考研数学基础串讲讲义
更新时间:2024-05-25 01:55:01 阅读量: 综合文库 文档下载
考研数学的命题特点
1. 基础性
【例一】极限定义
1、lim是什么?(lim是什么?)
x??n??①lim
x??1)“x??”存在六种情形 (1)x?x0
???0,0?x?x0??, (2)x?x0?
???0,0?x?x0??, (3)x?x0?
???0,0?x0?x??, (4) x??
?X?0,x?X, (5) x???
?X?0,x?X,
(6) x???
?X?0,x??X,
2极限趋向的“过程性”
——若limf(x)?,则f(x)在x??时处处有定义 x??(命题A?B,则B?A)
故有:若f(x)在x??时至少一点无定义,
?limf(x)不存在。
x??1??sin?xsin()?x??(2016)求lim
x?01xsin()x1【分析】x??,xsin()?0
xx~0, sinx~x. 狗~0,sin狗~狗 111xsin()?0, xsin()~sin(xsin())
xxx故原式=1
知道为什么这么做不对吗?来看看正解吧!
11【正解】当x=,|k|充分大,xsin()=0。还记
xkπ得极限的定义吗?x?0时可以取到0嘛?答案当然是不可以!但是却可以取到除零外任意小的
11点,例如取x=,此时xsin()的极限=0。所以
xkπ1xsin()在时x?0不能叫?0,而叫做无穷小量。
x1sin(xsin())1x故f(x)= 在x=处无定义,?原极
1kπxsin()x限不? ②lim
n??n??只有一种情形,专指n???
?N>0, n>N
(注意n是自然数,没有负的,而且都是整数,所以是离散的) 2、极限定义 ①函数极限的定义 若limf(x)=A?
x?x0??>0, ??>0,当0<|x-x0|
limxn=a???>0, ?N>0,当n>N时,|xn-a|
①??>0,?X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|
x???10
?1②??>0,?正整数k,当0<|x-x0|≤时,恒有
k1|f(x)-A|≤
2N?x???limf(x)=A
③???(0,1),?正整数N,当n≥N时,恒有|f(x)-A|≤2?
?limn??f(x)=A
正确的个数为 个。
【分析】①不论尺度?以何种形式出现,必须且仅需两个条件: ??0 ??可以任意小???0 存在而非唯一
?题目中第①个说法中,它的测度e10已经大于1,说明不能任意小,所以排除此项。
②极限的定义中明明写的是不带等的定义,而题
目中条件却带着等,那么条件还正确嘛? ——带等不带等,结果是一样的。?是存在的而不唯一,?代表着“附近”,仅是存在而已。书上定义说是开区间成立,那么它的子闭区间必然成立。?既然不是固定的,你可以说里面的是?。自然成立等价条件:立即推 0<|x-x0|N?n≥N
|f(x)-A|
【例2】设liman=a,且a≠0,则当n充分大时
n??( )
11A) an>a- B) an< a+
nn|a||a|C) |an|> D) an<
22【分析】本题很好的考察了极限的定义。看到
liman=a,立马可以写成极限定义的格式:
n????>0,?N>0,n>N,|an-a|
原题中较明显的问题就是取测度咯,A、B采用
1|a|,C、D则使用了。至于为什么我会送你一
2n句话:请观察选项。那么好,我们先来看A、B
111取?=,a-
nnn往下看:
|a|取?=,(对于不等式有如下公式||a|-|b||≤|a-b|。
2可以理解为,a到b的距离一定大于a的长度与b长度的差值。这个请考生自行画图证明,不做赘述)
|a|根据上述不等式得:||an|-|a||≤|an-a|<
2|a|3|a|<| an|< 22故得出了三个答案。(这类题通常作为打开试卷的头一题,难道命题人出错题了嘛?当然没有!) 【注】?是一个很小很小很小的数,而不是一个无穷小量!
1+当n→∞时,→0是变量 n|a|而是一个常数。 2取测度取常数而不取变量。 所以最后的答案是C。 2. 稳定性
3x(2015)设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=k,若
f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量,求a,b,k。 (2009)设f(x)=x-sinax,g(x)=bx3,若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量,求a,b 【分析】先讲2009
根据已知条件,写出如下式子:
x?sinaxf(x)lim=lim=1 3x?0g(x)x?0bx你是不是想到了洛必达?如果你说是,那么我们再来看一道例中例
1xsinx 【例中例】limx?0x211(洛必达法则)=lim2xsin-cos
x?0xx好了前面那个叫有界变量乘以无穷小,那后面那个呢?有界震荡。好嘛cos?,不断地波动,极
限自然不存在。
难道以上的解法真的对嘛?直接约分得:原式
1=lim sin.有界变量与无穷小之积,结果为零。x?0x很明显,洛必达法则在这里是不能用的。洛必达法则是后验逻辑,也就是说,我们求导得出的式子的极限存在才能说原来函数的极限存在,而原来函数的极限存在,并不意味着求导后的极限一定存在。所以,洛必达法则,并不是随便用的。我们不能在此用洛必达法则解题。那么怎么办呢?是不是一定没有思路了呢?我们想到了一个人,他叫泰勒。
给大家讲个故事吧:从前有一对夫妇,丈夫叫sinx,妻子叫cosx,有一天晚上,sinx出去了,出去干嘛了呢?听相声。郭德纲专场。结果到了很晚,sinx还没有回家,cosx着急了,过了一会儿有人来敲门。门外站了这么一个人: x3x5x-++………. 3?5!啊呀长得好复杂。cosx问:“你是谁呀?”那人回答:“我是你丈夫sinx啊!”cosx:“你怎么变成了这个样子?”那人回答:“老婆,今晚相声
太乐(泰勒)了。”于是sinx泰勒展开了。于是不仅仅是sinx,cosx、tanx、arcsinx、arctanx、e、ln(1+x)…..
以至于所有可导f(x)????? ?anx
归于展开为x
n
看到没有,所有可导函数都可以表示成了幂函数的叠加。多么伟大的贡献啊~那么我们考研要求的泰勒公式,一共有八个:
13sinx=x-x+o(x3)
61214cosx=1-x+x+o(x4)
242133arcsinx=x+x+o(x)
613arctanx=x-x+o(x3)
3133tanx=x+x+o(x)
31213e=1+x+x+x o(x3)
26x1213ln(1+x)=x-x+x+o(x3)
23
?1?x?=1+?x+
?α???1?2x2+o(x2)
133根据sinx=x-x+o(x)得:
613x-sinx~x(x→0)
6再推广一下
13狗-sin狗~狗(狗→0)
61故上题a=1,b=,你看出来了吗?有些人问,为什
6么a一定是1?如果a不是1,那么x-sinax会出现一次项,在x趋向于0时,次数越低的项趋近于无穷小的速度越快。如果有一次项,则可泰勒等价为(a-1)x+o(x)而不能与三次方等价。故a=1.
(sinx?sin(sinx))sinxlim 4x?0x13sinx??16原式=lim= 3x?06x【注】展开原则
A1°型——“上下同阶”原则
B——若分母(分子)是xk,则分子(分母)展开至x
k
133-x?o(x)1x?tanx3如:lim=lim=- 33x?0x?03xarcsinx??2°A-B型(A+B=A-(-B)) ——“幂次最低原则”
——将A、B分别展开至系数不相等的最低次幂为止。
如(2016)当x→0时,f(x)=cosx-e为等价无穷小量,求c,k
1214cosx=1-x+x+o(x4)
242x2?2与g(x)=cxk
ex2?212144=1-x+x+ o(x)
28x2214
故cosx-e =-x+o(x4)
121故c=-,k=4.
12(2015)设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小量,求a,b,k。
【分析】x→0,
1213133f(x)=x+a(x-x+x+o(x))+bx(x-x+o(x3))
236a2133xxx=(1+a)x+(b-)++o()。故:1+a=0,a=-1, 23a11b-=0,b=-,c=- 2233. 新颖性
——牛顿—莱布尼茨公式
我们说如果我们对一篇课文熟悉到一种程度用四个字来形容那就是“倒背如流”。我们都知道:
bb?af(x)dx=F(x)|a=F(b)-f(a),然而,你要是看到了F(b)-f(a),能不能把它变回积分的形式呢? (定积分符号?来源于英文summation)。 【例1】(2016)计算???0arctanπx-arctanxdx
xarctanπx-arctanx这个东西直接积怎么积都积不
x出来的样子,换个想法怎么样?
arctanπx-arctanxarctanxy?dy==? 211?(xy)xx这样的话这个积分就变成了一个二重积分。那么原式=???0??1dydx,二重积分直接积不方便,21?(xy)怎么办?——交换积分次序
????1dx?dy 由d(xy)=ydxdy得:=??? 21?01?(xy)????11=??dxy 2101?(xy)y?=??1x???1arctanxy|dy
x?0yπ=lnπ 2【例二】设y=f(x),如下图所示,f(x)具有二阶导数可积.则以下( )答案必成立
10A)?[f(x)-f’(x)]dx<0
110B) ?[f’(x)-f’’(x)]dx>0
110C) ?[f’’’(x)-f’’(x)]dx>0
110D) ?[f’’’(x)-f’(x)]dx>0
11010【分析】(A)I=?f(x)dx>0-? f’(x) dx
11=f(10)-f(1)=0,故I>0.
10(B)I=? f’(x) dx
110=0-? f’’(x) dx=0-(f(10)-f(1))=f’(1)-f’(10)<0
110(C)I=?f’’’(x)dx=f’’(10)-f’’(1)>0-1dx>0,故结果不确定。
1010(D)I=? f’’’(x)dx-? f’(x)dx>0
11故答案选D。
附:一阶导数表示曲线切线的斜率。二阶导数代
10?1 f’’(x)
表曲线的凹凸性。 凹凸:
?x∈I f’’(x)>0“凹”“U”
f’’(x)<0“凸”“?” 二、考研数学的命题题型 1、概念型 2、计算型
3、逻辑推理型(证明题) 4、应用型(强化班讲) ①读课本
1、概念型—导数定义 (牛顿提出)f(x0??x)?f(x0)?limx?0?x=f’(x0) 【注】1、f’(x0)只是一个记号
?2、 ????x?0f???x0?右导数 ???x?0?f???x0?左导数f’(x0)存在? f’+(x0)= f’-(x0) ②读18讲 1°f’(x0)? x0?狗)?f(x0)狗limf(?0狗须一样!
三个狗必
2°求f’(x0),必须-f(x0),此位置不能有任何的发挥。 ③做例题
f(1?cosh)【例一】 设f(0)=0,若lim存在,能2h?0h不能推出f’(0)存在?
f(0?狗)?f(0)?【分析】f’(0) lim
狗?0狗那么带公式——
f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh这时我们想到了一个人,就是我们伟大的毛主席,因为毛主席说过:“没有条件,创造条件,自己动手,丰衣足食。”那就创造条件咯
f(1?cosh)lim 2h?0hf(0?1-cosh)?f(0)1-cosh=lim 21?cosh?o1?coshh(能不能拆,拆开再说,拆开都存在,说明拆对了。这就是所谓的“后验逻辑”) 那就拆开试试咯~
f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh1-cosh1×lim=f’(0) 21?cosh?0h2故f’(0)存在。
同学们,上面的做法对吗?如果你说对,那么我们来看cosh能大于1嘛?当然不能了,余弦函数的定义域是[-1,1],不能大于一那么1-cosh理所当然不是从两侧趋于零,而是右侧趋于零。也
+就是说,1-cosh→0。所以它只是右侧的极限存?在罢了只存在一侧导数自然不能推出导数存在,
mil所以f(0)=0,若
h?0f1(h)osc?h2存在,不能推出f’(0)
存在。回答完毕。
f(1?ek)【例二】 设f(0)=0,且lim存在,能不能
k?0k推出f’(0)存在?
f(1?ek)【分析】lim
k?0kf(1?e)1?e=lim kk?01?ekkkf(1?ek)1?ek=lim limkkk1?e?01?e1?e?0k=-f’(0)
f(1?ek)故,f(0)=0,且lim存在,可以推出f’(0)
k?0k存在,回答完毕。
【例三】 设f(0)=0,若limf(h?sinh)h?0h2存在,能否推出f’(0)存在?
【分析】limf(h?sinh)h?0h2 =limf(h?sinh)h?sinhh?0h?sinhh2 =f(h?sinh)hh?limsinh?0h?sinhlim?sinhh?0h2 =0?f’(0) 取f(x)=|x| 原式=limh?sinhh?sinh?0h?sinhlimh?sinhh?0h2=不存在 ????f'(0)?16?f'(0)?????f'(0)???f'(0)?0 ????f'(0)?0??【注】∞是特殊的不存在。
sinx有界,但limsinx??x?不存在
☆ 储备典型反例,用来辨析结论。
xx只取±1;有界, limxx?0x=???1??1???不? ?狗狗有界,但在狗?0时,极限不?
?x2exdx
X2 2x 2 0
ex ex ex ex
=x2ex-2xex+2ex+C
【例四】 设f(x)在x=0处有定义limf(h)?f(?h)h?0h?,能不能且
推出,
a11即:s?a21a12a11?a22a21?ka11a12?s'?
a22?ka126) 单行可拆性(可加性) ?1?1?1?1??2??1??2 ?2?2?27)A?AT?行列性质相同。(行列式经过转置,其值不变)
☆③重要结论—行列式是由向量拼成
??Dn?A?0?组成A的向量全独立.(线性无关) ??线性相关???Dn?A?0?组成A的向量至少一个多余£④矩阵的本质
英语系 机械系男生 ?296?1) 表面上,?984?
女生 ??表达系统信息
kAn?n?knAn?n 2)本质上,秩(A)=r(A) 引入秩的定义:
??r?A??k。??k个独立向量?若?k阶子式不为0,?有且仅有k个独立向量???但?(k?1)阶子式全为0。??K?1个向量其中至少一个多余
☆换言之,秩(A)=r(A)是指组成A的独立向量个数。
?123???1°如021 ???006???2°化A为行阶梯型阵(行最简阶梯型阵) ① 若A满足
??1?若有0行,全在下方 ???2?从行上看,自左边起出现连续0的个数自上而下严格单增。称A为行阶梯型阵.
?7?0?如:?0??0?0??1?0??0??0?0?00000020?1050000532003?7??0? ?0?0??7118??173?002?
?000?000??② 进一步地,若A还满足
?3)台角位置元素为1 ??4)台角正上方元素全为0称A为行最简阶梯阵。
?1?0??0??0?0?0000001000530000?0??1? ?0?0??③ 初等行变换
?123??216?1) 互换?????
?216??123?2) 倍乘?213????4?2?6?
?123??123?3) 倍加?????
?216??0?30?④ 任何可逆矩阵A一定可以通过若干次初等行换
化成同阶单位阵E ?***??10????***???01?***??00???0??0??E 1???570???【例1】 化A=490为行最简阶梯阵 ???360????570??100?【分析】r(A)=2.A??490???010?
?????000??000??????12??25?【例2】 化A=
?0?1??303??4?为行最简阶梯型阵 1??2?【分析】r(A)≤3
?123??10????0910?→?01?0?11??00????000??000??0? 1??0?思维容量+计算量=const
??七种未定式?f(x)?2、计算型问题??泰勒公式
?x?数列极限?n①七种未定式
?0?00(,,??0,???,?,0,1) 0?0≠0 1≠1
0?1),,??0.洛必达+泰勒.
0?【例1】limx?0ex2?e2?2cosxx40() 0【分析】化简先行—方法主要有三:
2?sinx(sinx?x)1°lim 3x?0tanxsinx?x=2lim 3x?0tanx2=?
6?及时提出极限不为0的因式. 2°limx?01?3x?31?5xx?
?1?x?-1~αx
??1?x?=1+αx+o(x) ?1?3x??1?5x?12131-1~?3x
21-1~?5x 3
故,原式=limx?01?3x?1??31?5x?1x3?
(能不能拆,拆开再说) =limx?01?3x?1x-limx?01?5x?1x
35=- 231=- 6?善于使用等价无穷小替换。
3°limex(1?1x???
x1)x2=limex((1?x???
x)x)xex=limx=1 x???e?sinxlim?1??x?0x善于使用重要极限。 ???lim(1?1)x?e?x?x??同学们,上述做法对嘛?如果你说对,那么就中了命题人的圈套了。同学们,重要极限不重要! 来看注解吧~
【注】上述错误在于:
人为地制造同一极限号后,x趋向的先后顺序.
?必须x同时趋向。
v(x)?幂指函数. 【正解】u(x)vu100%evlnu
原式=limx???e2x1exln(1?)
x2==
eex??lim[x?xln(1?)]1x
12?善于利用恒等变形。
x2回头来看例1
elimx?0?e2?2cosxx4
=
elimx?02?2cosx(ex2?2?2cosx?1)x4
=
elimx?0x2?2?2cosx?1x24
=limx?0=limx?0x?2?2cosx 4x2x?2sinx 34x1= 121?cosxcos2xcos3xlim【例2】
x?0x212【分析】1-cosx~x(x→0)
2原式=
limx?01?cosx?cosx?cosxcos2x?cosxcos2x?cosxcos2xcos3xx21?cosx?cosx(1?cos2x)?cosxcos2x(1?cos3x)
=limx?0x2
1?cosx1?cos2x1?cos3xlim??=x?0 222xxx1121=+×2+×32 222=7
(2016)limx?01?cosxcos2x3cos3xx2
=lim=lim1?cosx?cosx?cosxcos2x?cosxcos2x?cosxcos2x3cos3xx?0x21?cosx1?cos2x1?3cos3x??x?0x2x2x2
1lim(1?=+
2x?0cos2x)(1?cos2x)1?3cos3x?2x2x(1?cos2x)11lim1?cos2x1?3cos3x?=+ 2222x?0xx31?cos3x1lim=+1+ 2x?02x3lim(1?cos3x)(1?cos3x?cos3x)=+ 2x?0x2(1?3cos3x?3cos23x)333231lim1?cos3x=+ 223x?0x33=+=3 22【例3】
lim?lnx(ln1?x)?0???
x?1????1????0“设置分母有原则,简单因式才下0????0?0?10???放。”
??x?简单:x,e,etc????复杂:arcsinx,arctanx,lnx,,etc
xlnx 如lim?x?0x①=lim?x?01lnx?0??? ?0?1洛=lim?
x?011?2?lnxx=-limxlnx ?x?02lnx②lim? x?01x
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