2014全国卷（理科数学）精准解析

2014·全国卷(理科数学)

10i

1．[2014·全国卷] 设z＝，则z的共轭复数为( )

3＋iA．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i

10i（3－i）10（1＋3i）10i

1．D [解析] z＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－

103＋i（3＋i）（3－i）3i.

2．、[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )

A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]

2．B [解析] 因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1

3．[2014·全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则( ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b

1

3．C [解析] 因为b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°<1，所以>1，所以

cos 35°sin 35°sin 35°

>sin 35°.又c＝tan 35°＝>sin 35°，所以c>b，所以c>b>a.

cos 35°cos 35°

4．[2014·全国卷] 若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( ) A．2 B.2 C．1 D.

2 2

4．B [解析] 因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋b·a＝0.因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝2|a|＝2. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有21C6C5＝75(种)．

x2y236．[2014·全国卷] 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C

ab3于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

x2y2x22

A.＋＝1 B.＋y＝1 323x2y2x2y2

C.＋＝1 D.＋＝1 128124

6．A [解析] 根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝c3

4a＝43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为

a3x2y2

＋＝1. 32

7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A．2e B．e C．2 D．1

－－－－－－

7．C [解析] 因为y′＝(xex1)′＝ex1＋xex1，所以y＝xex1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e11＋e11＝2，故

－

曲线y＝xex1在点(1，1)处的切线斜率是2.

8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

－

( )

81π27πA. B．16π C．9π D.

44

1

8．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝2.设球心为O，球的半径为R，

2则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，9?281π92?解得R＝，所以球的表面积S＝4πR＝4π×?4?＝. 44

9．[2014·全国卷] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1

＝( )

1122A. B. C. D. 4343

9．A [解析] 根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离c

心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝

a|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2

＝

2|F1F2|·|F2A|

16a2＋4a2－16a21

＝. 42×4a×2a

10．[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )

A．6 B．5 C．4 D．3

16a，1＝?a1q＝2，125?

10．C [解析] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，?4解得所以an＝a1qn

5??a1q＝5，

q＝，2

3

???

－1

5?n－416?5?n－15?＝×?2?＝2×?2?，所以lg an＝lg 2＋(n－4)lg，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋

1252

555

4×?＝4. 4)lg＝8lg 2＋4lg＝4lg??2?22

11．[2014·全国卷] 已知二面角αlβ为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD?β，C∈l，∠ACD＝135°，

则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )

12A. B. 44C.31 D. 42

11．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C作CF∥AB，过点F作FE⊥β，垂足为点E，连接CE，则CE⊥l，所以∠ECF＝60°.过点E作DE⊥CE，交CD于点D1，连接FD1.不妨设FC＝2a，则CE＝a，EF＝3a.因

为∠ACD＝135°，所以∠DCE＝45°，所以，在Rt△DCE中，D1E＝CE＝a，CD1＝2a，∴FD1＝2a，∴cos

4a2＋2a2－4a22

∠DCF＝＝. 42×2a×2a

12．[2014·全国卷] 函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是( )

A．y＝g(x) B．y＝g(－x) C．y＝－g(x) D．y＝－g(－x)

12．D [解析] 设(x0，y0)为函数y＝f(x)的图像上任意一点，其关于直线x＋y＝0的对称点为(－y0，－x0)．根据题意，点(－y0，－x0)在函数y＝g(x)的图像上，又点(x0，y0)关于直线y＝x的对称点为(y0，x0)，且(y0，x0)与(－y0，－x0)关于原点对称，所以函数y＝f(x)的反函数的图像与函数y＝g(x)的图像关于原点对称，所以－y＝g(－x)，即y＝－g(－x)．

xy?8?－13．[2014·全国卷] 的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答) ?yx?

13．70 [解析] 易知二项展开式的通项

Tr＋1＝Cr8

8－rr

?x??－y?＝(－1)rCrx8－3ry3r－4.要求x2y2的系数，需

8

22x??y??

3r3r222222

满足8－＝2且－4＝2，解得r＝4，所以T5＝(－1)4C48xy＝70xy，所以xy的系数为70. 22

x－y≥0，??

14．[2014·全国卷] 设x，y满足约束条件?x＋2y≤3，则z＝x＋4y的最大值为________．

??x－2y≤1，

14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界), z＝x＋4y的最大值即为直线y1111

＝－x＋z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值．

4444

??x－y＝0，由?可得点A的坐标为(1，1)， ?x＋2y＝3，?

所以zmax＝1＋4＝5. 15．、[2014·全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

4

15. [解析] 如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝2，OP＝10，所以PA＝OP2－OA2＝2 2，所以tan32tan∠OPAOA214

∠OPA＝＝＝，故tan∠APB＝＝， 2PA2 221－tan∠OPA3

4

即l1与l2的夹角的正切值等于. 3

ππ

16．、[2014·全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间?，?是减函数，则a的取值范围是________．

?62?16．(－∞，2] [解析] f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈?

1?1ππ?ππ

，1，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈?，1?.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间?，?是减函，，所以t∈??2??2??62??62?

1?aa1

，1上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]． 数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间??2?442

1

17．[2014·全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.

317．解：由题设和正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Ccos A， 故3tan Acos C＝2sin C.

1

因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，

31

所以tan C＝.

2

所以tan B＝tan[180°－(A＋C)] ＝－tan(A＋C) ＝

tan A＋tan C

tan Atan C－1

＝－1，

所以B＝135°. 18．、[2014·全国卷] 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式；

1

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

anan＋1

18．解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0， 于是10＋3d≥0，10＋4d≤0， 105解得－≤d≤－，

32

因此d＝－3.

故数列{an}的通项公式为an＝13－3n. (2)bn＝

1111111??11?－＋－＋…＋＝?10－3n－13－3n?.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝?3?710??47??（13－3n）（10－3n）3?

n?1－1?＝1?1－1?＝?10－3n13－3n?3?10－3n10?10（10－3n）.

19．、[2014·全国卷] 如图11所示，三棱柱ABC A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B;

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 AB C的大小．

19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC. 又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.

连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C. 由三垂线定理得AC1⊥A1B.

(2)BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1. 作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.

又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离， 即A1E＝3.

因为A1C为∠ACC1的平分线，

所以A1D＝A1E＝3.

作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.

由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角．

2由AD＝AA1－A1D2＝1，得D为AC中点，

DF＝5A1D1

，tan∠A1FD＝＝15，所以cos∠A1FD＝. 5DF4

1所以二面角A1 AB C的大小为arccos.

4

方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．

(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．由||＝2，得（a－2）2＋c2＝2，即a2－4a＋c2＝0.①

又·＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B .

(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥，m⊥，即m·＝0，m·＝0.因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.

2c

令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝2c＋（2－a）2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h4gd.html