中庄中学2014-2015年八年级上第一次月考数学试卷含答案解析

2014-2015学年湖北省黄石市阳新县中庄中学八年级（上）第一

次月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．如图中，正确画出△ABC边AC上的高AE的是( )

A． B． C．

D．

2．下列图形中不具有稳定性是( )

A． B． C． D．

3．如图，∠BAC=40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为( )

A．20° B．30° C．40° D．50°

4．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形是( )

A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

5．在下列条件中，能判定△ABC和△A′B′C′全等的是( ) A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ B．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′ C．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′

D．AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长=△A′B′C′的周长 6．已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为( A．5厘米 B．7厘米 C．9厘米 D．11厘米

)

7．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A．8 B．9 C．10 D．11

9．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法( )

A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（每小题3分，共18分） 11．图中三角形的个数有__________个．

12．如图，D是△ABC边BC上的一点，AB=AC，添加条件__________，可使得△ABD≌△ACD．

13．已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=42°，∠B=76°，BC=25cm，则BC的对应边是__________，∠F=__________，EF=__________cm．

14．如图，△ABC的内角平分线BP和外角平分线CP交于点P，∠A=52°，则∠P=__________．

15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC=6平方厘米，则S△AEF的值为__________平方厘米．

16．如图，图2和图3都是由若干个图1所示的三角形拼成的，按此规律拼下去，那么第n个图中有图1所示的三角形__________个．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：

①分别在BA和CA上取BE=CG； ②在BC上取BD=CF；

③量出DE的长a米，FG的长b米．

如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？

18．已知：如图，五边形ABCDE中，∠A=107°，∠B=121°，∠C=132°．求证：AE∥CD．

19．如图，给出五个等量关系：①AD=BC；②AC=BD；③CE=DE；④∠D=∠C；⑤∠DAB=∠CBA．

请你以其中两个为条件，另外三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：

20．如图，小华在空旷的操场上向右行走20米后，接着向左转60°，再向前行走20米，再接着向左转，再向前行走20米，…这样一直走下去．

（1）请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系．

（2）小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由．

21．如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在正方形的顶点上，完成下面问题：

（1）△ABC的面积为__________；

（2）作出△ABC边AB上的高CH（不写作法）； （3）已知AB=5，求CH的长．

22．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF． （1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

23．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC （1）求证：AM平分∠DAB；

（2）若AD=5，BC=4，求四边形ABCD的面积．

24．如图：一幅三角板如图放置，等腰直角△ABC固定不动，另一块△DEF的直角顶点放在等腰直角△ABC的斜边AB中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AC、BC上．

（1）在旋转过程中线段BH和CG大小有何关系？证明你的结论． （2）若AC=BC=4cm，在旋转过程中四边形GCHD的面积是否不变？若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．

25．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN （1）求证：AM=BN；

（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；

（3）如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．

2014-2015学年湖北省黄石市阳新县中庄中学八年级

（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．如图中，正确画出△ABC边AC上的高AE的是( )

A． B． C．

D．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．

【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．

【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E， 纵观各图形，A、B、D都不符合高线的定义， C符合高线的定义． 故选：C．

【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．

2．下列图形中不具有稳定性是( )

A． B．

C． D．

【考点】三角形的稳定性．

【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然B选项中有四边形，不具有稳定性． 故选B． 【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．

3．如图，∠BAC=40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为( )

A．20° B．30° C．40° D．50° 【考点】三角形内角和定理．

【分析】由∠BAC=40°，AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD=20°，由BD∥AC可知∠D=∠CAD，从而求得∠D的度数．

【解答】解：∵∠BAC=40°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°． 又∵BD∥AC， ∴∠D=∠CAD． ∴∠D=20°．

故选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D错误． 故选A．

【点评】本题考查角平分线的知识和平行线的性质，关键是明确两直线平行，内错角相等．

4．适合条件∠A=∠B=∠C的三角形是( ) A．锐角三角形 B．等边三角形 【考点】三角形内角和定理．

C．钝角三角形 D．直角三角形

【分析】由三角形内角和为180°和∠A=∠B=∠C，可得∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，得∠C=90°，故该三角形的形状为直角三角形． 【解答】解：∵角形内角和为180°． ∴∠A+∠B+∠C=180°． 又∵∠A=∠B=∠C的． ∴2∠C=180°． 解得∠C=90°．

故适合条件∠A=∠B=∠C的三角形是直角三角形．

故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确． 故选D．

【点评】本题考查三角形内角和的知识，关键是根据题目中的信息进行转化，来解答本题．

5．在下列条件中，能判定△ABC和△A′B′C′全等的是( ) A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ B．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′ C．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′

D．AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长=△A′B′C′的周长 【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′，角不是边的夹角，不能判定两三角形全等，故本选项错误；

B、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=B′C′，边不是对应边，不能判定两三角形全等，故本选项错误；

C、∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，没有对应边相等，不能判定两三角形全等，故本选项错误；

D、AB=A′B′，BC=B′C′，△ABC的周长=△A′B′C′的周长，根据周长可以求出AC=A′C′，符合“边边边”判定方法，能判定两三角形全等，故本选项正确． 故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6．已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为( ) A．5厘米 B．7厘米 C．9厘米 D．11厘米 【考点】三角形三边关系． 【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可． 【解答】解：∵9﹣2=7，9+2=11， ∴7＜第三边＜11， ∵第三边为奇数， ∴第三边长为9cm． 故选C．

【点评】利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围是解本题的关键．

7．若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 【考点】多边形内角与外角．

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，依此列方程可求解． 【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则1080°=（n﹣2）?180°， 解得n=8． 故选：B． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( ) A．8 B．9 C．10 D．11 【考点】多边形的对角线．

【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．

【解答】解：设多边形有n条边， 则n﹣2=8， 解得n=10．

故这个多边形的边数是10． 故选：C． 【点评】考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．

9．如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法( )

A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 【考点】全等三角形的应用．

【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．

【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；

第②、③只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．

最省事的方法是应带④去， 故选：D． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为( )

A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】设BC=BD=x，AD=y，△ABD和△ABC相似，根据三角形的性质相似三角形周长的比等于对应边的比进行解答．

【解答】解：设BC=BD=x，AD=y，因为∠C=∠ADE=90°∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB；两三角形的周长之比为1：2，所以AD：AC=1：2，则AC=2y；

根据三角形ABC的周长为12得：x+（x+y）+2y=12；即：2x+3y=12…①

根据勾股定理得：（2y）+x=（x+y），即：2x=3y…② 联合①②得：x=3，y=2； 故应选A．

【点评】本题考点三角形相似的性质和勾股定理的应用．首先根据△ADE和△ACB有两个角相等判定△ADE∽△ACB，然后根据三角形的性质相似三角形周长的比等于对应边长的比得出AC的长度，然后利用勾股定理结合周长的计算公式算出BC的值．

二、填空题（每小题3分，共18分） 11．图中三角形的个数有8个．

222

【考点】三角形．

【分析】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，所以图中的三角形以E为一个顶点的有△CBE、△CDE、△ABE、△ADE，和不以E为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．

【解答】解：以E为一个顶点的有△CBE、△CDE、△ABE、△ADE，和不以E为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．

【点评】在数三角形的个数时，注意不要忽略一些大的三角形． 12．如图，D是△ABC边BC上的一点，AB=AC，添加条件BD=CD，可使得△ABD≌△ACD．

【考点】全等三角形的判定．

【分析】添加条件：BD=CD，可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD． 【解答】解：添加条件：BD=CD， 在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS）． 故答案为：BD=CD．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13．已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A=42°，∠B=76°，BC=25cm，则BC的对应边是EF，∠F=62°，EF=25cm． 【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质得到答案． 【解答】解：∵∠A=42°，∠B=76°， ∴∠C=62°，

∵△ABC≌△DEF，

∴BC的对应边是EF，即EF=BC=25cm，∠F=∠C=62°， 故答案为：EF；62°；25． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

14．如图，△ABC的内角平分线BP和外角平分线CP交于点P，∠A=52°，则∠P=26°．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∠P+∠PBC+∠PCB=180°，再由角平分线的定义得出∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCA，整理即可得出∠P的度数．

【解答】解：∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACD， ∴∠ABC=2∠PBC，∠ACD=2∠PCA，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠P+∠PBC+∠PCB=180°， ∴∠A+2∠PBC+∠ACB=180°， ∠P+∠PBC+∠PCA+∠ACB=180°， ∴∠A+∠PBC=∠P+∠PCA，

∵∠PCA=，

∴∠A+∠ABC=∠P+90﹣∠BCA， ∴∠P=（∠BCA+∠ABC）+∠A﹣90°， ∴∠P=（180°﹣∠A）+∠A﹣90°， ∴∠P=∠A，

∵∠A=52°， ∴∠P=26°， 故答案为26°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，根据角平分线的定义把角进行转化是解题的关键．

15．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别是AC、BD，CE的中点，且S△ABC=6平方厘米，则S△AEF的值为3平方厘米．

【考点】三角形的面积． 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后求解即可．

【解答】解：∵D是AC的中点， ∴S△BAD=S△BCD=S△ABC=×6=3cm， ∵E是BD的中点，

∴S△ADE=S△CDE=×3=cm， ∴S△AEF=S△ADE+S△CDE=+=3cm．

故答案为：3．

【点评】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．

16．如图，图2和图3都是由若干个图1所示的三角形拼成的，按此规律拼下去，那么第n

2

个图中有图1所示的三角形n个．

2

2

2

【考点】规律型：图形的变化类．

2

【分析】观察图形可知，第一个图中有1个小三角形，可以写成1；第二个图形有1+3=4

22

个小三角形，可以写成2；第三个图形有1+3+5=9个小三角形，可以写成3；…由此得出

2

第n个图形中有1+3+5+7+…+2n﹣1=n个小三角形．

2

【解答】解：∵第一个图中有1个小三角形，可以写成1；

2

第二个图形有1+3=4个小三角形，可以写成2；

2

第三个图形有1+3+5=9个小三角形，可以写成3； …

∴第n个图形中有1+3+5+7+…+2n﹣1=n个小三角形．

2

故答案为：n．

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：

①分别在BA和CA上取BE=CG；

2

②在BC上取BD=CF；

③量出DE的长a米，FG的长b米．

如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？

【考点】全等三角形的应用． 【专题】证明题．

【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B=∠C． 【解答】解：这种做法合理． 理由：

在△BDE和△CFG中，

．

∴△BDE≌△CFG（SSS）， ∴∠B=∠C．

【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．

18．已知：如图，五边形ABCDE中，∠A=107°，∠B=121°，∠C=132°．求证：AE∥CD．

【考点】多边形内角与外角；平行线的判定． 【专题】证明题．

【分析】根据五边形的内角和，可得∠AED与∠CDE的关系，根据平行线的判定，可得答案．

【解答】证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5﹣2）×180°=540°， ∴∠D+∠E=540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C=540°﹣107°﹣121°﹣132°=180°， ∴AE∥CD．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用五边形的内角和得出（∠D+∠E）的度数是解题关键．

19．如图，给出五个等量关系：①AD=BC；②AC=BD；③CE=DE；④∠D=∠C；⑤∠DAB=∠CBA．

请你以其中两个为条件，另外三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】开放型．

【分析】选择由①②推出③④⑤，理由是根据SSS证△DAB≌△CBA，推出④⑤，根据AAS证△DAE≌△CBE，能推出③． 【解答】已知AD=BC，AC=BD，

求证CE=DE，∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 证明：在△DAB和△CBA中

∵，

∴△DAB≌△CBA（SSS）， ∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA， 在△DAE和△CBE中 ∵

，

∴△DAE≌△CBE（AAS）， ∴CE=DE，

即由条件①②能推出结论③，或④，或⑤．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，主要考查学生能否灵活运用性质进行推理，题目比较好，难度适中．

20．如图，小华在空旷的操场上向右行走20米后，接着向左转60°，再向前行走20米，再接着向左转，再向前行走20米，…这样一直走下去．

（1）请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系．

（2）小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由．

【考点】多边形内角与外角． 【分析】（1）根据题意先画出示意图，然后观察两直线的位置关系并回答即可．

（2）根据题意，小华走过的路程是正多边形，先用360°除以60°求出边数，然后画出图形即可．

【解答】解：（1）如图1所示：

该次行走路线与首次行走路线平行． （2）能．

张大爷每次都是沿直线前进20米后向左转60度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n=360°÷60°=6，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了6×20=120m． 答：小华第一次回到原出发点所走过的路程为120米．

【点评】本题主要考查的是正多边形、多边形的外角与内角，掌握正多边形的性质是解题的关键．

21．如图，正方形网格的每一个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在正方形的顶点上，完成下面问题： （1）△ABC的面积为6；

（2）作出△ABC边AB上的高CH（不写作法）； （3）已知AB=5，求CH的长．

【考点】勾股定理；三角形的面积；作图—复杂作图． 【分析】（1）利用网格得出AC，BC的长，再利用直角三角形面积求法得出答案； （2）利用网格得出△ABC边AB上的高CH； （3）利用三角形面积得出CH的长．

【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积为：×3×4=6； 故答案为：6；

（2）如图所示：CH即为所求；

（3）由（1）得：CH×5=6， 解得：CH=

．

【点评】此题主要考查了三角形面积以及复杂作图等知识，正确利用网格得出CH的位置是解题关键．

22．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF． （1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；

（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF＞EF． 【解答】解：（1）∵BG∥AC， ∴∠DBG=∠DCF． ∵D为BC的中点， ∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF， 在△BGD与△CFD中，

∵

∴△BGD≌△CFD（ASA）． ∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF． ∵△BGD≌△CFD， ∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥FG，

∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）． ∴在△EBG中，BE+BG＞EG， 即BE+CF＞EF．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC （1）求证：AM平分∠DAB；

（2）若AD=5，BC=4，求四边形ABCD的面积．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）过M作ME⊥AD于E，根据角平分线性质求出ME=MC=MB，再根据角平分线性质求出即可；

（2）过M作ME⊥AD于E根据角平分线的性质得到ME=BM=BC=2，证得Rt△AEM≌Rt△ABM，同理Rt△DCM≌Rt△DEM，于是得到四边形ABCD的面积=2S△AMD=2××5×2=10．

【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E， ∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD， ∴MC=ME，

∵M为BC的中点， ∴BM=MC=ME，

∵∠B=90°，ME⊥AD， ∴AM平分∠DAB；

（2）过M作ME⊥AD于E，∵∠B=90°， ∴ME=BM=BC=2， 在Rt△AEM与Rt△ABM中，∴Rt△AEM≌Rt△ABM， 同理Rt△DCM≌Rt△DEM，

∴四边形ABCD的面积=2S△AMD=2××5×2=10．

，

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

24．如图：一幅三角板如图放置，等腰直角△ABC固定不动，另一块△DEF的直角顶点放在等腰直角△ABC的斜边AB中点O 处，且可以绕点O旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AC、BC上．

（1）在旋转过程中线段BH和CG大小有何关系？证明你的结论． （2）若AC=BC=4cm，在旋转过程中四边形GCHD的面积是否不变？若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）BG=CH，连接BD，利用等腰直角三角形的性质可以证明△BDH≌△CDG，然后利用全等三角形的性质可以得到BH=CG；

（2）根据（1）的结论容易得到S四边形GCHD=S△BDC，而S△BDC可以根据已知条件直接求出，所以四边形GCHD的面积就可以求出了． 【解答】解：连接CD．

（1）∵△ABC为等腰直角三角形，且D是AB的中点， ∴∠B=∠ACD=45°，BD=CD，∠BDH+∠CDH=90°， 又因为∠EDC+∠CDH=90°， ∴∠BDH=∠CDG．

在△BDH和△CDG中，，

∴△BDH≌△CDG． ∴BH=CG．

（2）在旋转过程中四边形GCHD的面积不变， ∵△BDH≌△CDG，

∴四边形GCHD的面积=△CDB的面积． ∵D是AB的中点， ∴△CBD的面积=S△ABC=

2

=4cm．

2

∴S四边形GCHD=4cm． 【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，还有图形变换，证得△BDH≌△CDG是解题的关键．

25．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN （1）求证：AM=BN；

（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证明）；

（3）如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN，进而就可以得出△APM≌△PBN，得出结论； （2）由（1）中的方法证得△APM≌△PBN，得出图2中，BN=AB+BM；得出图3中，BN=BM﹣AB；

（3）由等边三角形的性质得出∠ABP=∠PMN=60°，就可以得出∠PBM=120°，求得∠BMP=30°，进而就可以得出∠BMN=90°，得出结论． 【解答】（1）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形， ∴∠BPA=∠MPN=60°，AB=BP=AP，PM=PN=MN， ∴∠BPA﹣∠MPB=∠MPN﹣∠MPB， ∴∠APM=∠BPN． 在△APM≌△PBN中

，

∴△APM≌△PBN（SAS）， ∴AM=BN．

（2）解：图2中BN=AB+BM； 图3中BN=BM﹣AB．

（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形， ∴∠ABP=∠PMN=60°，AB=PB， ∴∠PBM=120°， ∵BM=AB=PB， ∴∠BMP=30°，

∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90°， ∴MN⊥AB．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

（2）解：图2中BN=AB+BM； 图3中BN=BM﹣AB．

（3）证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形， ∴∠ABP=∠PMN=60°，AB=PB， ∴∠PBM=120°， ∵BM=AB=PB， ∴∠BMP=30°，

∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90°， ∴MN⊥AB．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

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