研究生高等代数复习题 - 图文

1.设?是数域P上线性空间V的线性变换且A2?A,证明:

（1）?的特征值为1或0；（2）A?1(0)????A(?)??V?;（3）

V?A?1(0)?A(V).

2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间W的正交补W?也是?

的不变子空间．

?1234??3.已知复系数矩阵

A??0123????001?， （1） 求矩阵2A的行列式因子、不变因子

?0001??和初等因子；（2）若当标准形.（15分）

4.已知二次型

f(x221,x2,x3)?2x1?3x2?3x2，

(a?0)通过某

3?2ax2x3个正交变换可化为标准形f?y222（1）写出二次型对应的矩阵A及1?2y2?5y，

3A的特征多项式，并确定

a的值； （2）求出作用的正交变换.

6.

设

A为

n阶方阵，

W1??x?Rn|Ax?0?，

W??x?Rn|(A?E)x?0?证明

A为幂等矩阵，则Rn2?W1?W.

2

7.若设W=

?f(x)f(1)?0,f(x)?R[x],

n?证明：W是

R[x]n的子空间，并求出W的一组基及维数.

8.设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,L,?m为V中的正交向量组，令

W???(?,?)?0,??V,i?1,2,L,m?

i（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：W??L??,.

1?2,L,?m?

?3?100??9.试求矩阵?1100?A???3053??的特征多项式、最小多项式. ? ?4?13?1??

10.在线性空间

Pn中定义变换?：?(x1,x2,L,xn)?(0,x2,L,xn)

（1）证明：?是

Pn的线性变换.（2）求值域?(Pn)及核??1(0)的基和维数.

n11.证明二次型f(x2n1,L,xn)?n?xi?(?x2i) (n?2)是半正定

i?1i?1的.

f(x22?x212.求

?的值，使

1,x2,x3,x4)??(x1?x23)?2x1x2?2x2x3?2x1x3?x24是正定二次型. （12分）

?11?1?13.设

A?????3?33???（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形. ?2?22??

?2?1?11?14.设R4?的线性变换?在标准基下的矩阵为??121?1?A???， ??112?1??1?1?12??（1）求?的特征值和特征向量， （2）求

R4的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.

15.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，线性变换?在这组基下的矩阵为

?1021???1213?A????1??（1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域. 255?2?21?2??

16.求正交变换使二次型2x2?4xx?x2?4x2x化为标准形，并判定该二次型是

11223否正定.

17.设

e,e,L,e是5维的5的一组标准正交基，

125欧几里得空间

R?1?e2?e3,?2??e?eV12?e4,?，求1?L(?1,?2?,3，其中)3V的一组

?4e11?5e2?e5标准正交基.

18. 设A?(a)是

,i?jijn?n矩阵，其中aij??a1,i?j （1）求

detA的值；（2）设W??XAX?0?，求W的维数及W的一组基.

19.

设

?

是

线

性

空间

R3上的线性变换，满足???(x,y,z)?R3,T(?)?(x?y,y?z,z?x)?，

求

?

在

基

?(0?,1,?1),??下的矩阵(1,. 0,1),(1,1,

20.设?是

n维线性空间V上的线性变换，?1,?,L,?是V的一组基.

2n如果?是单射，则A?1,A?,L,A?n也是一组基.

2

21.二次型

f(x,x 2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，1）写出二次型f的矩阵A1；

2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将

f化为标准形.

0)

?31?1?22.求方阵A?????131???的不变因子、初等因子和若当标准形. 022?? 23.设V是n维欧氏空间，n

?3, 给定非零向量

??V，令

??:V?V:?a??(2?,??)证明：（1）

是正交变换；（2）如果

(?,?)???1,?2,?3,L,?n是正交基，则存在不全为零实数k1,k2,Lkn使得

k1???k2?k1??L?n??是V上的恒等变换.

2n

24.V1,V2是x1?x2?L?xn?0和xi?xi?1?0,i?1,2,L,n?1的解空间,

则Pn?V1?V2.

25.设?和?是线性空间P[x]中依据如下方式定义的两个线性变换： ?(f(x))?f?(x)，?(f(x))?xf(x)，求?????.

26.设欧氏空间中有?,?1,?2,L,?n，??0．W1?L(?1,?2,L,?n)，

W2?L(?,?1,?2,L,?n)，证明：如果(?,?i)?0，那么dimW1?dimW2．

27.求实二次型 f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?4x1x4?2x2x的规范形及

3符号差.（15分）

28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，??1，??1，

(??1)2(??2)(??3)3，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.

29.设V为数域P上的n维线性空间，且V?L(?1,?2,L,?n)

(1）证明：{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}是V的一组基；

(2) 若??V在基{?1,?2,L,?n}下的坐标为(n,n?1,L,21)，

求

?在基{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}下的坐标. （14分）

30.在三维空间

P3中，已知线性变换

T在基

?101??1?(?1,1?2,1?),??下的矩阵是0,1?3(1?,?1)1,0?，

求(???T?121??在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵.

31.

在

线

性

空

间

Rn中

，定义(x,y?)?x，Ay?x?(x22?3A????1,x2),y?(y1,y2)?R，其中??6?。 3?（1）证明：(x,y)是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间，

（2）求

R2的一组标准正交基，（3）求矩阵

P，使得

A?P?P.

32.设

R4的两个子空间为：V1???x1,x2,x3,x4?x1?x2?x3?x4?0?,

V2??(x1,x2,x3,x4)x1?x2?x3?x4?0?.求V1?V2与V1IV2的基与维数.

1,1)

33.设V是3维线性空间，?1,?2,?3为它的一个基.线性变换?:V?V，

x1?1?x2?2?x?3a32x?1?13x?2?24x? 30,

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