＋2. 733

所以a10＝－2×10＋2＝－2.] [合 作 探 究·攻 重 难]

等差数列的判定

判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.

[解] (1)因为an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，所以数列{an}是等差数列．

(2)因为an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，所以数列{an}不是等差数列．

[规律方法] 等差数列的判断方法——定义法

等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列是等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或an－an－1＝d(d为常数且n≥2).但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

[提示] 当d＞0时，等差数列{an}是递增数列； 当d＜0时，等差数列{an}是递减数列； 当d＝0时，等差数列{an}是常数列. [跟踪训练]

?1?an1．若数列{an}满足an＋1＝，a＝1，求证：数列?a?是等差数列.

2an＋11?n?

【导学号：91022024】

2an＋1an11

[证明] 由an＋1＝得＝a＝2＋a，

nn2an＋1an＋1

?1?1

即－a＝2，所以数列?a?是首项为1，公差为2的等差数列．

?n?an＋1n

1

等差数列的通项公式

(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；

(2)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an. [思路探究] (1)求a1和公差d?求an?求a20

(2)由a6＝12，a18＝36?列方程组?解得a1和d?求an [解] (1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 故an＝8－3(n－1)＝11－3n， 则a20＝11－3×20＝－49.

??a1＋5d＝12，

(2)由题意可得?解得d＝2，a1＝2，

??a1＋17d＝36，故an＝2n.

[规律方法] 等差数列通项公式的四个应用

(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可以求出第四个量.

(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个

数是不是该数列中的项.

(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求出待求项.

(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列.

[跟踪训练]

2．(1)等差数列{an}中，a2＝4，公差d＝3，an＝22，求n;

【导学号：91022025】

(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ ??a1＋3＝4，[解] (1)由条件知?解得a1＝1，n＝8；

??a1＋3?n－1?＝22，(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，

得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1. 由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是这个数列的第100项．

等差数列的实际应用 [探究问题] 1．一种游戏软件的租金，第一天5元，以后每一天比前一天多1元，那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？

[提示] 每天的租金构成以5为首项，以1为公差的等差数列，an＝5＋(n－1)×1＝n＋4(n≥2)．

2．直角三角形三边长成等差数列，你能求出三边的比吗？

[提示] 设直角三角形的三边长分别为a，a＋d，a＋2d(a＞0，d＞0)，则(a＋2d)2＝a2＋(a＋d)2，即a2－2ad－3d2＝0，

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