2012实外西区直升题

2012年直升生选拔考试数学试题

A卷（共100分）

一、选择题：（每小题3分，共30分）

1．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约

为6．71×103

千米，总航程约为(π取3．14，保留3个有效数字) （ ）

A．5．90 ×105千米 B．5．90 ×106千米 C．5．89 ×105千米 D．5．89×106

千米 2．下列运算正确的是（ ）

A a3?a3?2a3 B a3?a3?a6 C (?2x)3??6x3 D a6?a2?a4 3．如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，AC?3，AB?2，则下列结论正确．．

的是 （ ） B A．sinA?32 B．tanA?12 C．cosB?32 D．tanB?3 A

C 4．关于x的一元二次方程x2?ax?a?2?0的根的情况为 （ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根

Ｄ．没有实数根

5．如果用三种不同的正多边形密铺，其中有正四边形．正六边形，那么另一个正多边形是（ ） A．正八边形 B．正七边形 C．正十边形 D．正十二边形 6. 进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（ ）

A．y＝2a(x－1)

B．y＝2a(1－x)

C．y＝a(1－x2) D．y＝a(1－x)2

7．关于二次函数y??2x2?4x?1，下列说法正确．．

的是 （ ） A．图象是开口向上的抛物线 B．图象的对称轴是直线：x??1.

C．点A?x1,y1?和点B?x2,y2?是图象上的两个点,若x1?x2??1,则y1?y2 D．图象可由y??2x2的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到

8. 两圆的半径分别为R和r，（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2

－2rx+(R－d)2

=0有相等的实根，则两圆的位置关系为（ ）

1

Ａ．内切 Ｂ．外切 Ｃ．相交 Ｄ．内切或外切 9．如图，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm， 底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面 9cm 展开扇形的纸片的圆心角度数是（ ） A．150?

B．200? C．180?

D．240?

10cm 10．如图（单位：m），直角梯形ABCD以2m/s的速度沿

Ａ G

F

直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角 梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间 10 D 10

t的函数图象可能是（ ）

5

B 10

C

E

l

Ａ Ｂ C

D

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、函数y?1?xx中，自变量x的取值范围是 ． 12、若方程x2?px?2?0的一个根是?1，则另一个根是______,p?_______

13、如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中

x表示时间，y表示小明离他家的距离，则小明从学校回家的平均速度为 ____________千米∕小时．

14．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位

似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则在第一象限内，点C变换后对应的点的坐标为 ． 三、（每小题6分，共18分） 15、计算：27?(??2)0?4cos30??12?tan60?

16、先化简，再求值：(x?2x2?2x?x?1x2?4x?4)?x2?16x2?4x，其中x?3tan45??tan30?

17、解方程

23x?1?x?1?6x2?1 四、（每小题8分，共16分）

18、如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平

面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）

2

19、如图，一次函数y?kx?b的图象与反比例函数y?n

x

的图象相交于A、B两点． （1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图像写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；

（3）若经过点A、B的抛物线与y轴相交于点C，且△ABC的面积为12，求点C的

坐标．

五、（每小题10分，共20分）

20、如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧上一点，过点M作射线MP交OA的延长线于P点，PM=PN ，MD与OA交于点N。 （1）求证：直线MP是⊙O的切线 （2）若BD=4,PA=

32AO,过B点作BC∥MP 交⊙O于C点，求BC的长．

21. 已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，，0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从

点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒． （1）求直线BC的解析式； B （2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC y 的面积是梯形COAB面积的2D 7？

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中， C 设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式， 并指出自变量t的取值范围； O P A x

B 卷 （共50分）

一、填空题：（每小题4分，共20分）

22、若关于x的一元二次方程(1?2k)x2?2kx?1?0有实数根,则k的取值范围是______________________ 23、如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（-2，0），过点C（2，0）作直线交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该 反比例函数解析式为_________________________;

24、已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标

分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_________________________________________;

25、如图,正方形ABCD内接于⊙O,E为DC的中点,直线BE交⊙O于点F, 如果⊙O的半径为2, 则O点到BE的距离OM=__________________

26、已知二次函数的图像开口向上且不过原点O, 顶点(1, -2),与x轴交于点Ａ、Ｂ，与y轴交于点Ｃ，且满足关系式OC2?OA?OB，则二次函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

F yD C CPBE M O ODA xA B 19 题图

（23题图） （24题图） （25题图）

二、解答题（27题8分,28题10分,29题12分,共30分）

27、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，设该矩形的长QM=ymm，宽MN=xmm。

（1）求y关于x的解析式；

（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

（3）当矩形PQMN的面积最大时，它的长和宽是关于t的一元二次方程t2?10pt?200q?0的两个根，而p、q的值又恰好分别是a，10，12，13，b这5个数据的众数与平均数，试

A求a与b的值。

PN BQDMC

28、如图，⊙O1和⊙O2外切于P，A是⊙O1上一点，AC切⊙O2于C，交⊙O1于B，AP的延长线交⊙O2于D，CP的延长线交⊙O1于E，连AE、PB、CD。

3

29PA2PD?（1）求证：AE∥CD； （2）求证：； （3）当⊙O，AP∶PD=9∶7，2的半径为

3PE2PBtan∠CAD=

3时，求切线AC的长。 4ABPCO2 ⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM上运动时(点N不 与点B，点M重合)，设NQ的长为t，四边形NQAC面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑷将△OAC补成矩形，使得△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)。

29、已知二次函数的图象如图所示：

⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；

O1ED

4

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