等差等比数列经典例题以及详细答案

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合 3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为a?d,a,a?d

2??(a?d)?(a?d)?(a?4)∴ ? 2??(a?d)(a?d?32)?a222??a?d?a?8a?16(1)∴ ?2 22??(a?d)?32(a?d)?a(2)∴ a?8a?16?32?32d?a

222?3a?4d?0代入（1）

1?d2??8?(4d?2)?16

33d2?32d?64?0 (3d?8)(d?8)?0 826 a? 3921050∴ 此三数为2、16、18或、?、

999① d?8 a?10 ② d?

q?(0,1)，[例2] 等差数列{an}中，a1??393，b1?2，a2?a3??768，{bn}是等比数列，

{bn}所有项和为20，求：

（1）求an,bn （2）解不等式

am?1???a2m??160b2

m?1解：（1）∵ 2a1?3d??768 ∴ d?6

∴ an?6n?399 ∴ bn?2?(b19 ?20 q?101?q9n?1) 101m(am?1?a2m)9不等式?2??160?2?

m?1101?m(6m?393?12m?399)??16?18?(m?1)

29m2?396m?16?18?(m?1)?0

m2?12m?32?0

(m?4)(m?8)?0 m?{4,5,6,7,8}

[例3] {an}等差，{bn}等比，a1?b1?0，a2?b2?0，a1?a2，求证：an?bn(n?3)

解：a2?b2?a1?d?a1q ∴ d?a1(q?1)

bn?an?a1qn?1?a1?(n?1)d?a1[(qn?1?1)?(n?1)(q?1)] ?a1[(q?1)(qn?2?qn?3???1)?(n?1)(q?1)] ?a1(q?1)[(qn?2???1)?(n?1)]

?a1(q?1)[(qn?2?1)?(qn?3?1)???(q?1)?(1?1)]*

q?(0,1) q?1?0 qn?1?0 ∴ *?0 q?(1,??) q?1?0 qn?1?0 ∴ *?0

∴ n?N n?3时，bn?an

[例4] （1）求Tn；（2）Sn?T1?T2???Tn，求Sn。

?a4?a5?a6?a7??48?a1??21解：? ??a?a???a?0d?2?915?8Tn中共2n?1个数，依次成等差数列

T1~Tn?1共有数1?2???2n?2?2n?1?1项

∴ Tn的第一个为a2n?1??21?(2n?1?1)?2 ∴ Tn?2n?1?(2n?23)?1n?1(2)?(2n?1?1)?2 2?22n?1?23?2n?1?22n?2?2n?1 ?3?22n?2?3?2n?2

Sn?T1?T2???Tn

?3[(20?22???22n?2)?(23???2n?2)]

1(1?4n)23(1?2n)?3?[?]?4n?1?3?2n?3?24

1?41?2?4n?24?2n?23?(2n?23)(2n?1)

?a1?a2???a2n?1

t?2t2[例5] 已知二次函数y?f(x)在x?处取得最小值?(t?0)，f(1)?0

24（1）求y?f(x)的表达式；

n?N，（2）若任意实数x都满足等式f(x)?g(x)?anx?bn?xn?1[g(x)]为多项式，

试用t表示an和bn；

（3）设圆Cn的方程为(x?an)2?(y?bn)2?rn2，圆Cn与Cn?1外切(n?1,2,3,?)；

*{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn,Sn。

t?22t2)? 解：（1）设f(x)?a(x?242由f(1)?0得a?1 ∴ f(x)?x?(t?2)x?1

（2）将f(x)?(x?1)[x?(t?1)]代入已知得：

(x?1)[x?(t?1)]g(x)?anx?bn?xn?1

上式对任意的x?R都成立，取x?1和x?t?1分别代入上式得：

?an?bn?11n?1t?0a?[(t?1)?1]，且，解得?nn?1t?(t?1)an?bn?(t?1)bn?t?1[1?(t?1)n] t（3）由于圆的方程为(x?an)2?(y?bn)2?rn2

又由（2）知an?bn?1，故圆Cn的圆心On在直线x?y?1上 又圆Cn与圆Cn?1相切，故有rn?rn?1?设{rn}的公比为q，则

n?1??rn?rnq?2(t?1)?1? ?n?2??rn?1?rn?1q?2(t?1)?2?2|an?1?an|?2(t?1)n?1

r<2>÷<1>得q?n?1?t?1 代入<1>得rn?rn∴ Sn??(r?r???r)?21222n2(t?1)n?1

t?2?r12(q2n?1)q2?1

2?(t?1)42n?[(t?1)?1] 3t(t?2)

[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（1.008?1.1)

分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。

解析一：设每期应付款x元

第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1?0.008)元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1?0.008)元，??，第12期付款没有利息，所以各期付

1011121.00812?1x 款连同利息之和为x(1?1.008???1.008)?1.008?111又所购电器的现价及利息之和为2000?1.008

12

1.00812?1x?2000?1.00812 ∴

1.008?116?1.00812?176元 解得x?121.008?1∴ 每期应付款176元

解析二：设每期付款x元，则

第1期还款后欠款2000?(1?0.008)?x

第2期还款后欠款(2000?1.008?x)?1.008?x?2000?1.0082?1.008x?x ??

12第12期还款后欠款为2000?1.008?(1.00811?1.00810???1)x

第12期还款后欠款应为0

12∴ 2000?1.008?(1.00811?1.00810???1)x?0

2000?1.00812解得x??176元 121.008?11.008?1∴ 每期应还款176元

[例7] 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n?N?都有

333a1?a2??an?(a1?a2???an)2，记Sn为数列{an}的前n项和。

2（1）求证：an?2Sn?an；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若bn?3n?(?1)n?1??2a，（?为非零常数，n?N?），问是否存在整数?，使得对任意n?N?都有bn?1?bn。

32解：（1）在已知式中，当n?1时，a1?a1

∵ a1?0 ∴ a1?1

33332当n?2时，a1?a2???an?1?an?(a1?a2???an?1?an) ① 3332 ② a1?a2???an?(a?a???a)?112n?1

3①－②得an?an(2a1?2a2???2an?1?an)

22∵ an?0 ∴ an?2a1?2a2???2an?1?an，即an?2Sn?an 2∵ a1?1适合上式 ∴ an?2Sn?an(n?N?) 2（2）由（1）知，an?2Sn?an(n?N?) ③ 2当n?2时，an?1?2Sn?1?an?1 ④

22③－④得an?an?1?2(Sn?Sn?1)?an?an?1?2an?an?an?1?an?an?1

∵ an?an?1?0 ∴ an?an?1?1

∴ 数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an?n （3）∵ an?n ∴ bn?3n?(?1)n?1??2

[例8] 已知点Aa(n,an)为函数F1:y?*an?3n?(?1)n?1??2n

x2?1上的点，Bn(n,bn)为函数F2:y?x上的

点，其中n?N，设cn?an?bn(n?N*)

（1）求证：数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列； （2）试比较cn与cn?1的大小。 （1）证：由已知an?n2?1，bn?n ∴ cn?an?bn?n2?1?n

假设{cn}是等差数列，则必有2c2?c1?c3?（1） 而2c2?2(22?1?2)?2(5?2)

c1?c3?(11?1?1)?(32?1?3)?2?10?4

由（1）?25?2?10?2?5矛盾

∴ {cn}不是等差数列

假设{cn}是等比数列，则必有c2?c1?c3 即(5?2)2?(2?1)(10?3)

26(1?5)??32?10 即47?215矛盾

∴ {cn}不是等比数列

综上所述，{cn}既不是等差数列，也不是等比数列 （2）cn?1?(n?1)2?1?(n?1)?0 cn?n2?1?n?0

c∴ n?1?cn∵ 0?(n?1)2?1?(n?1)n?1?n2?n2?1?n(n?1)?1?(n?1)2

n2?1?(n?1)2?1

0?n?n?1 ∴ 0?n2?1?n(n?1)?1?(n?1)2?1

∴ 0?

cn?1?1 又∵ cn?0 ∴ cn?cn?1 cn[例9] 设f(x)?1x，x?f(x)有唯一解，f(x1)?，f(xn)?xn?1(n?N*)

1003a(x?2)（1）求x2004的值；

22an4?1?an（2）若an?且bn?求证： ?4009。b1?b2???bn?n?1；(n?N*)，

xn2an?1an*（3）是否存在最小整数m，使得对于任意n?N有xn?m成立，若存在，求出m2005的值；若不存在，说明理由。

（1）解：由x?x，可以化为ax(x?2)?x

a(x?2)∴ ax?(2a?1)x?0 ∴ 当且仅当a?从而f(x)?21时，x?f(x)有唯一解x?0 22xn2x 又由已知f(xn)?xn?1 得?xn?1 x?2xn?2∴

111111??，即??(n?N*) xn?12xnxn?1xn2111}是首项为，公差为的等差数列

2xnx1∴ 数列{

∴

11n?12?(n?1)x ???xnx122x1∴ x?2x1

(n?1)x1?22x1121 ∴ ，即x1? ?10032005x1?21003∵ f(x1)?222005∴ xn? ?2n?2004(n?1)??2200521?故x2004?

2004?200420042n?2004?4?4009?2n?1 （2）证明：∵ xn? ∴ an?n?200422?22an?an(2n?1)2?(2n?1)24n2?1?1∴ bn? ??22anan?12(2n?1)(2n?1)4n?1?1?211?1??

(2n?1)(2n?1)2n?12n?1∴ b1?b2???bn?n

11111?(1?1?)?(1??)???(1??)?n

3352n?12n?11?1??1

2n?12（3）解：由于xn?

n?20042m?(n?N*)恒成立 若

n?2004200522m2)max??∵ ( ∴

n?2004200520052005∴ m?2，而m为最小正整数 ∴ m?3

22[例10] 数列{an}是公差d?0的等差数列，其前n项和为Sn，且a10?1,a9?a15。

（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn的最大值；

（3）将Sn表示成关于an的函数。

解：（1）因为y?x1?x?1?11?x 所以，函数y?x1?x(0?x?1)是增函数 由已知aann?1?1?a，0?an?1 n所以0?a1n?1?2 （2）因为aann?1?1?a(n?N*)，所以1a?1?an?1?1 nn?1anan所以

11*a?a?1(n?N)即数列{1}是首项为1，公差为n?1nana1的等差数列

所以

1a?1?(n?1)，aan?na1?(n?1)a(n?N*)

（3）由已知aan?1?(n?1)a?11?1（∵ 0?a?1）

a?(n?1)n所以a1a2aa2?3?34???n111n?1?1?1?2?3???n?(n?1)?1?1n?1?1 （答题时间：45分钟）

1. 数列{a1n}的通项公式是an?n?n?1，若前n项和为10，则项数n为（ A. 11

B. 99

C. 120

D. 121

2. 数列11,31,51248,7116,?,(2n?1)?12n,?的前n项之和为Sn，则Sn的值等于（A. n2?1?1212n B. 2n?n?1?2n

C. n2?1?1212n?1 D. n?n?1?2n

3. 数列{a?2n2n}的前n项和Sn?3n?1，则a4?a5?a6???a10?（ ）A. 171 B. 21

C. 10

D. 161

4. 已知

1?3?5???(2n?1)2?4?6???2n?115116(n?N*)，则n的值为（ ）

A. 110 B. 115 C. 116 D. 231

5. 一个正整数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：

）

【模拟试题】 ）

则第8行中的第5个数是（ ）

A. 68 B. 132 C. 133 D. 260

6. 农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其他收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）

A. 4200元—4400元 B. 4400元—4600元 C. 4600元—4800元 D. 4800元—5000元 7. 数列{an}中，a1??60，且an?1?an?3，则这个数列前30项的绝对值的和是（ ） A. 700 B. 765 C. －495 D. 495 8. 数列5，55，555，?的前n项和为（ ） A.

5(10n?1)?n 9

B. 10?1

n50(10n?1)5n?C.

81950(10n?1)?n D.

819. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1?2?1?2?0?2?1?2?13，那么将二进制数

3210(111?11)2转换成十进制形式是（ ） ?????16位A. 217?2 B. 216?2 C. 216?1 D. 215?1

10. 数列{an}前n项和Sn与通项an满足关系式Sn?nan?2n2?2n(n?N*)，则

a100?a10的值为（ ）

A. －90

B. －180

C. －360

D. －400

11. 数列1?n,2(n?1),3?(n?2),4?(n?3),?,n?1的和为（ ）

1n(n?1)(n?2) 61C. n(n?2)(n?3)

3A.

*

1n(n?1)(2n?1) 61D. n(n?1)(n?2)

3B.

12. 设{an}(n?N) 等差数列，Sn是其前n项和，且S5?S6,S6?S7?S8，则下列结论错误的是（ ）

A. d?0

B. a7?0

C. S9?S5 D. S6与S7均为Sn的最大值

13. 已知集合An?{x|2n?x?2n?1,且x?7m?1,m,n?N*}，则A6中各元素之和为（ ）

A. 792

B. 890

C. 891

D. 990

2??n(n为奇数时)14. 已知函数f(n)??且an?f(n)?f(n?1)，则a1?a2??a0012???n(当n为偶数时)等于（ ）

A. 0 B. 100

C. －100 D. 10200

15. 设数列{an}的前n项和为Sn，且an?3?4Sn （1）求证{an}是等比数列。 （2）求log5(a1a3a5?a19)的值。

16. 已知数列{an}中，an?an?1?2n，(n?2)，a1?2 （1）求a2,a3,a4。 （2）求an。 （3）求和

111????。 a1a2an217. 已知数列{an}，a1?1，且数列{an}前n项和Sn等于第n项的n倍 （1）求a2,a3,a4。（2）求通项an。（3）求数列{an}前n项和Sn。

【试题答案】

1. C 2. A 9. C 10. C 15.

3. D 11. A

4. B 12. C

5. B 13. C

6. B 14. B

7. B

8. C

解：（1）当n?2时，an?Sn?Sn?1 由an?3?4Sn得an?1?3?4Sn?1 ∴ an?an?1??4(Sn?Sn?1) ∴ an?an?1??4an ∴ 5an?an?1

an1? ∴ {an}是等比数列 an?153 5（2）当n?1时a1?S1 ∴ a1?3?4a1 ∴ a1?31n?13()?n 5553333∴ a1a3a5?a19??3?5???19

5555∴ an??31051?3?5???19?531010(1?19)2310?100 531010100∴ 原式?log5100?log53?log55?10log53?100

516.

解： （1）由an?an?1?2n，a1?2，求得a2?6,a3?12,a4?20 （2）由an?an?1?2n及an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1 知an?2n?2(n?1)???2?2?2?n(n?1) （3）∵

1111??? ann(n?1)nn?1于是

11111111?????(1?)?(?)???(?) a1a2an223nn?11n? n?1n?12?1?17.

解：（1）依题意知Sn?nan

又由Sn?1?(n?1)2an?1及an?Sn?Sn?1知

an?n2an?(n?1)2an?1(n?2)

n?1an?1(n?2) n?11121∵ a1?1，则a2?a1?，a3?a2?

33463311a4?a3???

55610∴ an?（2）∵

ann?1 ?an?1n?1则an?anan?1a2???a1 an?1an?2a1?n?1n?212????1? n?1n3n(n?1)211?2(?)

n(n?1)nn?112n)? n?1n?1（3）∵ an?∴ Sn?a1?a2???an?2(1?

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