复旦固体物理讲义-11倒格子

上讲回顾

?用轨道物理学理解晶体中原子近程结构*原子轨道之间相互作用由原子轨道角分布决定

*为适应周围化学环境，与邻近原子成键，原子轨道

可以杂化(重组) 以适应环境

杂化最大方向由价电子数、配位、键上电子转

移等共同决定

*键合分类：离子、共价、金属、分子和氢键

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本讲内容

?在k空间看晶体结构

*倒格子(reciprocal lattice)

倒格子基矢

*正格子(direct lattice)和倒格子之间的关系

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第11讲、倒格子

1.为什么倒空间？

2.晶格的Fourier变换

3.倒格子

4.二维倒格子

5.正、倒格子对应关系

6.重要的例子

7.Brillioun区

8.X射线晶体衍射实验

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1、为什么倒空间(reciprocal space)？?一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写

*坐标表象r，动量表象k

?为什么选择不同的表象？

*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理

*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但

k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单?正空间的格矢(R

)描写周期性；在动量空间？

l

?这两个空间完全是等价的

*只是一个变换

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http://10.107.0.68/~jgche/倒格子8看格点的Fourier 变换？

?数学上如何用一个函数来描写格点？?δ函数！()

∑-=l

l R R r r δρ)(?对这个函数进行Fourier 变换()()∑∑???-?-?-=-==l l

l i i l i e d e

d e R R k R r k r k r R r r r k δρρ)(?格点满足平移周期性，则有K h 满足

m

l h π2=?R K ?那么乘上不变因子()∑∑?--?-==l l

h l l i i e e

R R K k R R k k ρ

http://10.107.0.68/~jgche/倒格子9?这告诉了我们什么信息，K h 对应什么？?坐标空间里，δ(r-R l )函数表示在R l 的格点，当满足上述条件时，其Fourier 变换也是δ(k-K h )函数，表示的是倒空间里的一个点！?后面会知道，这些点就是倒格点，K h 即倒格矢*或者说前面K h 与R l 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢 格矢

*K h 的量纲为R l 的倒数

?利用Poisson 求和公式，即可得

()()∑∑-==?--h

l l

h h i e K R R K k k K k δρ?即当矢量K h 与R l 乘积是2π的整数倍时，在坐标空间R l 处的δ函数的Fourier 变换为在动量空间以K h 为中心的δ函数！

http://10.107.0.68/~jgche/倒格子103、倒格子(reciprocal lattice)1

=?l h i e R K 为整数

m m l h ,2π=?R K ?因此，Bravais 格子也称为正格子(direct lattice )?等价关系：知道K h ，就知道R l ；反过来也一样?它们满足Fourier 变换关系，因此，倒空间也称Fourier 空间

?定义：对Bravais 格子中所有的格矢R l ，有一系列动量空间矢量K h ，满足的全部端点K h 的集合，构成该Bravais 格子的倒格子，这些点称为倒格点，K h 称为倒格矢

http://10.107.0.68/~jgche/倒格子11倒格子基矢

?对正格子3

32211a a a R l l l l ++=?如果选择一组b ，使

332211b b b K h h h h ++=?那么矢量K 就可由b 组成ij j i πδ2=?a b m l l l h h h l h π2332211=?+?+?=?a K a K a K R K ?有?它满足上述关系，因此K h 具有平移对称性→可用基矢和整数表示的平移周期性→K h 定义倒空间的Bravais 格子，b i 就是倒格子基矢?K h 为倒格矢——K h 所有的端点即为倒格点

http://10.107.0.68/~jgche/倒格子21等价的周期性

?如果K h 是倒格矢，那么物理量的Fourier 级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性

∑+?=+h i l l h h e

F F )

()(R r K

K R r )

(r r K K

F e F h i h h ==∑?

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