2014届高三数学一轮复习 排列与组合提分训练题
更新时间:2023-06-09 13:00:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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排列与组合
一、选择题
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为
( ).
A.42 B.30 C.20 D.12
解析 可分为两类:两个节目相邻或两个节目不相邻,若两个节目相邻,则有A2A6=12种排法;若两个节目不相邻,则有A6=30种排法.由分类计数原理共有12+30=42种排法(或A7=42). 答案 A
2.a∈N,且a<20,则(27-a)(28-a) (34-a)等于( )
827-a78
A.A27-a B.A34-a C.A34-a D.A34-a
8
解析 A34-a=(27-a)(28-a) (34-a). 答案 D
3.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有( )
A.252个 B.300个 C.324个 D.228个
21213
解析 (1)若仅仅含有数字0,则选法是C3C4,可以组成四位数C3C4A3=12×6=72个;
12123
(2)若仅仅含有数字5,则选法是C3C4,可以组成四位数C3C4A3=18×6=108个;
113
(3)若既含数字0,又含数字5,选法是C3C4,排法是若0在个位,有A3=6种,若5在个位,
211
有2×A2=4种,故可以组成四位数C3C4(6+4)=120个. 根据加法原理,共有72+108+120=300个. 答案 B
4.2013年春节放假安排:农历除夕至正月初六放假,共7天.某单位安排7位员工值班,每人值班1天,每天安排1人.若甲不在除夕值班,乙不在正月初一值班,而且丙和甲在相邻的两天值班,则不同的安排方案共有( ) A.1 440种 C.1 282种
B.1 360种 D.1 128种
*
2
2
21
解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法:
如果不考虑“乙不在正月初一值班”,则安排方案有:A6·A2=1 440种, 如果“乙在正月初一值班”,则安排方案有:C1·A4·A2·A4=192种, 若“甲在除夕值班”,则“丙在初一值班”,则安排方案有:A5=120种. 则不同的安排方案共有1 440-192-120=1 128(种). 答案 D
5.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( ).
5
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2
1
A. 16种 B.36种 C.42种 D.60种
解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,每个城市一项,共A4种方法;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,一个城市一项、一个城市两项共C3A4种方法,由分类计数原理知共A4+C3A4=60种方法. 答案 D
6.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( ).
A.30种 B.35种 C.42种 D.48种
解析 法一 可分两种互斥情况:A类选1门,B类选2门或A类选2门,B类选1门,共有C3C4+C3C4=18+12=30(种)选法.
法二 总共有C7=35(种)选法,减去只选A类的C3=1(种),再减去只选B类的C4=4(种),共有30种选法. 答案 A
7.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( ). A.24 B.48 C.72 D.96 解析 A5-2A2A3A2-A2A2A3=48. 答案 B 二、填空题
8.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种.(以数字作答)
解析 ①只有1名老队员的排法有C2·C3·A3=36种. ②有2名老队员的排法有C2·C3·C2·A2=12种; 所以共48种. 答案 48
9.将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案种数是________.
解析 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排一名学生有C4A3种分配方案,其中甲同学分配到A班共有C3A2+C3A2种方案.因此满足条件的不同方案共有C4A3-C3A2-C3A2=24(种). 答案 24
10.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求男、女医生都有,则不同的组队方案共有________种.
解析 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况,或者用间接法.
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3
直接法:C5C4+C5C4=70.
333
间接法:C9-C5-C4=70. 答案 70
11.有五名男同志去外地出差,住宿安排在三个房间内,要求甲、乙两人不住同一房间,且每个房间最多住两人,则不同的住宿安排有________种(用数字作答).
13
解析 甲、乙住在同一个房间,此时只能把另外三人分为两组,这时的方法总数是C3A3=18,
122C5C4C23
而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配,方法数是23=90,故不同的住宿安
A2
排共有90-18=72种. 答案 72
12.某车队有7辆车,现要调出4辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字).
解析 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C5种选法,连同甲、乙共4辆车,排列在一起,选从4个位置中选两个位置安排甲、乙,甲在乙前共有C4种,最后,安排其他两辆车共有A2种方法,∴不同的调度方法为C5·C4·A2=120种. 答案 120 三、解答题
13.有六名同学按下列方法和要求分组,各有不同的分组方法多少种? (1)分成三个组,各组人数分别为1、2、3;
(2)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为1、2、3; (3)分成三个组,各组人数分别为2、2、2;
(4)分成三个组去参加三项不同的试验,各组人数分别为2、2、2; (5)分成四个组,各组人数分别为1,1,2,2;
(6)分成四个组去参加四项不同的活动,各组人数分别为1、1、2、2.
123
解析 (1)即C6C5C3=60.
1233
(2)即C6C5C3A3=60×6=360.
222C6C4C2
(3)即315.
A3222
(4)即C6C4C2=90.
1122C6C5C4C2
(5)即2245.
A2A21122
(6)C6C5C4C2=180.
14.要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法? (1)至少有1名女生入选;(2)至多有2名女生入选;(3)男生甲和女生乙入选;(4)男生甲和女生乙不能同时入选;(5)男 生甲、女生乙至少有一个人入选. 解析 (1)C12-C7=771; (2)C7+C5C7+C5C7=546; (3)C2C10=120; (4)C12-C2C10=672; (5)C12-C10=540.
15.在m(m≥2)个不同数的排列p1p2 pm中,若1≤i<j≤m时pi>pj(即前面某数大于后面
3
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14
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2
2
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1221
某数),则称pi与pj构成一个逆序,一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1) 321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a2=3,排列4 321的逆序数a3=6. (1)求a4、a5,并写出an的表达式; (2)令bn=
anan+1
2n<b1+b2+ +bn<2n+3,n=1,2, . an+1an
2
2
2
解析 (1)由已知条件a4=C5=10,a5=C6=15,则an=Cn+1=(2)证明 bn=
1anan+1nn+2 1
+=2+2 an+1ann+2n nn+2
nn+
2
.
∴b1+b2+ +bn
1111 11111-=2n+2 1--++ +
n-1n+1nn+2 32435 113-=2n+2,
2n+1n+2 ∴2n<b1+b2+ +bn<2n+3.
16.已知10件不同的产品中有4件次品,现对它们一一测试,直至找到所有4件次品为止. (1)若恰在第2次测试时,才测试到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试方法?
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品,则共有多少种不同的测试方法?
解析 (1)若恰在第2次测试时,才测到第一件次品,第8次才找到最后一件次品,若是不放回的逐个抽取测试.
第2次测到第一件次品有4种抽法; 第8次测到最后一件次品有3种抽法;
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A5种抽法;剩余4次抽到的是正品,共有A4A5A6=86 400种抽法.
(2)检测4次可测出4件次品,不同的测试方法有A4种, 检测5次可测出4件次品,不同的测试方法有4A4A6种;
检测6次测出4件次品或6件正品,则不同的测试方法共有4A5A6+A6种. 由分类计数原理,满足条件的不同的测试方法的种数为 A4+4A4A6+4A5A6+A6=8 520.
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